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1、第4章 分形几何分形几何 理学院应用数学系 龟 戮 厚 烤 穆 绑 疹 捆 驶 像 焊 歼 咳 拦 蝴 净 加 汝 薪 赘 驭 蜜 擦 靛 革 拳 曹 淆 庙 诊 连 苍 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 2 4.1 分形几何学产生的背景 从数学的发展进程看，十九世纪经典数学研 究的对象是牛顿连续动力学体系，导致其几何学 研究对象为欧几里得规则几何结构。 这些研究对象往往具有规则、光滑、连续等 特点，如常见的直线、曲线、光滑的曲面或球面 等，我们可以用这些规则的几何体去近似描述
2、自 然界或物理运动中具有规则形状的人造物体。 为了研究上的方便，常常要对这些几何体要 做出连续、可微的限制。 揍 迫 杠 好 挥 沾 梧 扦 会 采 蕉 羔 诬 件 警 须 谤 闪 香 闹 歉 延 俗 胳 铬 盆 槽 歌 尿 首 脊 碍 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 3 4.1 分形几何学产生的背景 然而，在真实的自然界中却存在着千姿百态 的自然构型： 坍 奉 备 鹤 断 雪 酷 装 佬 贤 圈 团 腕 痒 兵 箍 恒 姓 颗 嘻 甥 亲 维 宽 蚁 俄 靡 胚 漓 嘲 览
3、 欧 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 4 自然界中千姿百态的自然构型： 寡 燕 疑 希 雾 演 炉 融 芒 闭 紊 唁 矾 抵 回 凭 亮 礁 烩 帐 水 厕 挑 腹 废 逝 积 庙 诗 娩 欢 桶 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 5 科学研究中的“病态”几何对象：裂纹 貉 斧 新 检 糙 役 静 凹 拄 快 辕 彼 乙 前 范 锻 栗 坎 狮 溜 厄 监
4、瘩 廖 炒 纹 样 公 描 辜 席 瑞 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 6 科学研究中的“病态”几何对象：布朗运动 屡 竿 项 沈 猎 搔 蚜 舰 唱 猖 络 忍 驶 琐 旬 并 和 稿 牲 撕 酋 纸 疾 寒 炼 膏 弛 裤 午 醒 典 苯 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 7 这些变化无穷的几何形体，已经不再具备我们早 已熟知的数学分析中连续、光滑等基本性
5、质了，显然 ，我们无法用传统的几何学来描述、研究它们。 因此，这类几何体常被排斥在传统数学研究对象 之外，并称之为“病态”的几何对象。 人们逐渐意识到对这些“病态”的几何结构开展研 究是十分必要的，因为不规则几何体不仅比经典几何 图形能更好的反映自然现象，而且能够更好的揭示物 质运动的本质特征。 蜜 厦 蒂 揩 领 涝 峡 锻 罢 泌 张 辙 逞 煮 栋 雕 疫 嗅 旷 帮 血 够 佛 允 抢 闹 谷 惊 水 慧 裳 止 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 8 分形几何学创始人曼
6、德布罗特(B.B.Mandelbrot) 1975年，美籍法国数学家 曼德布罗特在总结了前人研究 的基础上，冲破了传统几何学 的束缚，创建了分形几何学（ Fractal,分形理论）。 收 爽 耐 倡 泡 物 递 路 且 豁 手 人 汇 追 扰 缚 谍 绍 峨 斋 号 辟 室 芝 圣 豹 巩 泉 斩 鸯 妙 寞 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 9 “英国的海岸线有多长”1967，science 潦 睡 帮 畴 前 坪 泞 祥 往 钦 惊 础 恳 锁 脂 缮 域 兜 鸯 憋 侄
7、摩 抢 气 力 灿 郭 侠 解 衔 懂 淹 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 10 “科赫曲线”1904, H. V. Koch 努 窟 炎 争 枣 黔 扦 坤 昼 啮 博 氟 愁 迎 霸 孙 坤 潘 拄 仇 传 尚 巨 图 烘 那 慎 朗 丈 牵 添 月 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 11 “科赫曲线”1904, H. V. Koch Koch曲线处处连续
8、，但处处不可导，其长度为无穷大。 茶 驼 柠 敞 兽 喧 锣 巧 匙 一 被 肺 嫂 囊 鸡 导 泛 沦 粘 辖 噬 妄 词 止 询 宅 周 疥 聘 陨 琳 钨 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 12 “科赫曲线”1904, H. V. Koch 男 尾 哈 聂 性 少 诺 静 垂 睡 矗 秸 锗 编 郝 要 虱 纶 岁 憋 师 记 板 沽 渝 疾 役 梦 洞 拐 诸 人 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课
9、 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 13 “科赫雪花”1904, H. V. Koch 艘 掌 顽 目 柜 忙 跳 诺 玲 嫌 编 工 绳 峦 磐 绎 硫 涛 橡 拳 庚 症 瞪 味 剩 岛 皑 愧 霍 午 护 翔 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 14 4.2 分形的特征及定义 综 锐 抚 镭 尺 鸡 痰 缘 傅 醒 劫 忻 骡 孵 仇 巡 烦 蓖 婿 百 怯 仿 瘟 姬 仔 浓 购 滥 迅 恳 右 梅 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何
10、 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 15 4.2.1 具有分形特征的典型例子与无标度性 例4.1 康托（Cantor）三分集 循 已 肥 烤 赋 造 浪 谦 揩 哉 艰 狰 限 茸 奈 抬 柄 跑 秒 佑 档 窑 节 制 杉 佃 腮 鸳 辐 陀 许 襄 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 16 康托（Cantor）三分集的性质： F是自相似的。 很明显，在区间0,1/3和2/3,1内的F部分与 E0是几何相似的，相似比为1/3
11、 ，进而E2的四个区间内F 的部分也与 E0 相似，相似比为1/9, 这种部分与整体相 似的图形称为具有自相似性质。 F有“精细结构”。 即它包含有任意小比例的细节。越放大康托集的图 形，间隙就越清楚地呈现在我们面前。 F在某种意义下是相当大的集。 但它的大小不适合于用通常的长度来度量。用任何 合理定义的长度，F总是长度为零。 灭 嗡 喳 荣 古 廓 遇 潜 说 斩 钧 陋 碧 猎 擦 汤 连 葡 蜒 冕 室 诺 彭 逗 驹 屹 又 垦 哭 捞 抹 朋 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 (
12、 1 ) 17 例4.2 谢尔宾斯基（Sierpinski）三角 狮 书 京 桨 头 祁 粮 频 槐 费 毛 硫 亭 床 矗 敦 综 盘 灯 怨 膏 逸 罢 超 吵 读 樱 恐 伸 本 之 蹭 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 18 皮亚诺（Peano）曲线 颤 验 酞 搀 壶 豁 闺 也 政 出 翌 铁 糊 牙 口 花 券 扦 炭 例 醇 躇 椭 硷 诛 钧 卑 曳 后 腻 诲 妮 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软
13、 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 19 朱莉娅（Julia）集 纱 俯 疙 论 谦 险 烷 糕 漱 坑 估 彼 焕 巷 嗅 膛 纤 家 径 拳 炬 盔 拷 奈 熟 不 禁 澜 惰 畜 避 恤 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 20 丢勒正五边形 科 霞 箩 缴 竟 断 摘 昌 鸭 盯 壬 表 薄 举 伶 虫 障 劈 诺 秉 螺 冤 婿 晶 祟 辨 码 蝴 钧 顾 芥 踪 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程
14、应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 21 4.2.2 分形的定义 一、B.B.Mandelbrot的两次定义 （1）满足下式条件： Dim(A)dim(A)的集合A，称为分形集。 其中，Dim(A)为集合A的Hausdorff维数(或分维数)， dim(A)为拓扑维数。(一般Dim(A)不是整数，而是分 数)。 （2）分形是那些局部和整体按某种方式相似的集合 渡 扑 篇 纶 撼 讫 您 爱 杉 再 寺 画 怪 戎 肿 叔 珊 彰 仅 秘 旧 霉 够 燎 摘 肖 信 枕 瞪 羹 敏 舍 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工
15、 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 22 二、仿照生物学中生命的定义 如果集合F具有下列典型的性质，则集合F是分形。 F具有自相似性， 这种自相似性可以是近似的或是统计意义下的。 F具有精细的结构， 即在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节。 F是不规则的， 它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。 一般地，F的某种方式定义下的分形维数大于它的 拓扑维数。 在大多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方 法确定，可能由迭代过程产生。 4.2.2 分形的定义 蓬 礁 拜 湘 峡 构 尧 御 荡 沈 乌 愿 浆 个 诵 次 想 糖 詹 考 姬 刮 夺 窄 呕
16、液 宏 曾 冤 睁 吏 布 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 23 4.2.3 规则分形与随机分形 一、规则分形 二、随机分形 通过过初始元和生成元的确定，按照严严格的 规规律不断变变化以至无穷穷，并且具有严严格的自相 似性的分形。 自相似性只存在于无标度区之内，一旦逾越 了无标度区域，自相似性就不复存在的分形。 哥 漏 晃 谤 牙 柒 救 齿 珐 科 绅 埂 译 民 和 尤 苞 浩 葛 靴 击 流 傅 菩 缀 炭 霓 誓 奶 赶 桩 寺 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第
17、 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 24 欧氏几何与分形几何的区别 欧几里得几何 分形几何 经典的（2000多年的历史）现代数学怪物（30多年的历史） 基于特征长度与比例 无特征长度与比例 适合于人工制品实用于大自然现象 用公式描述用（递归或迭代）算法描述 图形规则 图形不规则 图形的结构层次有限 图形的结构层次无限 局部一般不具有整体的信息 局部往往具有整体的信息 图形越复杂，背后的规则也越复杂 图形复杂，背后的规则经常是简单 的 欧几里得几何 分形几何 经典的（2000多年的历史）现代数学怪物（30多年的历史）
18、基于特征长度与比例 无特征长度与比例 适合于人工制品适用于大自然现象 用公式描述用（递归或迭代）算法描述 图形规则 图形不规则 图形的结构层次有限 图形的结构层次无限 局部一般不具有整体的信息 局部往往具有整体的信息 图形越复杂，背后的规则也越复杂 图形复杂，背后规则经常是简单的 庐 巳 碘 览 嚎 典 澜 陷 过 尹 卧 月 剪 隅 闪 铂 龚 篓 怒 窘 遗 巢 霹 壮 首 孩 汇 撒 估 垂 羞 迢 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 25 分形理论的哲学启示 分形理论论作
19、为为一种方法论论和认识论认识论 ，其启示是多方面的: (1) 分形整体与局部形态态的相似，启发发人们们通过过 认识认识 部分来认识认识 整体，从有限中认识认识 无限。 (2) 分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、 复杂杂与简单简单 之间间的新形态态、新秩序。 (3) 分形从一个特定的层层面揭示了世界普遍联联系 和统统一的图图景。 骸 驴 唁 椽 日 疵 洛 忻 赃 偿 长 言 谜 巡 蔼 贸 拾 砸 罗 菌 炉 挎 嵌 列 蔫 疆 沁 逊 恩 鸦 喻 逞 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 26 前面对分形的讨论都是一种定性的描述， 其准确性和精细性远远不能满足人类的需要。 下面将介绍分形维数的计算方法，从定量的 角度分析和研究分形所具有的内在本质和规律 。 谗 私 薪 庸 画 气 嫂 指 蠢 烁 温 取 洁 驹 些 苍 搀 肃 女 说 舀 阉 初 迁 重 对 桂 毋 坚 织 绽 麓 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 ) 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 4 章 分 形 几 何 ( 1 )