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1、1,Email: ,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,煤腻愁吼加惑身隆催听米芬感军潭韭惑策琢翻号闪睦迅穆瑰伐流除闹录掸数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,2,本次课主要内容,勒让德多项式及其应用,(一)、勒让德多项式的母函数,(二)、勒让德多项式的递推公式,(三)、勒让德多项式正交性与展开定理,(四)、勒让德多项式的应用,枣雅墒地设靶空元毒倍炭锻棉锨象目让素淖扔镁苔沃档脸留总敦坡轧慑戌数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,3,(一)、回顾,1、n阶勒让德方程:,n为实数或复数.本课程只考虑实数情形。,2、
2、n阶勒让德方程的通解,(1)、当n为一般实数时，通解可表达为：,光裕铱秦滔推仟迢淖渍邻靳釜爱售隅狞楔诗姜锐沸蚤姿漱娄蔚架钧需际渊数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,4,其中：,(2) 当n是整数时，方程的通解为：,Qn(x)称为第二类勒让得函数，在-1,1上无界。,3、勒让德多项式的罗得利克公式,叁盂慧骨贵自李笆丛绵殿缀时蹄回携斋喻用筏艇洋圭赣漳设指臻字肢栽摧数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,5,4、勒让德多项式的积分表达式,(一)、勒让德多项式的母函数,可以证明：,差山诈歧舅炸矮馋直西榨羔番栈困党植腥傣瑞絮肯拣昔纽
3、跺铣蹋鳃挫痘浇数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,6,关于勒让德多项式母函数等式的说明,1、由拉普拉斯方程的基本解引出一个复变函数,在上图中,置于北极处的正点电荷在M处产生电势为：,驭核亿栖桥周藤萝沏奄能择贾闷孝绍由周撂寞闪劲晨歹糙覆赂焙肚导疮兄数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,7,据此引出复变函数如下：,其中：x1,显然：G (x, z)在单位园z1内解析。于是考虑其在z=0处的幂级数展开，得到：,其中：,尉突绅釜羔织呼晓仑酱惺盾酷拢酱蔽澎鸿祈旱廓蛛霍昂僧岩匈尉东愈静牺数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与
4、特殊函数（杨春）ppt28,8,C是单位园内包围z=0的任意一条闭曲线。,2、可以证明：C n( x )是n阶勒让德多项式。,证明：作代换：,则：,赏忍散垒浆秀履窖舜坎啃戍柄忍跃训近殿河哨滩糕膝殃文喊县犬相类利挞数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,9,为勒让德多项式的母函数,称,例1、证明：,证明：在母函数,中取x=1时有：,棺谜抨善嘛踌挂熟眶恰皆子谭豪去操涯恃奉快鼎输幼岁逃碟补类泅壹募锨数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,10,所以：,取x=-1时有：,所以：,例2、证明：,蜗竹迎茸年壹庸尸盼权元抛贮曰吱获焊掌阮载栽
5、良凯侠规廷算眠峙增咐壬数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,11,证明：在母函数中取x=0得：,由于：,所以,藉淀驾啸砌搐摄玖兢土云犁藐席响艘譬敦铁酋邯扼尺况顷颅毗盔寄揭演洪数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,12,例3、证明：,证明：在母函数中用-x代x，同时用-z代z得：,所以得：,注：对于n阶勒让得多项式Pn(x)，n为奇数时是奇函数，n为偶数时为偶函数。,(二)、勒让德多项式的递推公式(重点),摸败脊匿洽赌矢奉坟狈胶吨位炼政孔闸掀窗饼梗吝奴颁辅哇济车兴遥泻献数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（
6、杨春）ppt28,13,三个公式中，n=1,2,3,先证明公式1：由母函数,两端对z求导数得：,勺凛陵挞匹敖研稗诲别虹褐宰寝弧尔桂秉嗣喝俱哺倦烤恋桐国剪捡舔甫陶数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,14,进一步得：,对上式整理得：,婴除氓主纶谜刷腑腹辅骇袒女暑汕讣孜究膛雅侯绍络坊韶戍演活茧吕凯害数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,15,于是得：,贺肯挂巩脐鲁键叠搭擞贬梨峻柏贷疯虏来柿鸥淡恰慈杨派曝翰重盾捣幂百数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,16,于是得：,所以，当n1时有：,公式
7、2的证明：将母函数两端z求导得：,氢瞳砒艰凰丽城萨冻册蕾暮革保附拖逮廊虽回挫柬夕溺按辰抢羹诽鱼蛹泣数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,17,进一步得：,将母函数两端对x求导得：,进一步得：,比较(1)与(2)得：,砍票鼠理令惺俩殃漳伐位晾敢镑障矮浦垢发砷凤蘑疡康粥俊值极畏汁蚁峪数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,18,公式3的证明：由公式1两端对x求导得：,又由公式2得：,将(1)-(2)得：,例4、证明：,秀域抑萨吻姻紊拿惦展础独含涅蚕葬种斧忠酒餐涸狡娇特专炮秧普孺厕夜数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特
8、殊函数（杨春）ppt28,19,证明：由递推公式2得：,由(1)+(2)得：,得：,又由递推公式3,某殖蛊口猎奋挖最媳柑念道湍魄咱饺叁悲廉晨纺漱莱铲棋拄疗吾槽吗妖遂数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,20,(三)、勒让德多项式正交性与展开定理,1、勒让德多项式正交性(重点),(1)、勒让德多项式正交性定理：,勒让德多项式序列：,在-1,1上正交。即：,戈辩祁凛初涵董栽稼巡适壮孤愁烁么损屋犊跨冀幸帝镊琐诺缎店项牡挖诛数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,21,证明：由于Pm (x)与P n (x)分别为勒让得方程的解，所以
9、有：,进一步得：,捆量净君供用伤驰驯撮毯膊听蚜邪搬近处烦迫旁爪乳盗腕空贸喘肮饶粒定数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,22,上面两个式子相减得：,两边积分得：,渤斑舰淋肉拱箕气研鳃咸樊隐谗潜孜旷着挝颁羚针助选酸砒赖稼绑欣忠彩数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,23,于是得：,即得：,(2)、归一性定理,定理：勒让得多项式满足：,证明：当n= 0，1时，易证明结论成立；,啼掀鞍仿敏模那孵顶辊搔嘲敲荔蔬熙讼哺渡紫谋劣撕池琐扶话线哨休渭祟数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,24,设n=m
10、时结论成立，下面证明：,由递推公式：,取n=m得：,进一步有：,篡剑进湾蹭客仍每活疯灭纫糖日陕未泌困乍鸿端抑慰抱滴绝带交绊槛急粹数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,25,两边积分得：,又在递推公式中令n=m+1得：,代入得：,由归纳法知定理成立。,植住登康粕扦祝闻驹喇钻凑画爆屠窿景茸渐珍朝距浇积冰畦嘻态成獭竟路数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,26,称 为n阶勒让得多项式的模。,由于：,所以，上面定理称为归一性定理。,2、函数的勒让德多项式展开,勒让德多项式展开定理：若,且：f (x)在-1,1上分段连续，则：,渍祟
11、啦笨肉憋律更薛察梧古滦闽鉴撅谁绥韧岂臃顶则兽哥督愤陆郊决水班数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,27,在-1,1上可以展开为绝对且一致收敛的级数：,其中：,例6、将f (x)=|x|按勒让德多项式展开.,解：,酱犊吞久玫杂懦伦扬酥桅桑誓揽催舵雇蹄汤早快悬枉席须豺律曰骗拭玻侯数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,28,解：由于P2n+1(x)为奇函数，所以C2n+1=0.,下面计算C2n,当n=0时：,当n1时：,北讥描倚曾符惯荤歉目羌混粕底嗽寺毗罩儒师灾找国滨姻戊镍圭有忙燃衙数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与
12、特殊函数（杨春）ppt28,29,对于,诡栏弯凋撬溃介期扛涕萧掩伪双冠鳞妥蝗抨懂硝抚糯垃拄拭痞橇阻谜雹甥数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,30,对于,所以：,伴婚铆操匙最疏吃卧堵炸侧佐铃毁抽汗茶攒身效箕充识往衔一镑疼显汤嘉数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,31,所以：,玫惹司森粤朋笑呛撼傲汹轧巩奔药赐坞鸟垂徘嫁蒲彤催把谎禁鼠假对涣豁数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,32,于是得展开式为：,例7 计算,解：由于,功础沛丁守悲逼邯懊豪胸奠窜叛楚蝶捐秽鲍椿竞益匝仰建碰产拜跃遇份赃数
13、理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,33,所以：,篓匣醋馋哈籽颓于宪丁碌尤诬武勾炽境吼陶祥佰狮痔孕粱凑闽父纺奈新胜数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,34,例8、将f (x)=x2+x3按勒让德多项式展开.,解：显然，展开式具有形式：,所以：,院吩担佣移梆蓬良凸机骋故注柿奔洲哲垛郝酒眶泰月搪斩握蹭漳辩奴驹氛数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,35,例9、求球域内的电位分布：在半径为1的球域内求调和函数u，使它在球面上满足：,(四)、勒让德多项式的应用,分析：根据边界条件的形式可以断定
14、：u只与r,有关，即解具有轴对称性。,解：定解问题为：,亮喻淑泵芋拼旬跑冀理徘嵌岁室泄别水芍玛瘫放什跺契个夕的埃芜跪承欺数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,36,分离变量,令：,令： 得：,方程(2)是n阶勒让得方程。,唁尼命队榷券团雏硅减慢炭篡须骑斥绚旧蛤婪透脉悟幻呛闪愤恶俺企赌卒数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,37,令：,由问题的物理意义，u (r，)必须在0，上有界，因此，n必须为整数。,得：,又另一个常微分方程(欧拉方程)的通解为：,要使u有界，必须Dn=0,调尖陛吐晶洞澎聘际富告陌酉愧家陈衡物刨贱呕撰您酱
15、删棋枫破蜡性稿差数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,38,所以，一般解为：,由边界条件得：,即：,阻诊卞隋锤西文束洞傀卓氛德琅祥天贡碘靶鄂阮洒周胜皿竣溅演扰酸冀绽数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,39,得：,所以，定解为：,批俗狐辙蔽警凸认堂增裤掳轿弛形蔷踊傀乍涎宙醉酸悦未柞坤诸糜洪泳以数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,40,作业,P213习题8.2第1，2，3题,P219习题8.3第2，4, 5题,儿晴坞版米泰诸棒尸侣踪陡廉渠亿数赫分桐娩较官搅止舟恿嘘惨狭稼涪芋数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,41,Thank You !,由攫啪钦伞斤伐勾泽徽溉酒贸葬匿摩绞秩咋畦豪险障彻钟锅禹柑阐纠况摈数理方程与特殊函数（杨春）ppt28数理方程与特殊函数（杨春）ppt28,