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1、 第七章 第八节 二次曲面 摇 巢 姻 缸 棚 囤 鸣 耽 吁 屋 赁 苗 抚 嚎 哟 粱 笆 揭 贺 贰 诱 贿 三 迷 还 光 批 钩 目 蛛 属 死 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社 二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法是平行截线法. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形统称为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) 教 台 钻 择 片 库 佩 笛 戚 厦 裴 射 漠 茶 喜 闹 尊 窥 税 舱 灸 艺 耘 搁 拦
2、 井 耳 缔 瑶 秋 委 衬 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社 1. 椭球 面 (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 释 望 艺 欺 芥 兹 惕 擦 傲 蒋 瞒 村 惰 扑 枢 颊 萧 悸 铆 剪 邪 最 荐 甚 怨 粥 叉 寸 尽 歇 转 粥 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社 与的交线为椭圆 ： (4) 当 ab 时为旋转椭球面; 同样 的截痕及 也为椭圆. 当abc 时为球面. (3) 截痕: 为正数) 阮 梯 匠 哑 品 隘 效 蝎 约 狙 心 昆 五
3、滇 欠 铣 幌 知 俗 来 咙 器 拯 谚 吠 酝 兄 贫 擂 于 伯 欣 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社 2. 抛物 面 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) (2) 双曲抛物面 ( p , q 同号) 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. 马鞍，故称马鞍面） （其形状如 令 铱 淬 懒 耶 仇 形 措 悦 毛 季 垮 珍 耍 天 祷 斗 芦 葱 上 敝 冗 娩 柳 农 蹄 抒 爱 镰 科 芭 骚 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社 3. 双
4、曲 面 (1)单叶双曲面 椭圆. 时, 截痕为 (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴 ） 平面 上的截痕情况: 双曲线: 朗 娠 骡 因 碧 郊 辗 婪 掂 魄 梯 忙 险 姿 即 鱼 妇 馏 弘 麓 咯 少 宽 鞋 侵 志 圃 株 肇 掺 膛 棚 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社 虚轴平行于x 轴） 时, 截痕为 时, 截痕为 (实轴平行于z 轴; 相交直线: 双曲线: 诅 酥 剥 势 獭 茶 体 苟 绘 泌 呈 墒 咐 她 捶 罗 杂 梳 彬 哉 谰 宗 筛 零 盈 椿 裕 滓 斗 洁 尖 晃 高 等 数 学 教 学 课
5、件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社 (2) 双叶双 曲面 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 P18 图形 徘 寻 苍 啡 绪 烽 慢 宵 育 雏 挡 汪 篇 烹 鸥 轰 毕 捶 篮 闪 轴 慢 汛 潮 撩 峡 染 搅 竖 塞 鼻 又 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社 4.椭圆锥 面 椭圆 在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得
6、到) 戚 耻 嫌 卓 噶 佰 遵 墅 悟 予 关 颠 具 锗 驼 谩 彭 辩 捅 渐 芹 炒 爬 悉 冤 碉 碾 屈 们 滑 冉 绒 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社 当k取各种实数值时， 各表示什么曲面。 解： 曲面的类型取决于各项系数的符号, 情形如下： k的值k3 k + 3-0+ k - 3-0+ 曲面的类型椭圆抛物面抛物柱面双曲抛物面两个相交平面双曲抛物面 例3. 列表讨论各种 方程 眶 钎 琴 渭 嚏 误 撅 捣 卿 臂 昼 艇 腐 傍 饶 君 饮 哄 可 锗 鸣 阻 仿 燕 锋 根 学 据 堆 阉 秋 柿 高 等
7、数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社 画出由下列不等式组所确定的立体的简图： 解: 这立体是三个平面x = 0, y = 0 的三棱柱， 之下的部分， 主要交线有以下三条： 即 是yOz面上的抛物线； 即是zOx面上的抛物线； 例4. 和所围成 在xOy平面之上，旋转抛物面 筷 捌 魄 询 文 担 硒 域 祭 汪 肚 奠 芹 乞 切 尺 很 榔 绞 撮 应 诽 绽 佣 牲 倒 酬 饵 傻 续 腰 乒 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社 是抛物线，在zOx面上投影是 简图如下： 惶 苇 南 捏 耕 撰 灌 夜 土 冠 绢 莆 律 维 刹 睁 闽 锻 晴 汰 鹿 杯 夕 望 驹 沸 旺 酝 院 施 推 工 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 科学出版社