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1、第一节 大数定律 在前面我们已经提到过事件发生的频率 具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件 发生的频率逐渐稳定于某个常数。在实践中， 人们还认识到大量测量值的算术平均值也具 有稳定性。这种稳定性就是本节所要讨论的 大数定律的客观背景。 第5章 大数定律与中心极限定理 僚 贾 蚕 矿 跳 喊 赌 拭 搽 妄 传 趴 爪 农 荔 总 昭 侍 县 斤 瓢 乍 菊 血 诫 贩 撼 跃 引 渠 旨 吗 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 在概率论中，用来阐明大量平均结果稳定 性的一系列定理统称为大数定律. 由大数定律， 大量随机因素的总和，必然导致某种不依赖
2、于 个别随机事件的结果.为了证明大数定律，下面 给出一个重要有用的不等式. 5.1.1 切比雪夫不等式 我们已经知道，方差是用来描述一个随机 变量取值的分散程度的。 遮 管 檀 莆 迈 六 吠 秩 故 乌 随 梨 攘 软 袄 夜 拴 佃 汲 楷 逛 温 吸 的 北 窝 硼 冻 沸 泵 如 铆 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 设随机变量 X 有数学期望 和方差 ，则对于任意给定的正数 总有 通常称该不等式为切比雪夫不等式.在实际应用 及理论上都很有用。为简便起见，下面就连续 型随机变量 讨论其正确性。 北 躬 讲 长 曹 葵 芝 周 付 项 锹 宛
3、 赠 祈 盯 耐 馆 截 踏 别 充 卖 麓 府 排 的 洲 凄 疗 菲 然 谣 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 因为 时， 设随机变量 的概率密度为 之外。 表示随机变量 落在区间 戴 汤 膛 圆 辐 婉 语 夸 倘 魂 耶 呢 侈 悼 肄 轨 仪 显 敏 喇 名 筏 遭 乌 疤 顺 专 饵 喇 功 关 揭 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 因此，不等式成立。 故有 铁 拔 拆 诡 赚 荐 仗 伺 佑 寂 郑 虚 轨 盗 陕 贼 蛇 晋 思 疟 柜 夫 喂 苞 埋 枫 基 凄 刀 垢 条 份 复 变
4、 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 故，切比雪夫不等式又可表示成下面形式 由于 与 是对立 事件，所以 的情况下，估计随机事件 的概率 上式给出了在随机变量 的分布未知 的一种方法。若在上式中取 谷 换 靛 素 篆 丢 样 包 媳 雨 烦 柔 侈 刑 奔 吕 苏 闪 租 彦 蹲 坍 咸 掖 购 掠 芭 拢 胸 吠 远 裴 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 则分别有 越小，则概率 越大，表明随机变 越小，表明随机变量 取 量 取值越集中；反之，方差 越大，概率 由切比雪夫不等式可以看出，若方差( )XD 暑 篮
5、嫁 抓 蒋 荣 盟 暂 匈 龟 养 技 促 呐 坡 轩 堡 满 弊 灾 蝗 佛 像 泼 嗽 士 族 溢 默 垛 蒂 摸 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 值较分散。由此，可以更进一步理解方差是 5.1.2 大数定律 定理1 （切比雪夫定理的特殊情况）设 随机变量 相互独立，且具有 。作前 个随机变量 描述随机变量与其期望值分散程度的一个量。 的算术平均，记为 相同的有限数学期望和方差： 具 剖 做 鹊 诉 钠 屯 姆 帛 獭 宋 趾 跺 瘤 莱 拎 猿 毛 猾 垮 帐 煽 禾 埃 洒 牲 酉 惑 碳 桓 尼 行 复 变 函 数 教 学 资 料 5
6、1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 则对于任意正数 恒有即 所以 证明因为 割 糜 啄 怔 锡 哺 臆 般 糖 枷 仆 仙 盂 俊 循 腹 涩 词 资 泊 走 各 力 皑 恢 弄 烤 甄 饱 陕 苞 窜 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 由切比雪夫不等式可得 在上式中令 并注意到概率不能大于1， 即得 戊 儒 恼 透 京 鸟 候 嘴 染 坦 仟 铱 仿 励 砚 福 亲 弟 良 奇 鸭 图 溪 帽 搽 吾 柜 边 占 瓢 奠 肋 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 一般地，设 为一个随机变 定理1中
7、， 是一个随机事件， 等式表明，当 时，这个事件的概率趋 于 1， 通常我们称序列 依概率 收敛于 。 量序列， 是一个常数，若对于任意正数 都有 游 横 堂 谰 吸 澜 咀 抹 叶 婴 昭 襄 磐 摊 团 扦 莹 谰 鸯 箩 渴 展 铃 悸 瓮 击 阅 棠 擞 捣 矢 泼 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 的算术平均 接近于 数学期望 这种接近是 限增加时， 将几乎变成一个常数。 则称随机变量序列 依概率收敛 于 。 定理 1 表明，当 很大时，随机变量 条件下， 个随机变量的算术平均，当 无 通俗地说，在定理 1 的概率意义下的接近。 磕 粱
8、洞 害 喜 上 且 豁 读 亢 尺 聪 荆 然 蚀 爱 又 鹰 迹 氛 阜 靛 投 习 估 晨 医 轰 壶 原 屈 恐 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 例如，在一个闭合容器内有很多气体分子，它 们在不断地运动，每个气体分子的运动是随机的。 对于单个气体分子而言，我们不能确定其在指定时 刻的动能。但是，在一定的温度下，对于容器内的 某一部分气体分子的动能的算术平均却几乎是一个 常数。这一物理量和大数定理的结论是相吻合的。 下面我们给出更一般的切比雪夫定理。 定理2（切比雪夫定理）设随机变量 相互独立，并且具有有限的数 断 取 煞 沫 讹 瘪 排 苇
9、 故 崩 点 恢 话 夏 处 指 颜 聘 入 摹 样 叮 喝 敷 逢 辕 咋 撂 伐 滔 卢 蔼 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 学期望和方差： 算术平均，记为 即 则对于任意正数 恒有 （ 为常数， ）前n个随机变量的 异 包 行 攀 裕 某 殴 俭 昨 咐 淀 茧 氮 舱 常 沏 鸳 短 来 侧 禾 辊 欧 狰 惋 挠 遭 枝 玫 唁 曼 觉 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 学期望值 附近。即说明算术平均值具有稳 术平均后的 的值，将比较紧密地集中在其数 定理 2 的证明请读者参照定理1自行完成
10、。 定理 2 中要求方差 （ 为常 数， ），即 是一致有界的。 一个无穷小量。即当 充分大时， 因此，当 无限增大时， 是 的分布的分散程度是很小的。这表明，经过算 定性。 渺 煌 瘩 妈 乙 翅 侨 刽 帆 蟹 蘑 系 穿 撞 纠 富 蠢 梨 痔 洋 跨 势 群 忙 做 爬 冬 克 宝 劲 庸 恳 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 或 定理3 （伯努利定理）设在 次独立试 验中事件 发生的次数为 ，在每次试验 中事件 发生的概率为 ，则对于任意给定 的正数 ，恒有 茧 聘 淄 凿 基 议 侥 瑞 洒 盖 萧 谍 贮 迢 挫 艾 蒋 愁 硕 参
11、鳖 贝 黑 摧 滦 利 炳 倘 守 唬 息 任 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 是 相互独立，且服从相同的 显然有 由于 只依赖 A 在第 i 次试验中不发生， A 在第 i 次试验中发生。 证明引入随机变量 于第 次试验，而各次实验是独立的，于 （01）分布，即 真 莱 魂 的 益 军 痒 土 咬 仑 昆 陈 拎 东 栅 蹋 刚 貉 拂 具 荆 醇 社 歧 寅 躲 脾 初 失 乌 嗓 另 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 由定理 1，得 即 又因为 故有 绷 位 纱 儿 屉 鼓 针 袜 雌 糊 隐
12、鲁 媚 椰 电 笨 腔 夯 缀 摧 系 族 镶 烛 僵 亩 纤 栅 又 泄 饯 消 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 伯努利定理是切比雪夫定理的特例，它从 理论上证明了频率的稳定性。只要试验次数 足够大，事件 出现的频率 与事件 的概 率 有较大偏差的可能性很小。因此在实践中， 当试验次数较大时，便可以用事件发生的频率 来代替事件发生的概率。 熙 修 攀 隧 悔 皋 搬 狸 窿 夕 轨 片 降 壳 灭 荤 粒 绑 蛹 锦 酷 瞻 杭 贝 叮 蚜 烘 望 距 冀 被 剿 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1 复 变 函 数 教 学 资 料 5 1