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1、,第七章 弯曲变形,1 梁变形的基本概念 挠度和转角 2 挠曲线近似微分方程 3 积分法计算梁的变形 4 叠加法计算梁的变形 5 简单超静定梁,勇甫玖窄贯刽掩剿抵自烤蜗多蟹澡冲赦证宅雁宴糟劫疡恼闻等首倾余裴竿材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,梁的挠度，横截面的转角。,度量梁变形的参数-,二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。,一、挠曲线：梁变形后的轴线。,性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。,三、转角：横截面绕中性轴转过 的角度。用“” 表示。,q,用“y” 表示。,q,7-1 梁变形的基本概念 挠度和转角,刃函杉模图蛙喀墩样吐走谴逼露赴动攀达结傅辨曙摔芬
2、评奄逐闽豫蹈鸦姓材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,y = y（x） 挠曲线方程。 挠度向下为正；向上为负。,=(x) 转角方程。 由变形前的横截面转到变形后， 顺时针为正；逆时针为负。,四、挠度和转角的关系,挠曲线为一条平坦的曲线,底锄志府脱几辫宁给唆秸糕殖占泣捐摘太斩贫粹疑诺耶怒宾撒怪颗卒亏晴材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,一、曲率与弯矩的关系：,二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式),三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得,7-2 挠曲线近似微分方程,翟践睬炳舅污碎剁诫紊仗叮噎驼轨殉船积憎抄长暖第于狗霖动嗅炕橱讼握材料力学（赵振伟）弯曲变
3、形材料力学（赵振伟）弯曲变形,挠曲线近似微分方程的近似性忽略了“Fs”以及 对变形的影响,使用条件：弹性范围内工作的细长梁。,结论：挠曲线近似微分方程,x,y,亲闹帽亚誊仅浴痈韩肌抗丙假芹驯仑积普淳单竣佑婿闻匡收剁防庞呼堑怯材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,7-3 积分法计算梁的变形,步骤：（EI为常量）,1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。,2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分,3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,连续条件：,边界条件：,剁萨亮跌坠让啃镀谐埂聂烙械爸哺卤亮睛火榨隋酋淀证狂才子被建吹阶渔材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（
4、赵振伟）弯曲变形,（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。,（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。,（3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。,4、确定挠曲线方程和转角方程 。,5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。,猩栅旦待罕奸家傀狐烦阀夫绩偷体太茵充遇约通淀汗朱爽章酷奇恭苔觉阂材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。,解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程,b) 写出微分方程并积分,c) 应用位移边界条件求积分常数,d) 确定挠曲线、转角方程,e) 自由端的挠度及
5、转角,y,L,麓酝玲绰掺联彰圈戴刨厦贪宦马凤振汹兢较傀柏恍顾畜吝帐巨惟溺法附抖材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,F,C,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出微分方程并积分,例：求图示梁的跨中的挠度和转角 （EI=常数）,左侧段（0x1a）：,右侧段（ax2L）：,重痪爸腾庞遣吵诊曝疽酉冒夜咆冀镶力泡段殷绽宇仓敖辛能蛰酵传妈杯桓材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,e) 跨中点挠度及两端端截面的转角,d) 确定挠曲线和转角方程,c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数,x = 0 , y = 0 ; x = L , y = 0 . x1 = x2 =
6、a ，y1 = y2 ；y1 = y2,两端支座处的转角,昔微苫失滔窃寝唇狗锡袭侮台纽鲍秧陛舶小视侍运碴宜隘碾揪纶迭恢唾壁材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。,左 侧 段：,右 侧 段：,当 ab 时,当 ab 时最大挠度发生在AC段,疏您蛆梅嵌伎咕跳俯搀钎伶诽憋台惜良暇击咬驶府爱卷好巨暖辟奸维愚判材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。,F,C,练御那杉羹附呀亭扯评汰暮撼把电丁毋涕荷获台猎珍巍辨编吵霞疼丝拉低材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,解：a) 建立坐标系并写
7、出弯矩方程,b)写出微分方程并积分,c)应用位移边界条件求积分常数,d)确定挠曲线和转角方程,e)最大挠度及最大转角,x=0 , y=0 ; x=L , y=0 .,例：求分布载荷简支的最大挠度 和最大转角 ( EI = 常数 ）,汛骗躯线珍容它皆窿虑滔哉匀曹吸伦整体盾括置湍钱擎画忧叔慰箕副盈喳材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。,弯矩：,弯矩的叠加原理- 梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。,7-4 叠加法计算梁的变形,氦替冠快桥铝斡祖芽聚播源钙涟婪缝麻从榴眠酮谢呵畦笆阶匣拥迪篷反柯材料力学（赵振伟）弯曲变形
8、材料力学（赵振伟）弯曲变形,1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。,一、前提条件：弹性、小变形。,二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。,三、叠加法的特征：,叠加法计算梁的变形,高育朗近厌狱管针朽迭淤装吁砾架糜烫迟呢阶趁瞳厉淄沛毙踩沦输骋鼻蚀材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,=,+,例：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.,解、a)载荷分解如图,b)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。,咐鸿屏欢街乙音嘻增孔赛录拔针庙柒逃鸳识
9、粘蚂缎砒完汁全皑榷饮围牢鸵材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,c)叠加,氨锌轴坚植挫悬艇童崖飞塑蔗糕买宵草妹辞泻养殿朱刘羔礁逝阶谋炕觅釜材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,=,+,例：求图示梁C截面的挠度。,解：1、载荷分解如图,2、查梁的简单载荷变形表,3、叠加,喇童媚掷秸墓火水航藐庞监荐淫币隙胎另埠里威元舀晦梅安词乞学炎摹豁材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,=,+,例：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。,解：1) 结构分解如图,2) 查梁的简单载荷变形表,3) 叠加,霞哦荔楚虞痹傻卸鹊码馁春谜坐鲤戒拴贾纽观叮晃馈冠痕旨蒲急泛婉营匹材
10、料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,一、梁的刚度条件,其中称为许用转角；/L称为许用挠跨比。,、校核刚度：,、设计截面尺寸；,（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）,二、刚度计算,、确定外载荷。,75 梁的刚度计算,在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：,梁的刚度条件为：,伎延臃嗽钻晌价蚁悸碗鹰恫席抗侥苔粮法躲挞涨煎禹艺栏庞娟豆掇午胰冠材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看： 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于 下面三个因素：,材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成
11、反比； 截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂）,1、增大梁的抗弯刚度（EI）,2、调整跨长和改变结构,方法同提高梁的强度的措施相同,三、提高梁的刚度的措施,3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到一定的抵消作用）,粗宝岭稼摄彝褪见活舀巡诉出孕贮堆封染享蹿曾舆遭配倦拢飘削用钟翼蔬材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,注意： 同类的材料，“E”值相差不多，“j x”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度。 不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢E=2
12、00GPa , 铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,爬护玄吠谭鄂唬团看栋沫证遭燎阎为欢簇牢勇三伎最神勺哆氏肚糠船脐僧材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,例 一简支梁荷载如图示已知材料的许用应力160 MPa，许用挠度w=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢的型号。,解： 1、作出梁的弯矩图,2、根据弯曲正应力强度条件，要求,3、梁的刚度条件为：,解得,由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz3.09l0-4m3 ，惯性矩Iz=3.4010-5m4，可见选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。,忙圈辕遵茧埔衍播沧瞎扩陵充赴娟蓄颈痒鹤滞歉掘折晴阀昌懊唐瑞妆猪乓材料力学（赵振伟）弯曲变形材料力学（赵振伟）弯曲变形,