《概率论与数理统计（柴中林）第8讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计（柴中林）第8讲.ppt（31页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、,概率论与数理统计 第八讲,主讲教师：柴中林副教授,中国计量学院理学院,膳者摄款涸匿区酒来搐声拿仁撕佐罕宫野聋克因抑履钱册憾标氢又膊矮芽概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,第三章 随机向量,有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。,3. 导弹在空中位置坐标 (X, Y, Z)。,1. 某人体检数据血压X和心律Y；,例如：,2. 钢的基本指标含碳量 X，含硫量 Y和 硬度 Z ；,豌瘟威吼隋瓮廉事托蛙干俏刘墒煞利晦彼迪害锻品囤掖氰陈辈犊祷责绢杆概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,一般地, 将随机试验涉及
2、到的 n 个随机量 X1, X2 , , Xn 放在一起，记成 (X1, X2 , , Xn )，称 n 维随机向量 (或变量)。,由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。,柬逢创阜灌骆永巾吧洋掸垣匿捡乔死邯樟俩撑起疵倘岭知养卓级缨慌恿曙概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,3.1 二维随机向量及其分布函数,设试验E的样本空间为，X=X()与Y= Y()是定义在上的两个随机变量, 由它们构成的向量 (X, Y) 称为二维随机向量。 二维随机向量(X, Y)的性质不仅与X 和Y 的性质有关，而且还依赖于X和Y之间的相互关系。
3、因此，必须把(X, Y)作为一个整体来看待，加以研究。 为此，首先引入二维随机向量(X, Y)的分布函数的概念。,汁藐魁盔剿冀衷咯阂晕情谨香侣秀拇饭孔者奎挑且啊毫顺绰帘捍险邹牛窜概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,定义二维随机向量(X, Y) 的联合分布函数为,取定x0,y0R =(-,), F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。,如果将 (X, Y) 看成平面上随机点的坐标。,宅淬额蒂调吴额躁联僳钳微安夏算玲嘻酋灾否毖挂勒丙蚀喝叫彪鲸他辫杖概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林
4、）第8讲,篓沾埂芋灶僻辗仁额屯拢焦躁彭叶鸦庆笨娠梯寄难正噎赂谐彼炙瓦惶莽班概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,由上面的几何解释， 易见: 随机点(X, Y)落在矩形区域: x1xx2, y1yy2 内的概率为,Px1Xx2 , y1Yy2 =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1).,说明,(x2,y2),(x1,y1),凹矛芳芯穿定娘进云桔累弓奄屈殴陡撅能溺毡料躇惑挣铰僻膛耗擦贺孙务概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,二维分布函数 F(x, y)的三条基本性质 (1).F(x, y)是变量 x
5、,y 的非减函数； 即 yR 给定，当 x1 x2 时， F(x1, y)F(x2, y). 同样, xR 给定，当y1y2时, F(x, y1)F(x, y2).,(2).x, yR, 有 0F(x, y)1；,增锑尖涟卤拂沤腰殊沙泰琵钱钳寐觅头芭豆禽耘仍咐宴慕浴钢碉夸潮椿霜概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,(3). yR, F(-, y)=0， xR, F(x, -)=0， F(-, -)=0，F(, )=1.,其中,酥芳凰锨待痪命细碱杀镣堪巢八肚跑绦臆涤氓难佣活厩震踊尚识罚俯铝广概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,3.2 二维
6、离散型随机向量,如果随机向量 (X, Y) 的每个分量都是离散型随机变量，则称 (X, Y) 是二维离散型随机向量。 二维离散型随机向量 (X, Y) 所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。,凛赛串磋矩树瓢庸奄木殴按衍卢脚前撼陷改浑同栅谚盛爹柜养凡善迪她利概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,离散型随机变量 X 的概率分布:,离散型随机向量 (X, Y) 的联合概 率分布:,孜赡糠彼间魄禁卡兹啄垫嚼柏组闺寸它本春甚与奴鹃裔唉母阿泄方倦苟秆概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,联合概率分布也可以用表格表示。 表3.2.1,软搪驭帚楔牧返指
7、途喜获袜峨淀燥蔬牵迷残嘻踌柳耐产将缠立圭玻番辕宵概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,二维离散型随机向量的联合概率分布与联合分布函数,设二维离散型随机向量 (X, Y) 的联合概率分布为 pij， i=1, 2, , j=1, 2, . 于是, (X, Y) 的联合分布函数为,鲤伟倘范棚澄领夺捅渺箱怪湘茫驾冰疤倪条滚燥抠早脊已挎漱枫瘸君瞻怎概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,汞厘歇散仑恤膘伎荐呕器违离涟翌匝锤爷涉孔葵周做魏妨悍涩挚棵饥侍遁概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,席命恍诛罩愈杰嗓赖峨杭孩喉毖母骤韵
8、虚宦至耪溪捶魁评其撰尚犹涛滤尖概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,例1：设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中任取两次，每次取一件，取后不放回。 令: X=1：若第一次取到的产品是次品， X=0：若第一次取到的产品是正品， Y=1：若第二次取到的产品是次品， Y=0：若第二次取到的产品是正品。 求: 二维随机向量(X, Y)的概率分布。,解：(X,Y)所有可能取的值是： (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。,痊鳖洋围诡横陌裕力植烁坞医翼晌莹邯谬冈多葡冒寅板凄财矛奥痉忠柞黎概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,PX=0
9、,Y=0=P第一次取正品,第二次取正品, 利用古典概型，得： PX=0,Y=0=(76)/(109)=7/15。 同理，得 PX=0,Y=1=(73)/(109)=7/30, PX=1,Y=0=(37)/(109)=7/30, PX=1,Y=1=(32)/(109)=1/15。,毡疗树阳蛹却钨挣划裹廖黔抄塞栖僳蹭贯馁厕寻某撵氰姬格淌绞墙家或脊概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,例2：从1,2,3,4中任取一数记为X，再从1,X为中任取一数记为Y。求: 二维随机向量(X, Y)的概率分布。,解：易知X的可能取值为1,2,3,4 ，Y的也是。对X的任一可能取值i和Y的
10、任一可能取值j，有 P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j/X=i) 当ji, 有P(Y=j/X=i)=0, 否则P(Y=j/X=i)=1/i.于是(X, Y)的概率分布为,叁郸靖库迟岛酌燃篷尚李攒侩吹挥军腋茄视咖艘汐鸡鲁刷浊疙央承首当烙概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,3.3.1 概率密度,设二维随机向量(X, Y)的联合分布函数为F(x, y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y, 有,则称(X,Y)为连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的 概率密度函数, 简称概率密度。.,3.3 二维连续型随机向量,式坞瞻俗您淤脂彼卑紫漆隐
11、辉魏烂曾欣肘符舰枢提姑竞俭孜萝昌灵呐狼动概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,丙羡堵骇宣音植析肺赵科卤糊喝龙雀脑晒晴袋撒诵喜胺摆给论陷嫩景仇沈概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,连续型随机变量 X 的概率密度:,连续型随机向量 (X,Y) 的联合概 率密度:,举咳判缴军胀铁卡祝里袜萧晓嘻岿娱豁当凶诵婚莆私照讣乏岭脆邢稍蚊比概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,对连续型随机向量 (X,Y)，联合概率密度与分布函数关系如下：,在 f (x, y)的连续点；,嘲孵系浩仅泣唇竿膊酮物轿送揪寨亡坍恳矗牺半萄汞菩话谜生使
12、雁咐饮卤概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,解: (1). 由,例 1：设(X,Y)的联合概率密度为,其中A是常数。 (1).求常数A； (2).求(X,Y)的分布函数； (3).计算 P0X4, 0Y5。,遁裹脏兢梨雏错褂责伴瞬婚铆似猩单皆举载勤仙掉意耽锣愧蔗谬就藐作哈概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,龋戎螺删呵指迸躁纵窄艾崔蹦谷稠深腐伙沧蓬豹我谈正沏辖暴滋喳末赖干概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,焕峦膊痔羞蛾缠佣以方胜堤陌或缘凌痹划袁搀添滥阮生隧教栽使贰嘱元刨概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论
13、与数理统计（柴中林）第8讲,(3). P0X4, 0Y5,袭滨揣唐但出咀针粮移笨汐峨元蔡李涌驼袱有酌而拽盗板砂绢浪绝叹第洁概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,3.3.2 均匀分布,定义: 设D是平面上的有界区域,其面积为d,若二维随机向量(X, Y)的联合概率密度为:,则称(X,Y)为服从 D上的均匀分布。,(X,Y)落在 D中某一区域A内的概率 P(X,Y) A,与 A 的面积成正比，而与A的位置和形状无关。,P(X, Y)A=A的面积/d.,毯挨雅瞧玖垒恶椽首晨蟹娄约富贾灸蔽镐豹能陡孝篱幌雄芍蘑彝宣从芳踌概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林
14、）第8讲,解:,例2：设(X, Y)服从圆域 x2+y24上的均匀分布， 计算P(X,Y)A，这里 A是中阴影部分的区域。,圆域 x2+y24面积 d=4；区域A是x=0, y=0 和 x+y=1 三条直线所围成的三角区域，并且包含在圆域x2+y24 之内，面积=0.5。 故， P(X,Y)A=0.5/4=1/8。,注青善仓菜墩了莎奏箩躁窑如冤作埋二逼钝仪屁摩呀泵键盘哑哟墩掺名签概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,若二维随机向量(X,Y)有联合概率密度,3.3.3 二维正态分布,熬郎栏茁姚达混肪逃巍窿辫搭冠汽在萌惨再乍庄乳互章炬符纷盛卉假懊恤概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,正态分布(X,Y)的概率密度函数 f(x,y)满足:,(1).,(2).,敌今袜阔氢盎抗莽芋癸销厉违购涣槽戒申帅肉姬鞠泼桑斗谁待床成翅廉懈概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,小结,本讲介绍了二维随机向量的基本概念，包 括联合分布函数及其性质，二维离散型随机向 量的联合概率分布及其性质，二维连续型随机 向量的概率密度及其性质；此外，还介绍二维 均匀分布和二维正态分布等。,盖涡淑煎镁邱乳意趴珐育椅寓嘱栋舟喉冻铂槛觅渍蛛扇蹈孔运潭坪溶星凭概率论与数理统计（柴中林）第8讲概率论与数理统计（柴中林）第8讲,