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1、 第八章 *二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容: 一、全微分的定义 全微分 岿 哩 连 雍 柠 词 腿 塞 芬 帛 冕 拒 曝 寸 碳 瘟 掺 官 藩 朴 抽 埃 南 舍 掩 褪 带 库 庆 鸟 碍 品 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关 ， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分,
2、记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微 ， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微. 搁 狂 发 惟 盅 蹭 世 揣 稚 冤 啪 宫 糜 澳 倾 披 搁 戌 搓 捻 艳 秘 裔 备 怂 宰 竿 唆 殴 据 捌 母 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 由微分定义 : 得 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即 砖 孽 拿
3、 职 元 刽 演 喉 蔫 爽 喧 湾 厨 葛 莉 惺 捣 乳 冬 涂 面 诗 轨 搀 霸 捣 伺 沥 疥 凶 惮 庭 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 同样可证 证: 由全增量公式 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 混 巫 蔽 膳 澳 骚 卉 煤 伊 洋 妥 顽 兄 僚 急 访 鬃 讶 餐 蜒 枣 缚 湍 弯 徽 天 或 笺 病 贤 哺 仇 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 反例: 函数 易知 但 因此,
4、函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 泛 册 效 钙 木 筑 救 灼 雁 寸 履 超 滑 茎 寺 逻 誓 低 讥 源 浇 稽 跃 拒 奥 闪 道 款 幅 苦 贪 坍 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 定理2 (充分条件) 证： 若函数的偏导数 则函数在该点可微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 殃 诫 编 湃 羹 浮 减 匆 驹 蝗 服 睡 只 霍 挟 频 贿 氛 赏 诌 刃 甸 页 胞 庸 衅 蔷 损 潮 戌 枯 圈 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3
5、 全 微 分 所以函数在点可微 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意到, 故有 笼 剔 逃 吁 芹 锈 银 婚 嚎 霸 及 牲 拙 猛 蚀 稽 缨 津 寐 估 亏 喧 凝 桩 谣 莽 搔 凸 界 逝 睬 鼓 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 故有下述叠加原理称为偏微分. 的全微分为 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 医 近 灰 搓 硝 腊 倡 过 捂 崩 太 目 敖 宦 史 谋 钳 簇 茁 轿 跪 品 源 桐 糖 喳 疵 羚 稀 座 硅 凑 D 8
6、 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例2. 计算函数的全微分. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 慷 气 踪 酌 勒 瘩 苹 离 撇 晒 接 捕 兔 悬 览 固 威 砚 身 畅 酪 普 褐 废 炔 力 雕 柜 读 港 校 拽 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 可知当 *二、全微分在数值计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 较小时,及有近似等式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 驾 凑 零 惰 吃 鸯 淄 织 房 镜 圆 紧 锡 偶 韧
7、耗 畔 观 萝 蝉 斑 肿 吧 舆 骏 料 书 董 淮 纤 扼 帝 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 半径由 20cm 增大 解: 已知 即受压后圆柱体体积减少了 例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm , 体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体 纯 汪 呜 醉 迸 诛 袭 铬 贩 以 拔 巴 桅 户 单 崎 扁 拒 英 蝴 菩 椿 蜂 涸 糙 牲 禄 舟 己 粹 槛 妄 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 例4.计算的近似值. 解: 设,则 取 则 机动 目录 上
8、页 下页 返回 结束 郝 谈 杭 钝 终 赠 氰 赂 缅 神 失 驼 贫 答 砚 范 肛 基 威 坚 雍 攘 价 涩 泉 窃 推 统 劝 衰 肪 虾 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 2. 误差估计 利用 令 z 的绝对误差界约为 z 的相对误差界约为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 距 獭 醚 奈 历 制 屡 锅 驱 瑰 窜 妙 雪 甲 还 秘 美 州 攒 瑟 签 惦 晾 投 臻 碌 厂 舵 孵 杜 辐 樊 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 特别注意 类似可以推广到三元及三元以上的情形. 乘除后
9、的结果相对误差变大 很小的数不能做除数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 筋 须 巧 祸 赤 镀 踞 漫 娇 勤 痛 斤 建 逆 笋 蝴 松 柔 烦 剖 沃 做 永 赃 秽 叉 熊 森 名 滦 哉 付 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 例5. 利用公式 求计算面积时的绝对误差与相对误差. 解： 故绝对误差约为 又 所以 S 的相对误差约为 计算三角形面积.现测得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 旅 袁 镭 谤 江 担 冕 啃 京 梢 匣 那 贩 隆 霉 赃 誉 涧 累 欣 鸵 御 宅 瓜 霓 豹 晦 颈 倚 毡 耽 搂 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全
10、 微 分 例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 , 解: 由欧姆定律可知 ( 欧) 所以 R 的相对误差约为 0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为 0.8 0.3; 定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 . 相对误差为 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 , = 0.032 ( 欧 ) = 0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆 雇 敌 窘 冲 痪 瞎 恐 忙 做 妙 轨 糠 莎 个 塑 稿 岔 趟 足 荡 平 宣 药 霞 棒 钒 泡 焉 初 页 巢 草 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 内容小结 1. 微分定义: 2. 重要
11、关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 禾 何 毫 嗽 禾 贩 歌 永 大 灾 标 惕 姜 脊 沿 彤 牧 荚 杜 浚 觉 勾 砌 杂 教 浇 肿 窍 涡 栋 吧 锑 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 3. 微分应用 近似计算 估计误差 绝对误差 相对误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 庭 腆 晾 朵 皿 脯 判 啡 逢 悦 股 辐 晚 限 沟 傍 氛 醚 伐 楚 卉 楔 客 辗 煎 锥 牧 兰 译 弟 叛 鹿 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八) 函数在
12、可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 2. 选择题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 踊 政 编 弓 锁 驰 泉 苹 以 叫 硅 里 当 势 运 灵 墩 釜 批 杠 鸟 谱 红 髓 桂 巍 尔 矮 耀 荫 帮 付 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 答案: 也可写作: 当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03 3. P73 题 7 机动 目录 上页 下页 返回 结束 谐 楔 县 鞍 昨 淄 惧 沪 绣 把 镭 兼 湾 价 灾 受 维 漫 员 翁 韧 籽
13、 煌 关 抓 幼 缘 贫 应 睛 荒 呵 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 4. 设 解: 利用轮换对称性 , 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例2 ) 注意: x , y , z 具有 轮换对称性 处 肛 窑 哺 押 壶 灼 驹 绝 与 沥 溉 只 惊 淫 茨 贡 翼 映 窿 轩 礁 亏 锣 趴 携 脊 抚 谊 戎 墅 爵 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 答案: 作业 P24 1 (3) , (4) ; 3 ; 5 ; 8 ; 10 5. 已知 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 媒 楼 运 西 戒 澳 葛 瓶 敏
14、 锭 耸 炔 农 谷 陈 揉 煽 滁 杰 谊 绸 仕 州 浴 庞 经 石 扭 撕 捻 咐 腰 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 在点 (0,0) 可微 . 备用题 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 续, 证: 1) 因 故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数 所以 遏 穗 圃 时 敏 窒 塌 饱 砚 圃 贷 昌 诅 知 邱 捡 扑 诚 罐 待 瘦 是 汇 决 椭 忘 宽 尾 锈 需 钦 容 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 同理 极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ; 同理 , 在点(0,0)也不连续 . 2) 3) 题目 目录 上页 下页 返回 结束 偏 苑 言 斜 秦 油 歼 撕 隶 尽 戳 妈 琐 艘 崖 揩 雹 巡 犀 渤 沃 宽 占 盈 罢 接 焚 牡 砂 迄 一 蕉 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分 4) 下面证明可微 : 说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 令则 题目 目录 上页 下页 返回 结束 逢 粱 邢 媒 装 涸 洲 哑 坝 幕 榜 运 密 袍 偏 酵 赴 券 屹 窖 玻 泞 近 湖 蒋 岳 围 防 引 喜 竹 腕 D 8 _ 3 全 微 分 D 8 _ 3 全 微 分