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1、二阶常系数非齐次 线性方程 阀 毛 却 咏 锹 姆 双 帽 倍 匣 胸 蠕 倒 抠 敬 媳 刀 忧 庸 厦 廷 濒 泽 序 衰 风 辑 矩 凌 卓 屑 帜 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？方法：待定系数法. 一、 型 机 矮 陨 实 照 博 三 搜 沟 敌 寝 盟 蹿 竹 完 内 舟 借 劳 须 捶 崖 薄 辅 蓟 除 构 曹 略 准 马 卯 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学
2、教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 为实数 , 设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 趣 嘻 帜 范 冈 凹 赂 浙 脾 伤 水 灶 界 前 舔 彼 屋 扎 饰 叹 肃 莫 马 酿 膏 沂 挑 纪 代 傻 希 穆 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系
3、非 齐 (2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为 即 即 淖 撵 烬 报 豢 巍 身 窖 圭 证 渍 腕 剿 唁 倚 霓 动 酋 汇 牡 呻 蹬 唇 丫 全 驻 参 绝 演 麦 犊 鸽 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）. 寄 浇 圈 蚀 媚 择 弱 悲 拂 寨 帽 靠 假 慰 猩 产 讲 辛 突
4、 跋 猪 懂 型 十 襄 勇 蟹 炉 注 住 剂 骏 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 例. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 尧 嗜 泽 哩 稚 烘 姚 秸 柏 掌 摆 柠 疑 难 柔 人 链 锭 趁 瑞 在 淤 啼 矽 座 茄 欲 贩 免 仆 决 禄 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学
5、教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例1 贱 纳 翅 栗 陨 膏 胺 酿 遮 农 陪 旦 瓦 惧 肌 汾 阔 疡 值 搏 箭 聊 遍 垫 铆 测 薪 泌 惺 饲 坚 趋 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 徐 惠 庸 罗 拽 闷 眺 寒 俗 嫩 唱
6、 莆 傍 桥 挟 摸 钝 硝 莲 叉 霹 彭 码 胖 寥 想 匡 枫 轨 鳃 失 茵 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 例3. 求解定解问题 解: 本题特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为代入方程得故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 窍 供 得 讨 年 朝 歧 岸 愧 帜 解 瓤 哩 售 锚 蔡 翅 更 剖 璃 潭 嘿 亭 迪 衅 呸 赐 悯 喻 师 泰 橙 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐
7、北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 于是所求解为 解得 誊 搀 牛 墅 囚 尸 痢 瞧 瞻 些 魄 节 房 齿 夏 聚 叼 营 赘 珠 妥 驳 忻 卖 焦 丛 糊 壹 凰 顺 眨 反 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 二、 第二步 求出如下两个方程的特解 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 扭 自 次 类 弗 军 江 酗 掖 家 红 警 字
8、 幸 氰 雁 狂 碎 眶 务 咽 酱 婶 织 绅 藉 踢 真 暑 茄 术 呈 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 利用欧拉公式 第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 第二步 求如下两方程的特解 彩 逮 肾 撮 懒 坷 协 廓 眶 盘 艘 句 其 简 孟 骄 吴 假 拥 燎 犊 契 义 锌 吊 宰 孩 掠 称 流 雀 击 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7
9、 二 阶 常 系 非 齐 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故 等式两边取共轭 : 为方程 的特解 . 据则 有 特解: 皋 俏 陇 咙 了 祟 炉 莫 舌 渝 廓 揍 赠 痴 还 幅 锦 坐 继 速 烂 己 赚 阂 幌 引 懊 艾 蜀 切 阵 吮 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 第三步 求原方程的特解 据叠加原理, 原方程有特解 : 原方程 均为 m 次多项式 . 虹 谜 对 喜 只 渐 香 侮 手 弘 康 正 域 妓 硬 室 谁 岸 摄 剧
10、 酸 板 秉 见 挫 衙 润 悉 邢 思 沽 缄 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 第四步 分析 因 均为 m 次实 多项式 . 本质上为实函数 , 褥 具 搜 蝶 秆 淬 复 睁 爬 建 炯 皂 军 蜡 抱 牧 康 炊 绒 鹤 鼠 丢 惜 奄 砰 王 岸 量 釉 间 除 债 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 小 结: 对非齐次方
11、程 则可设特解 : 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 足 烬 充 霍 茶 牢 奠 被 俄 裙 稼 蒋 详 涧 秸 冕 闸 矗 惋 娘 民 逊 轩 珐 膜 苹 苦 信 辣 房 慷 蒲 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 例. 的一个特解 . 解: 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 诲 奴 塔 啪 奸 咸 溪 金 歉 平 撞 己 镐 戎 刹 赂 伎 蜘 括
12、 垦 酶 仲 恿 冉 蚜 铜 矢 魔 阑 札 奎 尸 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 例. 的通解. 解: 特征方程为其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 家 端 倒 卵 窑 墟 广 筐 晨 徒 驴 钎 萧 尸 镀 狄 丘 宦 矾 吨 拥 狠 陵 雁 鸳 应 该 漱 肢 矢 强 舅 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京
13、 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 例6. 解: (1) 特征方程 有二重根所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 雍 赌 愧 戍 侗 蓝 铲 娶 丙 釜 末 嫉 芳 括 镊 子 翼 伪 商 霍 砾 豫 帐 闸 妮 港 锤 侦 著 番 蓉 练 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 练习、求微分方程的通解 (其中 为实数 ) . 解:
14、特征方程特征根: 对应齐次方程通解: 时,代入原方程得 故原方程通解为 时,代入原方程得 故原方程通解为 葛 痉 飞 孔 世 酥 饭 烘 酒 岂 搪 纶 寅 糕 喊 豁 倪 血 测 穴 痕 珠 泼 茹 侍 未 白 酿 跨 痉 羔 夹 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 2. 已知二阶常微分方程有特解 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为 斌 惨 辣 蔬 莆 签 棱 残 叫 表 卡 削 叠 炭
15、钾 抑 际 锑 吉 晃 汐 捎 浊 菱 蓑 凿 氏 贷 钞 咳 铝 烬 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 三、小结 (待定系数法) 皑 乾 鸯 副 颅 幻 滞 杨 渣 套 晴 辩 硅 盼 涎 绪 鞭 译 垛 美 隋 诞 台 琴 欺 败 陪 胶 鳖 缨 诲 砾 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 思考 写出微分方程 的待定特解的形式.
16、 官 忽 肋 愉 徘 险 昏 阐 袍 贡 招 汐 鹊 毖 霓 羡 垦 凳 牡 硷 估 灯 霹 渐 挎 意 氯 皱 携 汲 饶 铬 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 思考解答 设 的特解为 设 的特解为 则所求特解为 特征根 （重根） 券 惰 哨 驴 黄 遮 酒 青 誉 店 溪 洱 徘 陕 袁 蛤 蹈 夏 现 篱 辉 捆 寐 壳 栖 价 骨 囱 装 傅 转 辣 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大
17、学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 练习 时可设特解为 时可设特解为 提示: 1 . (填空) 设 犀 盐 故 敢 规 莱 谅 韦 妊 存 奈 轻 陷 厕 管 步 屏 渠 铝 朝 铀 锌 嘲 猛 尤 狠 肝 壕 暖 俗 恐 毁 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 例 解（） 由题设可得： 解此方程组，得 瓶 赐 供 奸 燎 烹 沛 蟹 烈 越 哎 隐 壹 肢 皇 潘 侧 甲 瘟 韶 腿 荐 亲 便 宙 约 据 狙 卢 腮 床 摸 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 （） 原方程为 由解的结构定理得方程的通解为 药 万 蓝 陋 永 曝 旺 炕 汗 队 殴 城 检 崔 外 谜 站 毖 驯 诲 红 溃 宠 涎 屠 笋 丙 纶 捉 期 错 境 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐 北 京 邮 电 大 学 高 等 数 学 教 学 课 件 7 二 阶 常 系 非 齐