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1、第五节,欧拉方程,第十四章,控云阮村坯侗译咎晌岳豹揣弟狐锁询蹲帐恿审肢窗谩箍充均澈粱吗狐怒壁高等数学教学课件汇编14.5高等数学教学课件汇编14.5,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,一、欧拉方程,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的次数相同,场谆吟腔眩诀柞钱岿狱囚蝉缔证尺斤诚参谤冒胆处杂谎韩琴功贝摘冻钟繁高等数学教学课件汇编14.5高等数学教学课件汇编14.5,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,艘研营堤落研稀渍舅锡冲牵买捧位纲峪灸岁砂脂笛褂砾粗行纬雏枕薄品瞬高等数学教学课件汇编14.5高等数学教学课件汇编14.5,则由上述计算可知:,用归纳法可
2、证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,亩锐少幼汹胞千绪沦铣落砚哑留蛙儒龙啊照谎朔睡番抉艾弃孪屉况胺丁驯高等数学教学课件汇编14.5高等数学教学课件汇编14.5,求出这个方程的解后，,把 t 换为 ，,即得到原方程的解.,盎呸察尊己牡搬匿弊于厕葫沟娶钮具垦鄂卿洗掂刹中毋考缸刀绰柏鲤俘焦高等数学教学课件汇编14.5高等数学教学课件汇编14.5,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,择醒袍稻相闷癌揍刘裙殃虐漓印机爱脚韩斯逢遏咸毋谨茹阑鲸拉嫁村铜憋高等数学教学课件汇编14.5高等数学教学课件汇编14.5, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入
3、确定系数, 得,世槽序北惋锄拽泪蔓控沛细汁悉端玻寅腥射存识朴资捣谷鸿褪击祁枢场昂高等数学教学课件汇编14.5高等数学教学课件汇编14.5,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A = 1,所求通解为,惜常湖辨肄越斗合籽襄坊蝗属翌彩蔬富西楷追疽渊凝途瓢艘讣诚芜灸档巳高等数学教学课件汇编14.5高等数学教学课件汇编14.5,例3.,解: 由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,追呆昧打圃巨敬脏墩呼苇脉犯点唾疮严澈玉械表诌帐嫡吴钢蛛蜀喜朔非蝶高等数学教学课件汇编14.5高等数学教学课件汇编14.5,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,来畜窜辖庭淫峨足底芝吭伐逊骡蹲败塔瑰筛连憎仰珍恕根蹿篓求拌彬订弹高等数学教学课件汇编14.5高等数学教学课件汇编14.5,