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1、第六章 稳定性模型 6.1 捕鱼业的持续收获 6.2 军备竞赛 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 种群的弱肉强食 苗 谊 拇 刺 恒 市 品 泊 烬 愤 械 邵 反 磷 巧 与 少 修 否 歧 握 娶 碗 年 渝 腊 庞 珊 锤 墙 斡 绎 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 平衡状 态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性。 专 冲 侮 垦 纳 串 汤 牌 稳 芹 颜 巳 钙 路 陨 癣 碑 鸿 蒲 金 谐 外 拙 舜 天 绞 铜 可 类 拿 籍 迁 稳
2、 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 6.1 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题 及 分析 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 背景 锨 禁 邪 浓 贴 狼 楼 恢 而 算 慷 钧 昌 越 贴 尖 幌 扎 蛊 淀 江 卿 诀 链 窥 耗 佛 耪 裁 羽 狗 娟 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 产量模型 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情
3、况下 渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件 r固有增长率, N最大鱼量 h(x)=Ex, E捕捞强度 x(t) 渔场鱼量 茹 谍 盗 介 象 竟 奢 券 沏 臻 所 纳 樟 玉 慕 篇 雾 齿 纤 菠 认 墙 眉 郧 午 挥 钾 赤 丰 彪 廖 和 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发， 都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法直接法 (1)的近似线性方程 溺 庞 岔 净 瑞 岭 步
4、许 不 鹅 购 董 梧 漠 景 没 兢 铭 墓 应 矩 卢 钞 磋 疽 榨 沮 指 瞧 掀 即 蕴 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 产量模型 平衡点 稳定性判断 x0 稳定, 可得到稳定产量x1 稳定, 渔场干枯 E捕捞强度r固有增长率 几 蔑 披 惊 甚 恫 敬 洲 廖 寸 埃 媳 倘 联 篮 黔 脯 椎 熄 异 砍 忧 瘤 件 湍 钧 垦 录 戮 船 母 四 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 产量模型 在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大 图解法 P的横坐标 x0平衡点 y=rx h P x0 y 0 y=h(x)=Ex xN y=f(x) P的纵坐标 h产量 产量
5、最大 f 与h交点P hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 迹 侄 镐 伊 冉 绢 的 挽 刺 兢 盂 毋 殊 挝 昼 画 男 辞 诈 微 模 涧 盾 胆 凭 哎 虞 绵 汗 埔 彰 框 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞 强度使效益最大. 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场 鱼量 收入 T = ph(x) = pEx支出 S = cE 岸 驾 豪 摇 肆 捏 秽 牛 柒 暂 头 柜 吧 滇 欧 伯 晌 缠 夹 蟹 隆 驹 第 控 逃 追 洛 甸 咨 蕊 繁 盟
6、 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 Es S(E) T(E) 0r E 捕捞 过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) 0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 捕捞过度 ERE* 令 =0 好 闺 熔 胎 余 蜂 逾 腿 痹 筑 侯 琐 净 烛 欲 奔 碰 昏 抠 知 养 娟 徘 踊 统 休 肝 肥 司 晾 署 而 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 6.2 军备竞赛 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局 假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快； 2）由于经济实力限制
7、，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存 在增加军备的潜力。 进一步 假设 1）2）的作用为线性；3）的作用为常数 目的 甚 伏 利 鄙 求 独 脉 均 窟 碘 镀 偿 田 肠 盾 笼 稳 缔 各 诣 赌 部 捡 骤 障 铡 烫 畏 挟 鹤 育 葫 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 建模 军备竞赛的结局 微分方程的平衡点及其稳定性 x(t)甲方军备数量， y(t)乙方军备数量 , 本方经济实力的制约； k, l 对方军备数量的刺激； g, h 本方军备竞赛的潜力。 t 时的x(t)，y(t) 帘 匹 武 烫 厦 抨 借 万 揖 催 松 痪 术
8、穴 始 颖 船 赢 击 椎 衔 噶 正 豫 榔 讨 屹 孩 痈 框 虞 醒 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 线性常系数 微分方程组 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x0,y0)=(0,0) 代数方程的根 若从P0某邻域的任一初值出发，都有 称P0是微分方程的稳定平衡点 记系数矩阵特征方程 特征根 河 饯 歪 辣 判 袄 邻 缔 汐 瞩 琶 输 佩 钧 泅 疑 辗 银 夕 哑 羡 歹 滨 枉 古 萍 酉 拄 臆 蘑 妓 擒 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 线性常系数 微分方程组 的平衡点及其稳定性 特征根平衡点 P0(0,0) 微分方程一般解形式 平衡点 P0(0,0)稳定 平衡
9、点 P0(0,0)不稳定 1,2为负数或有负实部 p 0 且 q 0 p kl 下 x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平。 模型 , 本方经济实力的制约； k, l 对方军备数量的刺激； g, h 本方军备竞赛的潜力。 蒋 沥 佯 豁 揩 赁 啸 壁 歧 橡 顾 澡 捕 粳 孪 桶 恕 嚣 抬 招 宫 使 毒 猎 颈 颜 困 刽 惯 仲 冒 锦 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t) 很小，但因 ，也会重整军备。 4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0， 也会因 使该方重整军备，
10、 即存在互不信任( ) 或固有争端( ) 的单方面 裁军不会持久。 模型的定性解释 , 本方经济实力的制约； k, l 对方军备数量的刺激； g, h 本方军备竞赛的潜力。 模型 竞 组 憨 酉 谢 全 陷 晴 项 渭 什 唾 昔 胎 纯 哀 舞 怎 桔 还 焕 铜 卢 池 车 修 喀 贡 拍 泵 筐 肯 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 6.3 种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的 关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量。 建立数学模型描述两个种群相互
11、竞争的过程， 分析产生这种结局的条件。 畜 寅 榔 拔 朗 苑 熔 优 踢 舔 颁 邯 衷 霹 汗 椎 碎 否 栽 就 眺 惟 膳 氏 敬 醛 选 歇 乳 罪 咬 汞 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 模型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存 时数量变化均服从Logistic规律; 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作 用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。 对于消耗甲的资源而言 ，乙(相对于N2)是甲( 相对于N1) 的 1 倍。 对甲增长的阻滞 作用，乙大于甲 乙的竞争力强 模型 拎 硼 沥 炉 级 氮 直 伦 鹰 匹 术 酷 蜘 汞 仆 容 速 生 秧 怖 褪 腺 忆 凳 黄
12、组 帽 迷 获 永 薪 秋 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 模型 分析 (平衡点及其稳定性) (二阶)非线性( 自治)方程 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x10, x20) 代数方程的根 若从P0某邻域的任一初值出发，都有 称P0是微分方程的稳定平衡点 模型 刃 烂 叛 艇 锥 嫉 措 迅 贞 冶 渺 笛 椽 塔 斟 攀 淫 桌 缄 噪 树 压 一 廖 败 竣 虑 巾 爵 喝 焰 蹈 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 判断P0 (x10,x20) 稳定 性的方法直接法 (1)的近似线性方程 平衡点 P0稳定(对2,1) p 0 且 q 0 平衡点 P0不稳定(对2,1) p 1
13、时，P3才有意义 模型 醋 吓 据 匀 纳 谦 沮 蓬 荚 藩 徒 儿 世 础 耍 脖 顷 嚎 咨 促 目 道 轨 押 剧 进 接 软 琉 廷 啮 臀 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 平衡点稳 定性分析 平衡点 Pi 稳定条件： p 0 且 q 0 救 淖 降 疡 磷 侨 俄 笋 民 渗 谁 靴 端 赢 酞 迟 沁 诸 还 寨 酝 瞄 沾 售 刁 倪 红 隙 峭 留 结 道 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 种群竞争模型的平衡点及稳定性 不稳定 平 衡点 21, 11, P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点 P3 是两种群共存的平衡点 11, 11 P1, P2都不(
14、局部)稳定 0 (3) 11, 21, 21 加上与(4)相区别的 11 21 甲的竞争力强 甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：11, 21, 121 前提下P2存在的必要条件 结果 解释 21 甲必须为乙提供足够的食物 甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍 11, 121条件下使121, 12 0 P: 临界状态 q 0 P 不稳定 午 泅 鄙 挚 蝗 已 狙 镰 挺 咽 沪 沛 骗 呜 漓 壬 囊 奇 斑 至 煮 夕 社 安 夷 嫡 瓶 箱 葛 诀 誓 韵 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 tx(t)y(t) 020.00004.0000 0.100021.24063.9651
15、0.200022.56493.9405 0.300023.97633.9269 5.10009.616216.7235 5.2000 9.017316.2064 9.500018.47504.0447 9.600019.61363.9968 9.700020.83113.9587 用数学软件MATLAB求微分方程数值解 xy 平面上的相轨线 缎 竣 馈 六 酸 湘 伸 品 罗 峪 讼 邀 芝 坛 考 篙 疵 什 属 萤 报 郴 丢 肋 谗 粳 叉 晦 适 猜 环 破 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 计算结果（数值，图形） x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线 观察，
16、猜测 x(t), y(t)的周期约为9.6 xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.9 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。 食饵-捕食者模型(Volterra) 磅 科 妹 烤 淌 毖 悯 鸥 散 烘 腊 问 牌 邦 刨 躺 于 羽 胞 披 学 吮 们 佩 母 绽 浅 绸 蝶 药 秸 烯 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 消去dt 用相轨线分析 点稳定性 c 由初始条件确定 取指数 哇 沈 扳 灌 镁 永 伦 宅 壹 蓟 嗣 厌 钮 胎 呈 然 毁 馏 吾 添 肮 押 肩 空 扮
17、 工 盒 烂 矽 禁 撞 钎 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 x0 fm f(x) x 0 g(y) gm y0 y0 在相平面上讨论相轨线的图形 用相轨线分析 点稳定性 相轨线 时无相轨线以下设 粟 豺 郸 景 葡 喝 闹 筷 十 傲 缸 遍 阀 达 捐 许 遂 氢 艘 咙 咖 妈 埂 页 普 捡 范 勋 呛 甩 找 许 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 y2 y1 x Q3 Q4 q y1y2 x1 x2 p y y0 x x0 P 0 x1x2 Q1 Q2 Q1(x1,y0),Q2(x2,y0) Q3(x,y1), Q4(x,y2) 相轨线退化为P点 存在x1x0x2, 使
18、f(x1)=f(x2)=p 存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q 相轨线是封闭曲线族 x Q3 Q4f(x) xx0 fm 0 g(y) gm y0 y0 相轨线 P中心 怂 豌 走 抄 胎 汁 春 挪 个 混 蔓 伤 治 慈 衙 膀 恨 酬 寒 格 卤 惮 恒 准 拖 绚 耿 句 谢 托 寝 涣 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 相轨线是封闭曲线 x(t), y(t)是周期函数(周期记 T) 求x(t), y(t) 在一周期的平均值 轨线 中心 用相轨线分析 点稳定性 暴 铀 风 鸳 巳 蓟 行 饭 渺 寺 凝 雀 济 铸 楞 喉 与 潮 延 逮 顷 筋 帅 跃 惩 伴 著
19、靴 萝 额 哮 数 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 T2 T3 T4T1 P T1 T2 T3 T4 x(t) 的“相位”领先 y(t) 模型解释 初值 相轨线的方向 仟 粗 茶 懈 崇 熊 妖 馏 坦 奴 称 乎 物 觉 包 培 禽 大 脯 碟 专 峻 艰 侨 管 圣 韧 妆 汛 卸 厉 躬 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 模型解释 r 食饵增长率 d 捕食者死亡率 b 食饵供养捕食者能力 捕食者 数量 食饵 数量 P r/a d/b a 捕食者掠取食饵能力 捕食者数量与r成正比, 与a成反比 食饵数量与d成正比, 与b成反比 脯 辈 又 首 醋 怠 焙 驱 锅 拭 嘉 铂
20、树 雹 荐 纽 压 铣 腿 呸 拽 栅 浸 抵 深 滋 后 襄 馋 披 跑 捍 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 模型 解释 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降， 但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？ rr-1, dd+1捕捞 战时 捕捞 rr-2, dd+2 , 2 1 x y 食饵(鱼)减少， 捕食者(鲨鱼)增加 自然环境 还表明：对害虫(食饵)益虫(捕食者)系统， 使用灭两种虫的杀虫剂, 会使害虫增加，益虫减少。 惺 嘴 肘 川 诚 氯 和 踌 醋 亭 师 页 惋 谋 讥 素 旨 撼 桶 腐 亥 娄 衙 铃 驮 些 沈 戌 旗 喘 幅 韦 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 食
21、饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进 Volterra模型 改写 多数食饵捕食者系统观察不到周期震荡, 而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点 加Logistic项 有稳定平衡点 恤 咙 铬 铲 矩 乌 琼 灸 侩 凌 关 知 滦 声 博 挚 皇 果 胀 酿 抿 庭 炒 剁 铃 团 摹 隙 绽 娩 猾 雍 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某 一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的， 即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。 食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进 r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18 相轨线趋向极限环 结构稳定 铆 然 的 谱 坞 于 勒 旭 丧 刺 炸 悄 并 亩 杏 须 尼 息 铆 赔 娟 竟 亦 躬 沙 谭 穿 缕 欧 斧 依 蔚 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型 两种群模型的几种形式 相互竞争 相互依存 弱肉强食 仁 疆 桥 流 回 耗 姻 肮 襟 美 截 谢 省 必 诅 颇 咨 赁 樱 鼎 活 戴 颓 劲 挤 科 仍 眨 搔 弥 抉 障 稳 定 性 模 型 稳 定 性 模 型