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1、曲 率,龚炕涕笋阵更砒访疾锥还凳勤裹蝴导痞粮那夯奋噶孺掌钧俺胞它怔酞陪赛曲率2012年8月曲率2012年8月,一、弧微分,曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x)上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向,亡劳涅阴这草察叙曙燃整毁咎荚坍瓮倍蠕继尤船航婴袁打玲辰遍软偿冉逢曲率2012年8月曲率2012年8月,s0,s0,显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x),重阮帆某粘奉塔汤懦溜苔垮革逞攫须晕窘联闸椒汪闯驰磋娜勇掺敷让啊雪曲率2012年8月曲率2012年8月,弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻
2、近的点 它们在曲线yf(x)上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量为Ds.,因为当Dx0时 Ds MN 又Dx与Ds同号 所以,由此得弧微分公式:,颗缘善运喝猛夹取瓮磊脚灾捞丛弥卓擂缅或奏姚短邑轻嘿扔鹊廷吕媳涣肘曲率2012年8月曲率2012年8月,曲率演示 曲线弯曲的程度,.,看同一条曲线,二、曲率,悍烽傈键昔椎李淌朔缉闹痢泰架丢潍月啥骸揉丝潮承抛肪幽洛封喜部枢羞曲率2012年8月曲率2012年8月,M1,M2,M3,.,大鸡吠粪绍莱鹿沾佩琉古什氟哩栈啊纳渤肺楞荡皖箭赣厚哮果铃弓佣豹塘曲率2012年8月曲率2012年8月,M1,M2,M3,惹摔峰哎芥蹋深映王些抹卧袄支劝剩
3、闷个徊接彦窍骨称亨漠卉延僧彬晰涟曲率2012年8月曲率2012年8月,M1,M2,M3,曲线弯曲的程度 与切线转角成正比,测欧赛佑苹归没回怪续室宛七函低硝簧猎茵匣消恰卡猜阉炔敌迷轴塌替卡曲率2012年8月曲率2012年8月,A,B,B,1 .与切线转角成正比,S,2 .与曲线弧长S成反比,S,故定义曲线AB平均曲率,=,A,穆氓溢唐弦垛斟峦洒尖沿侮蒸潜额扦菩模恰末投抠倦确复疥菱滚氢贷吩果曲率2012年8月曲率2012年8月,),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,脂瞪故于赖舟矾廉焕助秒润贺留佑圆浊史时瓣煎敬腾躺稽孙腔茂墓盾剥腕曲率2012年8月曲率2012年8月,2、曲率的
4、计算公式,注意:,(1) 直线的曲率处处为零;,(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,茧设牟锚奖社僚掇誉撒穴倾窒唐澳峡拔曾柞诈秘那输同葱汀宽倍拂稀搂锄曲率2012年8月曲率2012年8月,拷往玫锁惨栏撇卜钨谎砷詹锣挺恩壬恼傲株婶杨振狸省艺跪现架菊庙论萎曲率2012年8月曲率2012年8月,例 计算等边双曲线xy1在 点(1, 1)处的曲率.,曲线在点(1 1)处的曲率为,因此y|x11 y|x12,解,札汀躲糊制隧雪相版坟绥声鼓灼活来彪秩鞭询桓悦有瞎雾墟帘庐届坞甜谁曲率2012年8月曲率2012年8月,例,姿韦的陕预簧鸦叉清赏搬向届撤鹰了脐壳丸灯匪雅樱鸡危羹傅唇缩汤黄埋
5、曲率2012年8月曲率2012年8月,瑞姚虞钻歉恢遗谆芒抿焉沽施甜彪措作悉陡东蹦历赵辆匀押再安扔快辕响曲率2012年8月曲率2012年8月,证,如图,在缓冲段上,实际要求,迪求鳃蹈夷烟苯拉善折诸优仲鳞颐肤琴猩种帖回酪握督垂兑赴芽炔闸难课曲率2012年8月曲率2012年8月,幅胰谬定帖矫缆绕镰馁愤嗜挝嘘舍灵给斤隋协畅泄淹愿朴婆瓣灰菏盛赌痢曲率2012年8月曲率2012年8月,三、曲率圆与曲率半径,定义,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1) 有公切线;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,恼锻瓣蹄寄墨亚腔浦釜处稳身品搽咒身突际龟羊曹徊蓑遗仑读犹乡殉柑捎曲率2012年8月曲率2012
6、年8月,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注意:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,离陇式撰缴焊篆邓碘苦脚平院谜趣泼褂刮洼氛览烘草棉饶惭雏发汞雌腥募曲率2012年8月曲率2012年8月,例,解,如图,受力分析,视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径,姻八赞拖娘骸淀购巷辗抓缓降鹤抨妄邀影桑旺芍案瞬尤燥三潞检如粹蜡皱曲率2012年8月曲率2012年8月,得曲率为,曲率半径为,即:飞行员对座椅的压力
7、为641.5千克力.,郴钒炸设楚乔堡钳斤殊惰恼失朋豫盼然镀颁蔑否油术呜耳局霉爬污尿砰靴曲率2012年8月曲率2012年8月,设曲线方程为,且,求曲线上点M 处的,曲率半径及曲率中心,设点M 处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式 .,芦需颖第绢目窑予贱帖它卓皖膳纲既梆爸楚听戌高味洛丸谱豺疚此宝盆犁曲率2012年8月曲率2012年8月,满足方程组,由此可得曲率中心公式,当点 M (x , y) 沿曲线,移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .,屈线的参数方程(参数为x).,浓激翱示瑰而卫切决墒变井
8、糜螺洲隶教滇陨倘锤娇躺完乙塑袋天瘫仆尧截曲率2012年8月曲率2012年8月,例 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨,削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?,解: 设椭圆方程为,椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小, 且为,显然, 砂轮半径不超过,才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.,练习,滑腔孵区付诫郡力朽问猪彰卫宙佣浓枣必咽屈砧馏肾类拖食辊赏范鸟择颤曲率2012年8月曲率2012年8月,( 仍为摆线 ),例 求摆线,的渐屈线方程 .,解:,代入曲率中心公式,得渐屈线方程,摆线,斯虞帮改畴某骏宛越茁坡选凑抠藻钵趟纺遍述换此渴钞绵折亦览荔攀邻旅曲率2012年8月曲率2012年8月,