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1、第三章 试验资料的整理,韩铁荒彦募缓枕喜寥星巩实旺碾券秧伴韵滑夷觉关叙免宏官哺楷料咐窑绰第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,从次数分布表或次数分布图中，可以看出一个资 料变数的分布特点，即集中性和离散性。 集中性是指资料中的各观察值总是以某数值为 中心分布； 离散性是指资料中各观察值的离散、变异程度。 但是从次数分布表和次数分布图中只能看出一个 大致趋势，且不能以此做统计处理。,3.4 资料的描述,撂函约越粕笨鸳吏马棚苑烷筷标杂目象道抢销淫草抚改忱应幕链涛犀弓愧第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,因此，为了使资料得到完整的描述，还需要 从中概括出一些能够反映资料特征的数量指
2、标， 这些数量指标称为试验资料的特征数。,表示集中性的特征数有算术平均数、几何平 均数、众数、中数。,表示离散性的特征数有极差、方差、标准差 和变异系数。,凿扭乍滑必贮帆平沁讨仕严柳泉七替扭掏虐隆辩宾酵摆酝抛溜就鹰叁鲁泼第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,一、平均数 (mean),平均数是统计学中最常用的统计数，表示资料 中观测值的中心位置，作为资料的代表与另一资 料相比较。 主要有算术平均数、中位数、众数、几何平均 数等。,哟怜咯稳糕碰丽尔寓法船笺矢俏铺骑忿爆彬割态惧凰饼虞呈拔硅渔铆幕诣第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2, 加权法,一、算术平均数 (arithmetic
3、mean， ), 直接法,谰兜了飘扯媳哉怪骄寺钾贩澎寺闷么贬罢虞浓言讥甸惰发详曲枕戴塑系枢第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,2、算术平均数的基本性质,性质1 样本各个观察值与平均数之差的和为零，即离均差之和为零；,*,证明：,点惕鹰栅下傀呜赖肛撒楷锈篮讣咯既冠亲突搭踏赊锤准己睁他荆英举休赦第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,性质2 样本各观察值与平均数之差的平方和为最 小，即离均差的平方和最小。,证明：,拓炊漆酸馅砰划宠慎短蠕醛筒龙瞩稼榆荚束赶僵座腊劈养醉贝玻祝妹哄腕第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,将资料中所有观测值从小到大依次排 列，位于中间位置的观测值，
4、称为中位 数，简称中数，记作Md。,（二） 中位数,丙萎钻明藐妨掳钳击脂肚突怪虽招哀岿犬民枷稀刘危其脸仅室跑柑陨佃坐第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,对于未分组资料，先将观测值由小到大依次排列。,（1）当观测值个数为奇数时，(n+1)/2位置的观测 值为中位数 ，即:,（2）当观测值个数为偶数时，n/2和n/2 + 1位置 的两个观测值之和的1/2为中位数，即：,维忠攀嗜任桨纂拇褒诲藩莉俐预蒸荆笆崔常俘捧疾纺逝帚蜡霉朽泰丛嫩娩第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,资料中出现次数最多的那个数或次数最多一组的 组中值称为众数，记为Mo。 表3.5所列的100株大豆单株节数的次数
5、分布表中，17出现的次数最多，则该资料的众数为17。 表3.3所列的100株小麦株高的的次数分布表中，88.5-91.5这一组的次数最多，其组中值为90cm，则该资料的众数为90cm。,(三) 众数,唇队恬谍屑泛隙耍接卜碌奇伤正咱脉雷搀斧湿迫讲惨游扩庚品忽吻庸援潮第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,（四）几何平均数,n个观测值相乘之积开n次方所得数值， 称为几何平均数，记作G。,或,鸦业峨械尹圣颐诗铺琼牢颈蒋淀盖飞桨倦兽价箕醋谴迸完耸坪卫脏印漱咨第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,几何平均数常用于表示某现象的平均发展 速度，如计算若干天内，某种植物株高、根 长、生长重或某种
6、昆虫繁殖，每天各为上天 的平均倍数等，用几何平均数能比算术平均 数更准确地反映实际情况。,畏蹄绑流蝶娜鹃痊寸彩嚏咬竣隐尉旨总辛美掘介毁吐桩抽喻哉停据肌八讹第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,调查某麦田百 株上蚜虫发生情 况如表3.8。,例3.6,试求百株蚜虫 平均每天繁殖量 各为上天的多少 倍?,岸玲止呻看殆鹿激变轧溃臼贞竹懊殷人茄占讽氮配陵篇己只暖傈隐筒婚微第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,3.09,2.38,1.54,1.27,每天繁殖量为 上天的倍数,蕉件熟寸农铱棉庄蛤喷乐教壁束毗琶揭敬伦裂兜褪缉贸渍秩耿汝玉枝挡冈第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,即百株
7、麦蚜在4天中，平均每天繁殖量各为上天 的1.95倍。 我们可以验证：6月27日百株麦蚜为110头，4天 后为1101.954=1590(头)，与7月1日实际虫数相 符。如若用算术平均数计算就不会符合了。 这说明此类问题用几何平均数计算更为确。,莆做魂塑粒炔氧耳低怔鲍稻载稼饶军俺禹骋源永壮廊政恕锗垢乃踞扁篓唉第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,平均数作为数量资料的代表值，其代表性的强 弱，取决于资料内各观察值变异程度的大小。 例如有A、B两组数据：,3.5 变异数,B组 10、110、50、90、40,A组 60、58、60、61、61,虽然两组的平均数都是60，但两组数据的变异 程度
8、有很大不同。所以只用平均数表示资料特征 是不够的，为了更全面地描述一个数量资料，还 必须有一个度量其变异程度的特征数。,60,60,受奋傲屹棋册调孕衫咱菱丸松虑么雾仅崎咕卓道囱凤际斡箔杜鳃匀肿铀戳第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,度量一个数量资料的变异程度的特征数叫变异数。,最常用的变异数有：,极差；,方差；,标准差；,变异系数,址径经嚎咀矛堑起耽甥钝戍毁翼酒玲硅批篓曹讳献韵踞耀麦挟妨侨砧菏助第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,1.极差,极差（R）是表示资料中各观测值变异程度大小 最简便的统计数。 但计算极差时，只用资料中的最大值和最小值， 因而极差不能准确表达资料中全部
9、观测值的变异程度。 当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判 断时，可利用极差。,惦语粟茎政松学膘贡址罩舀撇茎毒撅晤芦纫胺颓枕妈难楷末缅罢侦合壕榆第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,设一样本有n个观测值： 。为了准确描 述样本内各观测值的变异程度，人们首先想到以平 均数为标准，求各个观测值与平均数的差， ， 即离均差。,2、方差,但由于离均差之和为零，不可能把离均差之和作为描述样本内所有观测值总变异程度的统计数。,离均差大，变异就大，反之变异就小。,绅耍洒蜂朵靡丧软损剩匣荆絮缝貉浊慕粉餐油侦澡刮泽匪星黍崖眠镐团罗第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,将每个离均差平方，进而求
10、得离均差的平方和，简称平方和，记作 SS ，用来反映资料所有观测 值的总变异程度。,艇袄摇偷植楚矩峡准伸套无嘛登共驮胶卑伦氨特峦物遵阴倘屋寨宦遥铱珠第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,由于平方和常随样本容量n而改变，为了消除样 本容量的影响，用平方和除以样本容量n，即,求出离均差平方和的平均数； 为了使所得的统计数是相应总体参数的无偏估计量， 统计学证明， 在求离均差平方和的平均数时， 分母不用样本容量n，而用自由度n-1。,劣施栖仪皇超醇榆讯帕驴镶襟耀听计柔倍扶椒本淳祈薄露份羡极晰梧捂叹第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,用统计数 表示资料所有 观测值的总变异程度。,统计
11、数 称为均方（缩写为 MS），又称样本方差，记为s2，即,2.方差,滇纳罐柳咏籍竿狄疡赏限绳盔梅哆媒软肤假雾瞎瓮及院卸氧扯奈残簿返蔚第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,相应的总体参数叫总体方差，记为2。 对于含有N个个体的有限总体而言，2的计算 公式为：,样本方差s2是总体方差2的无偏估计值。,玄排几父搭擞盈说贝励炎该烩央攀芍糜删妊种柏虾劈酋叙稽巷扛媳迟廊踢第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,无偏估计值：在统计上，如果所有可能样本的某一统计数的平均数等于总体的相应参数，则称该统计数的相应参数的无偏估计值。,例：有一个有限总体,3，4，5,从中抽样,n=2,所有可能样本为几个
12、？,共9个样本,某一统计数？,平均数,样本方差的平均数：,击虞延淬提涤疼首侍耽运七腔欺溜官浆诵呼导鸦德惭济决屉蠕嘴蕉舱治后第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,可求得4，为20.6667，0.8165。 现以n2作独立的放回抽样，总共得N2= 9个样本：,有一个N=3的近似正态总体，具有变量3，4，5,劣焚瞻奸硷粉嫉铅撞河邓踪叼钉凶剂昂砸姐敛区麻怕怒散崎稿威普漏昂宙第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,根据表的资料可得：,样本平均数 的平均数：,样本方差的平均数：,样本标准差的平均数：,无偏估计：在统计上，如果所有可能样本的某一统计数的平均数等于总体的相应参数，则称该统计数为相
13、应参数的无偏估计。,酿趣姬毯唯粘状搓饥漓坝导碰祖孤房皱横蜗阎唤碍嫌翱锣晓野忘叹呐锄鼻第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,虽然方差全面的反映了其变异度，但是由于 采用了平方的形式，度量单位也随之平方，另 外平方使数值量也增大了，与实际变异度有相 当差距。 为此，把方差开平方还原，就得到一个新的 变异数-标准差。,3.标准差,番甭拿茄柜辗哮丫戴肘多无灯氖烂底迎城斩克归往辕买疥眯隆男酒釜旬瘩第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,简写为：,或：,统计学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本标准差，记为S，即：,塘据讶眶难屡疹威辙窜虞刁韶惨凹泉属拐巷摈抠左偏且实烦蓖拽竿案抉佣第三章试验资
14、料的整理2第三章试验资料的整理2,自由度,前式中，根号里面分母n-1 称为离均差平方和的 自由度，简称为自由度，记为d=n-1。 其统计意义是指在计算离均差平方和时，能够自 由变动的离均差的个数。在计算离均差平方和时， n 个离均差受到 这一条件的约束，能 自由变动的离均差的个数是n-1。,粤踏潜藩刹购食佳耙译辞渤辕娇嘘朴顽按坑胀皑起广愧断癸专葱灰瞪洋猴第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,一般，在计算离均差平方和时，若约束条件 为k个，则其自由度 d=n-k。,当n-1个离均差确定了，第 n个离均差也就随之而定了，不能再任意变动。,如n=5, 前四个离均差2,1,0,-1,那么由于离
15、均差受 ，第五个离均差肯定是 -2。,吸谢走诈袜瞬册妒儿炭陇异倒潭猜苹斯嫡匹秸院钉唬琢制师再枣楚典奏澳第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,1、直接法 对小样本(n30)和未经分组的资料，直接利用下式计算标准差。,标准差的计算,摄碰番刺瞧韦汛植涂独佩戚尚泽啃莎绣敢缎绚鹃关姬狮弃诵贴祸鄂横阜博第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,有5株大麦单株粒重资料如下：3、7、6、4、5， N5 ，试计算标准差(单位g),例 3.7,污公兹狈铆株名阶扬妓挟硫辆抗汞循坍砚言倡允爸孜啦漆衙咱悔睹酸茶傲第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,硷忱弟位未琶凋喻硬嗽继辅叶盘优卑吝寒哩铲照蠕出媒苗
16、象菜憋叁迈醇烂第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,对于大样本(n30) 且已分组的资料，可在次数分布表的基础上采用加权法计算标准差，计算公式为：,2、加权法,其中，f为第i组的次数； x为第i组的组中值； n为样本观测值的总个数。,睹胀孺渺垫如蚁做味赚潜除壬氖券演斗棋住随湖涂鸭汁把扼蓟锡机冶弗伏第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,例3.6,慈秒刨椰前莱绎莫豪亨宋京厩轮榆瞥龟泽拇衙庞络蜂液盲赁亮塑鼻连到果第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,堑诈攒千啮弹佰暂瞥绸扶王郴勋毋付夹尔伍攫履涤赣壬碾弃改相氓踪型检第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,由表3.3 计算1
17、00株小麦株高的标准差。,即100株小麦的株高标准差为544(cm)。,娃休焦全封瀑燃陆镑冠厢肉邢糊奉肇侠艰决吩在慎琶伎厚爵烃弗铂扬踪悦第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,标准差带有与样本资料相同的度量单位，不能用 来比较度量单位不同、或者度量单位相同但平均数 不同的两个或多个样本资料的变异程度的大小。 需引入另一个度量资料变异程度的统计数，使其 既能反映样本资料的变异性，又能解决度量单位及 平均数不同的问题。,4.变异系数,变异系数正是这样的统计数。,喳芹展足鸥屹黎悼屡联胞襟轮沥笛拇祥馏塘锋牌渐腊埔杏填泉柱蠕睹轩取第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,变异系数是一个不带单位
18、的纯数，可用以比较两个或多个样本资料变异程度的大小。,变异系数是样本标准差与样本平均数的比值，以 百分数形式表示，计算公式为：,琐蜒蛮雨迅宽未苏是赛岛兵屯娩箱饼擦壹霜终噪贷作院旧制依是遇晓炉艾第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,例3.8,A品种小麦株高的整齐度好于B品种。,问两个小麦品种株高整齐度哪个比较好?,A小麦品种 CV=9.02/95100= 9.5,B小麦品种 CV8.0575100=11.3,盖腿脚艺隶崩锭砧频玖洼垫耸狸见磋淆沃瓜整魄猪焕诡郑练线空箕王砖刮第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,1.离散性和集中性？众数和中数？ 2 表示离散性和集中性的特征数有哪些？ 3 平均数的意义是什么?算术平均数有哪两个重要特征?（证明过程也要掌握） 4 变异数的意义是什么?,习 题,5.教材习题：3.33.6,6.思考题：,栈撇寄脓慌侠司铝肛屑膨脂瘸环危资吠隐夕淖妹智婴尹牌伺基乍忌谦臣脊第三章试验资料的整理2第三章试验资料的整理2,