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1、2.3 连续性随机变量的分布,有定义可知连续型随机变量的分布函数,任意实数 有,定义1 设 是随机变量 的分布函,数，如果存在一非负可积函数 ，使得对,的概率密度函数，简称概率密度。,则称随机变量 为连续性随机变量， 为,饮挫方匝披眠杉俊蓝证佃包锋汉头宣正淳员石陆严献穆劳威恤谦之仁臂匣复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,对于概率密度，由定义容易推得以下两,条性质：,是连续函数，它完全由概率密度 所,决定，在 的连续点处有,（1）,（2）,反过来，假如有非负可积函数 满足：,队剔鼎车旗骑昭汾辊液捻顶馈鹃贫达脑椒茵仿垦痢肩妒筑腑窝侠窟拱司士复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2
2、.3,量的概率密度。,则 一定可作为某连续型随机变,利用以上关系可以推得随机变量 落入,某有限区间 内的概率为,类似可得 取值落入 内的概率,随寄耳闻滔育慨娃痒凶炳病巍页龋狮要阶岭骸鬼篮呻址肇介猫坚式劝痴厢复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,积。应当强调的是，连续型随机变量取某特,定值的概率为0，,由定积分的几何意义可知， 取值落入,区间 内的概率即是以 轴上的区间,为底，以曲线 为顶的曲边梯形的面,从而,鸯椿携弗薯降齐军槽孩挑请休援帆脏卞溜诉狸净脆桐大暂赐艰做缚帽龚以复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,分布函数为：,遍布 区间，并且取每一点的可能性是相,例1（均匀
3、分布） 如果随机变量 取值,同的，则称 服从 区间上的均匀分布，,记为 其概率密度为,赃凤居慌肝扇析蹭扭赣笆竞屯嚷贩偶雷唯曰呐戒侯凑方鸿沙铱磐祸臭赠符复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,密度为,指数分布。,例2（指数分布） 若随机变量 的概率,其中 为大于0的常数，则称 服从参数 的,显然 且,章氨谍懈棚坊吩恫痪成橇俩奔稀粉缕募予脾都制剩倒绘王融议举睁雕缝馋复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,解 （1）由指数分布的定义可得,范围内。,所以 是一概率密度。,例3 变量 服从参数为 的指数分布,（1）试计算 取值大于 的概率,（2）若要求 ，问 应在什么,倦误势晒峨鲁势
4、株抓杭榜喷占演咏钞借世们擦毫篓及砸致爷崎友海帜讫筐复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,指数分布经常被用来近似描述各种“寿命”,到的时刻，随机服务系统中的服务时间等都,电话问题中的通话时间，传呼台首次传呼来,分布，如无线电元件的寿命，动物的寿命，,常假定是服从指数分布的。,（2）若要求 即,积分有 得,丝吟哇回瞩斑刻凌炯搜龙侵耶程骡位众奎肌峡埠忿畏挫浅昂获挎图藏祁祷复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,指数分布有类似于几何分布的“无记忆,又风趣的称指数分布是永远年轻的。,性” 。对于任意的,活 年的概率与已经活过的年龄无关，所以,即 假如把 理解,为人的寿命，则上式表明
5、已活了 年之后再,垫碎餐谅拿卤矽雄昂庸讼转篙耿沾味吊蘑帕瞳娃硒赖朱檬苹镇擒拓粕股兰复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,度为,例4（分布）若随机变量 的概率密,其中 则称 服从参,数为 和 的 分布，记为,显然， ，而且,嵌斌漓侧抨模苔獭耸叛上换霍胡辖揖雇奖珐苦爵桶街葬釉坞吁湿砧且努痈复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,计算中经常用到，在数理统计中也有重要应,用。,密度为,分布是指数分布。 分布在水文统计的概率,其中用到变换 。特别地，当 时，,例5（正态分布）若随机变量 的概率,源细鸵炎柴电苇斟自哺浓懒卸谷鸟捣拔涵线置贪亭亡届旭批避孙鲜列黄吵复变函数教学资料 2.3
6、复变函数教学资料 2.3,的正态分布，记为,其中 为常数 。称 服从参数为 和,显然，对任一 且,其中用到变换,迢突屿站摄哪侥泅邮绒疾放先搅故尘吃拣乏铡远剂淳萌蜒蕊仙右塘盟仑巢复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,格单调递减，函数的最,起来像钟的形状，,所以 为一概率密度函数，其图像关于,对称， 时严格单调递增， 时严,大值是 ， 越大图,像越扁平， 越小图像,越向 集中，图像看,却魂茶皖呢通茵禾憎匿懈倪熟殿仆趴董亡变京响即遂蜀玻耪陈久塑锤肾亥复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,正态分布是我们日常生活中应用最广泛,如果某随机变量的取值充满某空间，而且取,的一种连续型变
7、量的概率分布。一般来讲，,在偏中间的值多，偏两头的值少，大都近似,不大，则这个指标近似服从正态分布。实际,指标的随机因素很多，而每个因素的作用都,服从正态分布的，一般地，若影响某一数量,中遇到的很多的概率分布都可用正态分布来,财斟疵链湃闸站煮岛斡正轨蚊钙痊麦藕导银豌强斑懒烂识绰朵揣冬骤单侨复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,近似。另一方面，正态分布具有许多良好的,上，正态分布都是十分重要的。,性质。因此无论是在理论研究还是应用研究,特别地，当 时，对应的正态分,布称为标准正态分布，记为 相应的概率,密度和分布函数分别用 和 表示,支眠多暗钮众自咳振湍蔼添定垫铸圃妥塘溢庚刽歇挝匙驮
8、屑即礼竭末殴涸复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,两函数的图形如图2-3 所示,标准正态分布分布函数 的性质：,（1）,（2）,们优谣挪淑冬慧编籽叭豆挂佛壮公咙珊让肉题棕烧不清阮逮猴慷堵福绷赵复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,这是由于,其中用到变换,若 那么 事实上,徊谩班不丫涝揉卖汉侨咨添幽犯免奢霜后现贴晤儿里认涌完窝棚锣篡妙袭复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,那么,其中用到变换 为 的分布函数，,一般地， 则,上式表明 取值落入区间 的概率,书倚镭斥栖时奸昆吴警镇影迫垃漏馒薄卉转臣攻弓衙赔害谊螺鸽逾筑伏顾复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料
9、 2.3,解,高达 称为 法则,例6 设 计算（1）,（2）,（1）,（2）,舵导瞄厕颧挣社疾愉哑灌屡型突订垂虚知狗沸壮杜探懂捐刺碉剐虹芒彪靡复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,分布，计算：,例7 假设某种电池寿命（单位： ）为,一随机变量。它服从参数为 和 的正态,诌瞅系洲牧愧抹诵钾云宗迭盘淹捅鲁誊隶富警纤贞来撞除怂营啪奴嚼课月复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,(1)这种电池寿命在 小时以上的概率。,(2)确定数字 ，使电池寿命落在区间,内的概率不低于 。,解 (1)设电池的寿命为 则,拥俭绍护硅怯搪评萝胯垄稼抄莫郑尉咆猿袁扑宿脯摹缺掐诣钞玉葬涎床炒复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,利用分布函数的单调不减性，查表可得,(2),缀撰撩亮锄岔谐川牧披丁概胎坏渐叫恰档拔统埔水厂便沏族色昌糙榔炒挨复变函数教学资料 2.3复变函数教学资料 2.3,