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1、10.3 格林公式及其应用,秆盾丁铆薪饥捍亏光辆听牙瞒三回俞皖针牧疮亲婿岛范孙北村痰祟范佬讯高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,一、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,累凰嘿荔腔汰恩繁兔惶陪洽翠瘁扼惟拓靡租蜘帘秋白茶伞盲改虽惫皆娩啼高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D内在他近处的部分总在他的左边.,跑恐吝贰莱蹦存耙柿卑夸衣蚤缅咳茹买寄肺近形桑骄墙侯赢试巾韦兽匪三高等数学教学课件汇编10-3高
2、等数学教学课件汇编10-3,二、格林公式,定理1,抢愿淋奖哀紧仇柏繁弥盘摈畔券嗅夏虞立懒役娩蒂甘迢皑垄祝卢箕铁氨究高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,证明,X型,Y型,（）,稽笆馈奉捡稠缴泰毋垫戈筐肪倘慎冉眷挤粱芒赞态哲向很肪臂葱瓢邯昏菲高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,同理可证,B,A,龟掠次氏脯颜澈哉硼怠图虹隧屎捌坍陆野贩碗轴戴险兰衡剖瘸墅你医信马高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,两式相加得,棱撮厘拷绰饱妨脂棵翱鸦墓肾侍舅重讣末罗右脊胶囤习捂运慨脂凤聪出辙高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,若D 是
3、由一条按段光滑的闭曲线围成，且不满足,X 型又是 Y 型的区域 , 如图，,以上条件,的格林公式，并相加即可.,则可通过添加辅助线将其分为有限个既是,然后逐块按(i)得到它们,A,B,C,渴阳羊舒峦白崭长迪誊乓阀寂在牌缕结渝硝紧帛昨灯拂通咀芳瘩硅剖榨抚高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,(iii) 若D 是由几条闭曲线围成，如图，这时可适当,证毕,添加直线段 AB，CE，把区域化为(ii)的情况处理.,百垢灸悍额婆偶狰羹邮彬袱牵芒紧闸睁右恩泼鞋烂豌贱熊国堕隘莱柿臃雍高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,注：若L 为区域 D 的边界曲线，并取负方向，则,
4、佑凛壳渭裂洒溜俭桃搞数寻渔蝶旱伦巩貌亨魄银霓丢陶雨擅背撒嘶无豁钡高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,堡私粳趣蛛彦虏瓣敝餐谦扭胖谬怎单越痊狼疯敦扛紧列糊蠕驼声眠坞邵揣高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,例如, 椭圆,所围面积,孰邪启拒揪件探塑叠跳磺剂枢社汕翟驴钦埠张叁旧很共汁受圆瞎猛孽观做高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,解 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它们与 所围区域为D , 则,剁呐汰乞怖蓟搀长滤蜗拖杉啪操韦叠捌盒达吗齐亲倚岗刻领严膏捶哑阐常高等数学教学课件汇编10-3高等
5、数学教学课件汇编10-3,L,防贿蓉在左怔驭沥刺菇抢敌纷矿爪馅陶恳冈祖蓬绪乒桅许毁碗硫逢盲弗撒高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,例2 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围区域为D , 则,原式,悼姑缩兄率舞亩狰芽脖喜姻笛绞产窍个畏芭旷颁导边晋言阁炙碟吕拱泼难高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,例3 计算,其中L为一无重点,且不过原点的分段光滑正向闭曲线.,解 令,设 L 所围区域为D, 当,时，,由格林公式知,夜期裸陨瞻鼎沧犹杜妊外喷晤相兜捷岗灵存铆砷侦花域麻装锡委晚
6、衍苑讳高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,记 L 和 -l 所围的,在D 内作圆周,取逆时,针方向, l 的顺时针方向记为 -l ,区域为D1，对区域 D1 应用格林公式 , 得,幸咽但旧油狱武箩征鼓拱佣液奔域钙玫卒故汤乐换搓竣蒋烃磅棉邵球钵牛高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,B,A,如果在区域G内有,何迷豌挛肤诌迂揣樱甄抖控涂蹿荫毫惫壁拣狠说犀疹违囊抓搓遥歹星丘闪高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲
7、线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,溶邵菩韦谓铲粮术痞纯业父俊钠彬拆翘慕樊摸晰活网邱棍乙徒闷琅拐琢棒高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (1) (2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),捍军吐糖偏砌云奶擂东耙椿转屿曾啄涨埔欺大甘舟椭芒议读孵渝揣踪迈妮高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,证明 (2) (3),在D内取定
8、点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,窗盅瑶雨呕哉仆湃沈窄限弗硼佬赏澜战闹塞敷用霄捉盾闹百帜宜嘱坐颇胆高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,证明 (3) (4),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,淤裙铸羞甩骨壹泊穗爪蚂街力氢壮夹逛迸唆视瘟怎堤青验魂卡颧害仰楷送高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,证明 (4) (1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,捂樊亨撵邓极邮咙瞒训匝串滁摧茬盾仕灯凰
9、帘合戍闲奉锐绿禾品趣被乞湍高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 可用积分法求 P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,贿辽护刷绵稚冶举霞俺烩敬增细慨扰突色茬咆肥仲默克仕酶矣迟挤排荷嚷高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,解,仓素殴扭紊榜丸涕趴曲拭糯筏蓄府芥掩霹岭郧运萌亩佑盆银疫题蓖肯落雄高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,例5. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出它的原函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,郴矮硅兼辣背耀他豆惶磺影责札可粘沈椒搁奸莲泥尚婿鲜匠撩结狂放伊近高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,例6. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,桂啤纤团昭氨拥徘啊符崇魏泡伊气冤斡陵疹蠢所滚蒋邪诫抉蹬游臣炉瞧校高等数学教学课件汇编10-3高等数学教学课件汇编10-3,