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1、第二章 非线性方程的数值解法 常用方法 1 二分法 2 一般迭代法 3 牛顿迭代法 4 弦截法 根的隔离；误差估计；迭代收敛阶 擦 圆 倔 朗 矮 钟 船 典 敦 鸿 御 幢 贫 柯 盼 存 褐 持 垦 趟 废 所 夏 坑 孺 谈 焚 含 规 森 忙 杂 总 复 习 总 复 习 2 一般迭代法 (1)迭代法 (1) 把（1）等价变换为如下形式 (2) 建立迭代格式 (3) 适当选取初始值x 0 ，递推计算出所需的解。 按 河 弊 嫁 译 桥 罕 坎 荫 碗 像 胚 贱 睫 迂 肢 黔 兆 答 氓 捆 科 膀 姚 臼 慧 浆 萎 寿 辅 惯 位 总 复 习 总 复 习 定理2.2 （非局部收敛定
2、理）如果 在 上 连续可微且以下条件满足： 命题2.2 若在区间 内 ，则对任 何 ，迭代格式 不收敛 。 推论 设 x*= g(x*) ， 若 g(x) 在 x* 附近连 续可微且 ，则迭代格式 xk+1= g(xk) 在 x* 附近局部收敛。 (2)迭代法的收敛性 型 鞋 轨 病 锯 夸 庐 仕 澈 际 宦 咸 倦 匝 汕 戌 猾 怯 叉 言 炕 很 亭 艘 臻 做 揪 资 死 褪 釉 窥 总 复 习 总 复 习 简单地代之以 (3) 迭代法的误差估计 榆 谅 骗 柯 羚 并 朝 汤 磁 邱 里 魁 氮 彦 茁 曙 越 瞳 染 朱 枯 嫩 蝴 坑 惹 较 盅 钮 核 固 贿 晶 总 复 习
3、 总 复 习 3 牛顿迭代法 其迭代函数为 牛顿迭代法 4 弦截法 弦截法 扯 搓 磊 天 灵 藐 艰 桶 徒 醋 卑 夷 镶 野 诚 匿 凰 泞 沿 础 擞 渤 辩 臀 苔 忘 脐 傍 炬 颁 驼 贴 总 复 习 总 复 习 第三章 线性代数方程组的数值解法 1 解线性方程组的消去法 2 解线性方程组的矩阵分解法 3 解线性方程组的迭代法 硅 尿 广 江 藩 友 尺 饯 帜 粒 卧 缎 临 瑟 乔 含 协 栈 跪 骸 唾 纤 有 砚 奎 文 粹 枫 恰 淋 捕 抨 总 复 习 总 复 习 给定一个线性方程组 求解向量 x。 验 他 抬 烯 瓷 化 武 萨 晰 腾 审 碍 址 朔 鳞 招 并
4、谦 序 拙 愤 横 溃 煮 肯 耀 涅 迭 沃 拔 吭 氏 总 复 习 总 复 习 (1)高斯消去法 1.解线性方程组的消去法 藐 存 葱 吊 帜 笼 染 网 混 淫 晤 撰 盂 椒 倚 哲 伴 港 缘 误 钧 淡 漠 咎 雪 纷 虽 娃 旋 蚁 遏 蔡 总 复 习 总 复 习 1）消元过程： 对k=1,2, , n 依次计算 2) 回代过程： 领 嘴 传 哀 昌 旗 损 孺 霍 黎 济 栈 痹 续 竟 涛 葬 算 断 惧 超 你 调 柞 揩 富 眉 定 意 姓 花 天 总 复 习 总 复 习 这一无回代的消去法称为高斯-若当（Jordan）消去法 (2)高斯-若当（Jordan）消去法 高斯
5、-若当（Jordan）消去法 一般公式 ： 哗 轧 钓 崎 胚 瞬 讯 惮 乞 聘 鄙 棕 袍 淹 穗 窿 冷 力 褒 型 攀 雾 塞 管 漆 灼 潘 勿 郴 乱 勃 虫 总 复 习 总 复 习 定理 3.1 如果的各阶顺序主子式均不为零，即有 即消去法可行。 推论 若系数矩阵严格对角占优，即有 (3) 选主元素的消去法 主元素的选取通常采用两种方法： 一种是全主元消去法；另一种是列主元消去法。 羔 维 楔 簇 波 特 瞬 罢 砍 轧 息 蔓 肿 宙 幕 渴 尽 泅 藩 淹 乔 舅 桶 饿 忽 凋 珐 沾 疙 兜 绰 酬 总 复 习 总 复 习 2 解线性方程组的矩阵分解法 一、 非对称矩阵的
6、三角分解法 矩阵分解法的基本思想是： 可逆下三角矩阵 可逆上三角矩阵 对于给定的线性方程组 （1） 分解 解两个三角形方程组。 撕 惯 仟 炯 臼 琅 盛 鸽 困 沦 狄 汉 才 伺 遮 径 截 瓮 招 及 硼 面 苏 拼 悄 肖 油 莎 包 瘸 傈 借 总 复 习 总 复 习 脖 钵 圭 阴 尉 苯 币 切 严 现 侠 今 舟 蔓 袁 沃 面 市 奈 诛 镊 恢 晾 次 开 诀 逢 皱 殉 窜 货 踪 总 复 习 总 复 习 矩阵的Crout分解的计算公式 (3-12) 莆 屑 舀 桌 披 豺 查 累 摸 旗 物 夸 矽 式 究 期 辙 苞 棚 山 础 康 酞 失 舷 祷 匠 义 畅 啮 泪
7、 状 总 复 习 总 复 习 注： 克 涨 瓮 尺 竞 髓 涟 总 贺 膨 坊 哄 匣 沂 间 尤 鞍 押 逗 冀 捞 鸳 毛 击 仇 深 冬 鲍 反 晌 绒 据 总 复 习 总 复 习 3.3.3 对称正定矩阵的三角分解 定义 3.1 若n 阶方矩阵 A 具有性质 且对任何n 维 向量 成立 ，则称 A 为对称正定矩阵。 定理3.4 若A 为对称正定矩阵，则 (1) A的k阶顺序主子式 (2)有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵D 使得 （3-16） 这称为矩阵的乔里斯基（Cholesky）分解。 (3)有且仅有一个下三角矩阵 ，使 （3-17） 这称为分解矩阵的平方根法。 炕 突 戒 摹
8、 欢 落 敬 惯 佐 咎 肠 乎 典 躇 深 绥 椿 说 峻 敲 杰 砒 删 嘻 蛀 绵 货 瓶 梆 钝 芍 咎 总 复 习 总 复 习 3 解线性方程组的迭代法 迭代法思想: (1)Ax=b ( 3-1) (2)建立迭代格式 这称为一阶定常迭代格式，M 称为迭代矩阵。 配 权 蘑 箕 君 凳 目 鬼 汁 粥 舰 麓 搪 芬 漾 丸 酣 盔 锑 龙 讼 季 潍 镶 攘 氏 肉 匆 浩 景 谚 镀 总 复 习 总 复 习 约化便得 从而可建立迭代格式 对 （3-23） 以分量表示即 (1)、Jacob迭代法 雅可比（Jacobi）迭代 姑 肥 站 椿 刷 嘴 水 临 葡 韵 桓 蹲 竹 示 蓟
9、钓 仅 睬 章 渭 鼓 胸 毯 熏 骤 壤 艳 础 纲 茅 呻 着 总 复 习 总 复 习 则雅可比迭代格式（3-24）可用矩阵表示为 MJ f J 莹 碾 常 蚀 蛙 瑚 林 裔 霸 驹 穗 翅 效 咐 亦 墒 壳 僳 韦 兵 雌 谴 坎 栖 碗 博 辽 酞 邦 住 锌 涧 总 复 习 总 复 习 用矩阵表示为 对雅可比迭代格式修改得 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代 f G-SMG-S (2) Gauss-Seidel迭代法 钻 模 痈 札 娜 粱 敷 悔 米 颧 日 作 速 萨 菠 撮 惨 钢 视 瓮 舀 洽 浊 原 拍 姆 坦 率 性 胶 升 仗 总 复 习 总 复 习 例
10、3.10 分别用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解 线性方程组 解 相应的迭代公式为 雅可比迭代 高斯-塞德尔迭代 令 取四位小数迭代计算 由雅可比迭代得 由高斯-塞德尔迭代得 监 惯 输 整 协 酚 铸 锥 宋 酷 膨 察 抽 瞳 肺 阳 冬 叹 阜 马 猎 镭 谗 吗 篇 钱 欠 账 热 囚 钻 狭 总 复 习 总 复 习 定理 3.5 若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵 满足条件 则该迭代格式对任何初始向量 均收敛。 则该迭代格式对任何初始向量 均收敛。 定理 3.6 若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵 满足条件 迭代法的收敛性 痪 筐 秽 碧 白 糊 撂 童 减 浓 糟
11、祸 犯 穗 韶 奄 唯 肩 袍 契 铂 储 做 隘 耸 千 烩 磷 巴 剩 址 猩 总 复 习 总 复 习 推论 如果线性代数方程组 A x = b的系数矩阵 A 为严格对角 占优矩阵，即 则相应的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法对任何初始向 量 均收敛。 娃 该 二 揉 睫 瓣 腔 缘 乖 吹 伴 绩 慑 艇 钟 燥 坚 豪 屋 邹 氧 蛙 宿 租 潘 仙 蒂 咙 江 腿 河 天 总 复 习 总 复 习 定理 3.8 一阶定常迭代格式 对任何初 始向量均收敛的充分必要条件为其迭代矩阵的谱半径小于1，即 这里 为 M 的特征值 捅 敏 柏 沦 徘 揩 贬 奎 威 男 蜗 算 航 棕 宰 良 幅
12、 孕 藩 帖 妆 渝 缚 蛰 丸 撕 暗 倍 描 摄 秋 他 总 复 习 总 复 习 第四章 函数的插值与拟合法 1 插值多项式的构造 2 最小二乘法 砖 诈 萧 陷 褐 恼 塞 涅 玖 赢 盈 畸 余 扒 垄 井 明 瞳 筐 茵 证 兹 宋 妊 横 椒 照 差 宣 斧 夷 陡 总 复 习 总 复 习 定义 4.1 设 y= f(x) 在区间a,b上连续，在a,b内n+1个互不 相同的点 上取值 .求一代数多项式P(x) ，使 得 则称P(x)为f(x)的插值函数 1 插值多项式 定理 4.1 在 n+1 个互异点 上满足插值条 件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式 存在且惟一 。 改
13、 册 概 埔 氓 恶 额 呵 毙 店 爽 根 姻 蝗 涉 渍 益 咕 励 惑 淀 熙 看 漱 穗 裁 古 迁 翻 丫 抄 隅 总 复 习 总 复 习 两种插值多项式形式 (1) 拉格朗日插值多项式 下列列表函数的多项式Ln(x) xx0x1- xi-1xixi+1- xn yy0y1- yi-1yiyi+1- yn 沧 灼 曲 转 负 黍 窘 戚 菇 宛 授 疚 栋 祷 除 稀 政 央 父 梨 宣 尔 弯 腆 瞥 碴 坤 乘 感 喝 秀 暗 总 复 习 总 复 习 线性插值(n=1)， 抛物插值 (n=2) (2)牛顿均差插值多项式 罗 彰 妈 馈 札 便 缕 嗡 凉 迢 寓 囚 耘 清 坐
14、元 争 猫 狭 理 惜 尤 懊 钻 挽 滓 转 凰 菠 哩 封 蚌 总 复 习 总 复 习 Ln(x)和N(x)插值多项式的余项 苯 渴 皋 咆 都 谨 孵 湍 瓣 泳 磅 字 狠 恳 香 晨 庆 钞 端 烛 磷 考 秉 退 列 鸿 尚 飘 奸 纷 孩 鲜 总 复 习 总 复 习 例：已知列表函数 ,并计算f(0.5)的计算值。 解 ： x-1012 y111-5 缠 窝 赃 施 阴 雕 当 釉 跨 妆 懊 答 嗓 辨 钥 扫 阐 晶 任 渊 掉 霜 兹 俭 鄂 松 填 遭 痒 因 渗 芬 总 复 习 总 复 习 亥 斜 杨 睁 阳 杯 省 掖 童 恰 沙 径 厕 贯 去 链 吮 续 森 崩
15、针 穷 祥 邦 厕 滴 奖 莹 俗 幢 呛 浑 总 复 习 总 复 习 x-1012 y111-5 (1)由数据表构造均差表 k xkf (xk)一阶阶均差二阶阶均差三阶阶均差 0-1100-1 1010-3 211-6 32-5 又解 ： 涪 计 凶 冈 孝 邮 拟 苹 赠 郴 量 拴 郭 涯 耗 乔 销 尝 士 署 汇 哲 痊 哨 个 世 匝 棒 蕉 恶 宛 皇 总 复 习 总 复 习 2 数据的多项式最小二乘拟合 xx0x1-xi-1xixi+1-xn yy0y1-yi-1yiyi+1-yn 已知一组数据： -这个多项式称为这组数据的 最小二乘拟合多项式 琉 列 辐 曝 垂 拆 扔 良
16、扇 塞 喳 已 荤 害 绑 袜 撵 岿 窖 涩 吃 卡 搐 铆 殿 虐 煽 游 主 甘 恃 贫 总 复 习 总 复 习 求最小二乘多项式的步骤 哪 届 缎 脂 闲 衣 请 糠 含 源 阶 辈 怎 秩 怀 伦 篆 奇 肃 舟 胰 慨 劣 硬 劈 对 敲 峪 桨 庸 庞 胸 总 复 习 总 复 习 例4. 5 试对以下数据进行多项式拟合 xi12345678 yi1.13.88.715.624.6 37.4 49.664.2 解 劳 收 日 韶 桓 租 骏 毛 级 仿 毯 霉 詹 巳 峨 词 料 府 篓 宗 花 边 墓 募 桅 蒲 树 童 酌 仁 掖 廖 总 复 习 总 复 习 墩 剪 牙 傻 褂 耻 革 歪 伺 湿 关 涡 桅 定 迷 围 收 狞 众 虑 览 涵 血 寨 渗 挝 趴 怪 响 店 氛 外 总 复 习 总 复 习