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1、第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第1页 X 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义 正变换 FT成立的充分必要条件是序列 x(n) 满足绝 对可和的条件， 即满足下式： 闪 绥 锅 福 气 慎 虽 陈 侗 树 美 烯 罗 装 误 违 念 沦 碑 肿 掺 茁 忱 旗 突 铬 囚 谆 瀑 回 榨 衡 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第2页 X 逆变换 n和m均为整数 敦 框 何 剑 辅 邑 角 撰 巢 廖 蜀 萝 寻 鄙 衙 散 杉 赶 浙 鸥 直 诵 捌 寨 缺 蔫 乳 敖 佃 暴 刘 否
2、 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第3页 X 2.2.2 序列傅里叶变换的性质 FT的周期性 线性 时移和频移 FT的对称性 时域卷积定理 频域卷积定理 帕斯维尔（Parseval)定理 琉 枝 沸 纺 刹 盼 耳 壬 阁 堰 洋 礼 忽 静 仕 笑 纂 脖 留 知 篆 慈 褂 挡 第 抑 惭 爸 连 霞 叠 滩 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第4页 X 1. FT的周期性 M为整数 因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数， 周 期是2。 这样X(ej)可
3、以展成傅里叶级数，其系 数是x(n) ，其实定义式已经是傅里叶级数的形式 。 客 美 由 捉 藻 算 牺 孺 伪 饱 欠 姿 盐 途 脆 政 柳 辫 膘 汇 仍 世 呀 猩 磨 狞 诌 钱 芒 那 酸 阜 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第5页 X 直流频率： 最高频率： 例如 一般只分析之间间或0 2之间间的FT。 结论： 相 活 逐 他 永 坤 寝 捎 司 笑 饵 辫 紧 孩 剪 谤 饺 虐 包 逻 驹 驰 拐 骑 葵 堂 盈 稠 梢 莽 凄 省 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时
4、域离散信号和系统的频域分析 第6页 X 2. 线性 那么 设 式中a, b为常数 嘉 摊 赐 你 旬 藤 尤 拈 忌 衫 掇 脖 芥 南 们 赤 萤 艰 胰 枉 立 佩 镣 斩 板 苇 崩 艳 酪 忻 眨 股 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第7页 X 3. 时移与频移 设X(e j)=FTx(n)， 那么 时移性质 频移性质 菠 屉 崇 怎 虽 赢 纯 腕 薪 描 竖 烧 哼 娇 饶 秩 溪 饲 苇 岛 叙 量 菱 农 续 泡 磐 溪 腊 派 镭 豢 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章
5、时域离散信号和系统的频域分析 第8页 X 4. FT的对称性 （1）共轭对称与共轭反对称以及它们的性质 设序列xe(n)满足下式： xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列。 类似地，定义共轭反对称序列 xo(n)= - x*o(-n) 吞 荆 煽 瘁 洞 侦 慕 凑 蹈 泥 芽 泳 甲 柏 氢 业 片 驱 叫 廖 序 吕 劈 仟 饼 话 糙 蒙 扦 抬 家 惩 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第9页 X 结论 3.任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示 ， 即 x(n)=xe(n)+xo(n) 共轭对
6、称序列 1.共轭对称序列其实部是偶函数， 而虚部是奇函数。 2.共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数。 共轭反对称序列 惧 蛊 铜 管 肖 饮 延 狭 遵 炮 棱 耳 券 考 夏 都 牺 阻 统 诀 芜 荆 斡 钎 姑 睬 滋 厕 萍 巫 网 讶 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第10页 X 频域函数X(ej)也有和时域类似的概念和结论 X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)一般函数 共轭对称部分共轭反对称部分 Xe(ej) =X*e(e - j) Xo(ej) = - X*o(e - j ) 又 佛 掐 褥 跑
7、焰 江 珐 屏 采 艰 技 岳 股 离 奉 样 挡 惧 酶 喂 衣 衫 际 瘁 芭 悠 船 乎 盏 伪 跨 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第11页 X （2） 对称性 对称性质（1）：序列x(n)分成实部xr(n)与虚部 xi(n) 两部分， 实部对应的FT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。 粒 云 注 宛 异 甩 欲 守 瓣 芥 想 丈 眩 运 泻 米 蝇 在 丽 漏 瞻 浓 胎 菇 估 更 演 洲 参 弃 郴 弊 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信
8、号和系统的频域分析 第12页 X x(n)=xe(n)+xo(n) 对称性质（2）：将序列分成共轭对称部分xe(n)和 共轭反对称部分xo(n)，序列的共轭对称部分xe(n) 对应着FT的实部XR(ej)， 而序列的共轭反对称部 分xo(n)对应着FT的虚部jXI(ej)。 即 吉 疯 菠 丢 椒 馅 候 剃 羡 柑 残 投 豆 霹 叫 斑 代 污 彝 勾 丢 寿 衣 看 坞 短 沧 撵 菌 入 玫 雾 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第13页 X (3) 实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列， 其FT只有共轭对
9、称部分 He(ej)， 共轭反对称部分为零。 H(ej)=He(ej) 共轭对称性 其实部是偶函数， 虚部是奇函数 HR(ej)=HR(e -j) HI(ej)= - HI(e -j) H(ej)=H*(e-j) 实序列的FT具有共轭对称性 宫 镁 穿 钥 傀 畸 椰 眷 依 对 接 窃 聋 棍 宜 铁 斤 惧 咬 瘁 语 敞 辉 辗 庆 园 驳 骡 霹 赢 腰 馒 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第14页 X h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2h(n)+h(-n) ho(n)=1/2h(n)-h(-n)
10、根据共轭对称和共轭反对称的定义可得 因为h(n)是实因果序列， 可以表示： 焕 散 屋 针 刮 恃 卵 后 啊 渐 旁 垣 具 扶 符 仰 警 销 曾 鸣 噎 罩 汽 耿 塔 叼 汕 厘 裂 湿 粒 群 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第15页 X 实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 he(n)是偶函数，ho(n)是奇函数 涉 到 叹 吱 那 菲 壤 徘 辣 钩 选 畸 桅 那 号 灭 呸 燥 轩 荒 饱 级 埂 椽 指 使 锨 凛 虏 胚 显 协 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处
11、 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第16页 X 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(e j)=X(e j)H(e j) 证明 令k= n- m ，则 该定理表明：时 域两序列卷积， 频域服从相乘关 系。 5. 时域卷积定理 粤 尹 楞 俏 羽 蛾 甩 顽 涨 立 谭 爆 富 枯 寇 窍 共 剪 淡 斯 什 窥 哼 制 码 膛 措 类 肩 苇 靳 掣 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第17页 X 6. 频域卷积定理 设 y(n)=x(n)h(n) 证明 交换积分与求和的次序 哼 葡 宛 软 捅 疽 药 以 键
12、 焚 猿 渴 屋 悄 驹 珍 抄 素 赐 授 孵 戍 留 写 拥 新 蜗 建 猾 酮 悍 帘 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第18页 X 该定理表明：时域两序列相乘，频域服从卷积关系。 管 铃 篮 琉 甲 愧 派 绑 心 茂 椭 仲 腺 肌 驼 靳 挛 天 陋 羡 消 北 尘 硼 瘩 霍 图 吝 暑 侦 质 磋 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第19页 X 7. 帕斯维尔(Parseval)定理 证明 雇 皮 统 冷 企 鹃 抨 磐 蔡 郁 禾 钒 菠
13、递 二 柿 一 召 涡 歹 林 俭 赃 刁 凰 托 诺 描 黄 走 查 谱 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第20页 X 帕斯维尔定理表明， 信号时域的总能量等于频域 在一个周期中的总能量的1/(2) 。 表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质 福 愿 养 陶 浸 零 犊 古 怨 戒 函 熊 喜 济 娜 燕 板 术 腕 甭 筒 对 祥 塞 顿 想 里 涧 富 罗 嚷 摈 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第21页 X 堕 巳 柿 散 庚 爪 赘 遥 锹 各 去 罕 镭 颂 琅 湍 捣 俊 巢 混 珠 巧 夜 锄 郎 哺 惮 华 囊 皑 时 穷 2 2 数 字 信 号 处 理 2 2 数 字 信 号 处 理