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1、烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 一、基本概念 结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的一 种方法。与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析 中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。矩阵 位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。 矩阵位移法是结构力学中的位移法加上矩阵方法。矩 阵位移法的基本未知量也是结点位移独立的线位移和 转角。但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端 的转角也作为基本未知量，因此，基本未知量数目比传统 位移法的基本未知量多一些。 箩 舅 圭 踏 瘪 水 毫 孪 宾 婴 巾 痘 驼 哟 宅 徘 葛 戳 莉
2、金 梢 处 恫 函 科 掘 腺 肄 弄 踢 已 傣 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 矩阵位移法的基本思路是: (1) 先把结构离散成单元，进行单元分析,建立单元杆 端力与杆端位移之间的关系； (2)在单元分析的基础上，考虑结构的几何条件和平衡 条件，将这些离散单元组合成原来的结构，进行整体分析 ，建立结构的结点力与结点位移之间的关系，即结构的总 刚度方程，进而求解结构的结点位移和单元杆端力。 在从单元分析到整体分析的计算过程中，全部采用矩 阵运算。 久 卡 龟 伺 惜 亦 膛 犊 嚣
3、们 拟 蒸 丘 逞 阮 阿 咀 冉 嫂 闲 蟹 椎 街 互 色 面 说 肋 料 闷 税 嘻 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 集成总刚度矩阵最常用的方法是直接刚度法，即由单 元刚度矩阵直接集成结构刚度矩阵，又可分为后处理法和 先处理法。 1. 后处理法 (1) 集成。对所有单元不做边界条件处理，均采用自 由式的单元刚度矩阵，按单元的结点编号将单元刚度矩阵 分为四个子块（阶数相同），逐块地将结点所对应的子块 在结构的原始刚度矩阵中对号入座，形成结构的原始刚度 矩阵。由于结点位移分量中包括了
4、非自由结点的已知位移 ，原始刚度矩阵为奇异的，需进行边界条件处理，才能求 解自由结点位移。由于原始刚度矩阵的阶数较高，所以后 处理法的主要缺点是占用较多的计算机内存。 二、总刚度矩阵的集成及约束处理 蓟 陨 公 嘲 钎 理 拴 凑 诲 幸 芜 熔 资 薪 多 撰 赖 腕 吼 曰 汲 绘 伐 质 篆 慨 特 缔 式 凌 浑 遵 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 对于每个结点位移分量数相同的结构，原始刚度矩 阵的阶数为结构的总结点数乘以结点位移分量的数目， 例如，每个结点位移分量数为3的平面
5、刚架，结构原始刚 度矩阵的阶数为3n3n 。 瘪 籍 务 算 谍 裙 蹄 疲 皮 有 交 疆 氟 爷 绕 熊 拢 吠 涵 浑 灵 轻 犬 宙 账 艳 还 乳 陌 猪 紫 崇 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 对于刚性支座，用划行划列法处理刚性支座，即直 接划去原始刚度方程中与零位移对应的行和列。这样做 有时要改变原方程的排列顺序,会给编程带来麻烦。为了 不改变原方程的排列顺序，同时又要引入边界条件,采用 “主一副零”法。 （2）边界条件处理 设结点位移向量中第r个位移等于零, 即r=0
6、，则在结 构的原始刚度矩阵k中的第r行第r列中主对角元素krr改为1 其余元素改为零。同时将结点结点荷载列向量P中的第r个 分量也改为零。 即 布 客 径 凰 幸 钢 眶 柳 哪 迹 伙 里 波 更 堪 紫 放 术 氏 宠 养 奖 咀 魂 已 忽 蔓 确 诱 亢 翱 陛 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 对于支座位移等于给定值时，采用“乘大数法”。设 结点位移向量中第r个位移等于d0，在矩阵K与向量P中， 主对角元素krr 改为Gkrr，将Pr改为d0Gkrr，其中G为一大 数通常取10
7、81010 。 ， 赔 峻 敢 骸 徽 访 梅 孪 猩 丑 鸳 倍 仙 蔼 稠 鸵 逾 舌 富 坡 垢 撒 戏 洼 出 伦 赴 屯 僧 戈 帽 晕 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 单元定位向量：按单元连接结点编号顺序由结点未 知位移编号组成的向量。 2. 先处理法 (1) 集成。将单元刚度矩阵先按边界条件进行处理, 然后按照单元连接结点的总位移编号将单元刚度矩阵的元 素在结构的刚度矩阵中对号入座，形成总刚后即可进行求 解。上述过程可通过引入定位向量来实现。在单元定位向 量中考虑边界条件
8、，凡给定的结点位移分量，其位移总码 均编为零，与总码编为零相应的行、列元素在集成总刚时 被屏弃在外。 俘 相 抹 紊 桐 仓 溯 扭 撰 腐 漂 酱 狼 蜘 段 削 孙 嫩 交 格 饲 源 弗 瞅 萨 畜 践 发 勺 韩 瘁 汉 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 （2）边界条件处理。对于刚性支座，其位移总码均编 为零。对于支座位移等于给定值时，通常也将其位移总码 均编为零，将支座结点位移的影响转换成单元非结点荷载 ,即，将支座结点位移转换成与该支座结点位移连接的各 单元在单元坐标系中的杆
9、端位移，求出由此给定的杆端位 移产生的单元固端力，然后转换成等效结点荷载。 通常用主对角元素叠加法处理弹性支座。如果结构 的第j个自由度是弹性约束，那么，把弹性支座的刚度系 数叠加到原始刚度矩阵主对角线的第j个元素上即可得到 经约束处理后的总刚度方程。 3. 弹性支座的处理 划 羽 跌 算 月 庐 弓 懊 僵 酶 树 儒 上 族 豹 威 盾 驭 斗 歪 躬 助 楼 涡 契 悉 涪 让 虐 篙 征 遂 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 总刚度方程为整体结构的结点荷载与结点位移之间的 关系式
10、，是结构应满足的平衡条件。无论何种结构，其总 刚度方程都具有统一的形式: 4. 总刚度方程和总刚度矩阵的性质与特点 K=P 式中K为总刚度矩阵，为结构的结点位移列向量，P 为结点力列向量。 总刚度矩阵K反应了整个结构的刚度，是描述结点 力与结点位移之间关系的系数矩阵。其矩阵的性质与 特点： 修 秒 入 谎 溢 赊 颅 劣 四 俺 桨 间 织 宝 碴 咬 浆 喘 矽 苯 鳃 涛 浓 把 提 超 朵 缔 鹃 阉 味 哩 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 ( 1 )元素kij的物理意义为：当j
11、=1而其他位移分量为 零时产生在i方向的杆端力。 （2）主子块Kii是由结点i的相关单元中与结点i相应的 主子块叠加而得。 （3）当i、j为相关结点时，副子块Kij就等于连接ij的杆 单元中相应的子块；若i、j不相关，则Kij为零子块。 （4）总刚度矩阵为对称矩阵。 （5）总刚度矩阵为稀疏带状矩阵。愈是大型结构， 带状分布规律就愈明显。 （6）总刚度矩阵主对角元素都大于零。通常是主对 角元素占优势的矩阵，因此，线形方程组的解有较好的稳 定性。 又 祭 苯 乡 解 桥 令 敷 笛 九 隋 榆 咨 淆 簇 排 能 躯 相 闷 粤 贤 电 敢 曲 几 姚 刊 枢 阶 碾 社 结 构 力 学 第 8
12、章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 5. 总刚度矩阵的最大半带宽 总刚度矩阵的上三角部分，从某行的主对角元素到该 行最末一个非零元素所具有的元素的个数称为该行的半带 宽。各行半带宽的最大值称为总刚度矩阵的最大半带宽。 对应于后处理法，结构内部不存在组合结点时最大半 带宽的计算公式为:d=(b+1)c ，其中b为单元两端结点编码 的最大差; c为结构中一个结点的位移分量数，显然，最大 半带宽与结构的结点编码的顺序有关。通常应使相邻结点 编码的最大差值为最小，即d 值为最小。 恫 禹 苟 刺 丙 昧 秩 梅 垢 堪
13、换 氖 股 华 锦 要 蹋 贱 遗 幻 扬 个 匹 腹 帆 胶 劳 麦 适 庆 铡 诞 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 例如图示刚架，按图a 编码，d=3(9+1)=30 ，而按 b 图编码，d=3(3+1)=12 。 赏 鬃 跟 辅 倦 罢 洲 贺 掏 脯 尖 袭 痹 宁 暴 途 腊 肌 舶 悔 蒜 饲 哎 栗 在 酝 陶 鸣 笋 沁 链 惫 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助
14、如果结构内部存在组合结点，并采用先处理法，则不 能用上述公式计算总刚度矩阵的最大半带宽，而应按照单 元编，利用单元定位向量求出总刚度矩阵的最大半带宽。 设用MAX表示单元(e)定位向量中的最大分量，MIN表示 单元(e)定位向量中的最小分量，则 d e=MAX-MIN+1 总刚度矩阵的最大半带宽为：d=MAX(d1d2dn) 衬 慎 从 狂 郑 妓 糙 也 福 缘 瀑 潭 剖 磺 形 里 帅 谐 阑 递 臀 寄 盯 啸 破 泅 橱 俏 饲 具 果 蓖 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 （
15、1）初学者易把单元的固端力与传统位移法中载常 数混淆，造成求等效荷载时出错。单元的固端力是在固 定单元的杆端其不能有任何位移时荷载作用下的杆端力 （即固端力）。 二、需要注意的几个问题 （2）在考虑轴向变形的单元刚度矩阵中剔除EA项， 即得忽略轴向变形的单元刚度矩阵。 （3）为适应计算机计算、节省内存和机时，在对结 点编号时应力求使相关结点的最大差值为最小，以减小 总刚度矩阵的带宽。 例如，对于梁式杆，不论连接该杆的结点是铰结点 、定向结点，均按两端固定梁计算固端力。 任 巍 相 矽 庸 猫 豢 舱 煞 讶 匝 烷 美 摹 瘴 筷 溜 吾 红 辊 奢 憋 列 仿 届 薄 篡 譬 妄 奶 惰 捌
16、 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 例：图示梁用矩阵位移法求解时的基本未知量数 目为多少？ 解：基本未知量数目为2，即A点的竖向位移和转角。 三、例题 意 商 婆 伙 佐 虾 悯 箭 蛋 尸 疗 薯 横 蘸 魂 万 溶 昼 义 宣 拇 氨 呀 瑞 室 浸 呆 滞 鳖 蛤 粒 诺 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 例：图示结构中单元的定位向量为 。 C. （0 0 1 3 2 4）T
17、 B. （2 3 4 0 0 1）T D. （3 2 4 0 0 1）T A. （0 0 1 2 3 4）T 解：答案为B。 突 干 掘 骨 雏 肘 杉 霞 辗 拄 修 盾 栈 副 恫 桶 绸 铂 厩 脯 焕 挺 进 牙 揩 挠 泄 末 地 莽 狮 辊 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 例： 图示结构整体刚度矩阵K中元素k22等于（ ） D. 16EI/l A. 28EI/3l B. 12EI/l C. 20EI/3l 解：答案选A。 各 神 灾 登 锯 确 客 柞 畅 辱 骆 五 市
18、蹋 镍 奈 孰 昨 淑 冤 况 汕 哄 痴 夜 下 狸 翁 饿 啡 要 尤 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 例：矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下 列两组量值之间的相互关系：（ ） A杆端力与结点位移 B杆端力与结点力 C结点力与结点位移 D结点位移与杆端力 解：答案选C。 例：平面杆件结构用后处理法建立的原始刚度方程组 ,（ ） A可求得全部结点位移 B可求得可动结点的位移 C可求得支座结点位移 D无法求得结点位移 解：答案选D。 胳 汝 灌 沼 鳖 峭 冤 肌 馏 膝 实 绢
19、 禁 族 原 碌 筹 岩 鸡 充 俘 命 剩 钉 幌 砷 怀 埂 岭 梁 税 肾 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 例： 图示结构若考虑轴向变形，在未引入支撑条件时 ，其整体刚度矩阵K是_ 阶方阵。 解 ： 答案为2121。 翻 曝 莽 豢 堆 居 绰 蛮 蜡 饭 蛋 掺 毖 顽 菩 辜 暗 腑 断 碴 痔 肤 蓝 眷 路 奏 攒 唬 册 讫 加 梧 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮
20、助 例：图示结构若只考虑弯曲变形，括号中的数字为结 点位移分量编码，则其整体刚度矩阵中元素k11等于（ ）. A. B. C. D. 解：答案选D。 提示：在不考率轴向变形时， 结点2和结点3只有水 平位移和转角，杆件12对k11的贡献为12（2EI）l 3， 杆件34对k11的贡献为12EI（l2）3。 花 聂 悼 哮 称 秽 妆 秒 儿 豢 囊 九 詹 餐 渊 律 绦 瓤 烫 尸 搂 纫 劫 斌 烽 心 股 惰 汰 柱 壕 啊 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 例：用矩阵位移法计算图
21、a所示连续梁,并画M图， EI=常数。q=12kN/m,l=6m。 解： (1) 建立坐标系、对单元和结点编号如图b，单 元刚度矩阵 单元定位向量=（0 1）T，=（1 2）T，=（2 0）T (2) 将各单元刚度矩阵中的元素按单元定位向量在K中 对号入座，得整体刚度矩阵 则 滞 前 斥 罕 沂 燥 崩 挡 寒 憨 泛 金 茸 腻 耶 糙 韧 芍 激 双 揣 奇 殷 驰 笑 瘪 皖 蒜 垫 菩 吩 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 (3) 连续梁的等效结点荷载 (4) 将整体刚度矩阵K和
22、等效结点荷载P代入基本方程得 (5) 解方程得 (6) 求杆端力并绘制弯矩图如图所示c。 M图（kNm） 诲 考 怪 俗 臃 炉 撰 藤 揍 敏 皂 闯 娱 嚣 林 帽 照 物 局 裳 远 鹅 雷 颜 籽 晤 奔 任 刹 捞 舞 悼 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章 烟台大学 第四章 静定结构的位移计算 烟台大学 第8章 矩阵位移法 返回 开篇 帮助 四、思考题 1. 单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点各是什么？ 2. 单元定位向量是由什么组成？他的用处是什么？ 3. 刚架中有铰结点时应该怎样处理？ 测 惦 礁 耪 坟 邻 芭 叠 第 成 豆 闰 伺 汲 芹 段 嗜 揪 咱 妻 裁 滑 大 占 特 念 蹿 搓 澈 殆 樟 子 结 构 力 学 第 8 章 结 构 力 学 第 8 章