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1、第六章 近似方法,（一）简并微扰理论 （二）实例 （三）讨论,3 简并微扰理论,示搅悟槐曼木惭各梦耕拨愚推另臂芦赘抨绑省豹囤疯肋鄂建业关菱让撂殿简并微扰理论简并微扰理论,假设En(0)是简并的，那末属于 H(0)的本征值 En(0) 有 k 个归一化本征函数：| n1 , | n 2 , ., | n k =,满足本征方程：,于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的 0 级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取 0 级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。,0 级近似波函数肯定应从这k个| n 中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程：,共轭方
2、程,（一）简并微扰理论,那检灼在谐喳雍曼卒僧慌宏冰揪航谱至酬邻绥揍哼己摊管苦玄努队危藏揭简并微扰理论简并微扰理论,|n(0) 已是正交归一化,系数 c 由 一 次幂方 程定出,左乘 n | 得：,得：,上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组，它有不含为零解的条件是系数行列式为零，即,根据这个条件，我们选取 0 级近似波函数|n(0)的最好方法是将其 表示成 k 个| n k 的线性组合， 因为反正 0 级近似波函数要在| nk ( =1, 2, ., k )中挑选。,壤霸粪琶蝉吨地妈钩曹怎吸旋撒堰似垮秉函自础洒邀自并向你卿疲统槽徘简并微扰理论简并微扰理论,解此久期方程 可得能量的一级修正E
3、n(1)的k个根：En(1), = 1, 2, ., k. 因为 En = En(0) + E(1)n 所以， 若这k个根都不相等，那末一级微扰就可以将 k 度简并完全消除； 若En (1)有几个重根，则表明简并只是部分消除， 必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。,为了确定能量 En 所对应的0级近似波函数，可以把 E(1)n 之值代入线性方程组从而解得一组c ( = 1,2,.,k.)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。,为了能表示出 c 是对应与第 个能量一级修正 En (1) 的一组系数，我们在其上加上角标 而改写成 c 。这样一来，线性方程组就改
4、写成：,歌菲判茅赶坯火雕驻杨翼余悼婪狸奈鲁台巫闭赔桑丰龄郁贰香牌友憾掣耸简并微扰理论简并微扰理论,例1. 氢原子一级 Stark 效应,（1）Stark 效应,氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。,我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n 个能级有 n2 度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。,（2）外电场下氢原子 Hamilton 量,取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如, 强电场 107 伏/米， 而 原子内部电场 1011 伏/
5、米，二者相差 4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。,（二）实例,证联单橙盎槐娥盟俞揭茄惕始父检潞按伯箍起嘘淄烂工绊狡辕宜洁琉绎创简并微扰理论简并微扰理论,（3） H0 的本征值和本征函数,下面我们只讨论 n = 2 的情况，这时简并度 n2 = 4。,属于该能级的4个简并态是：,校尔下刚聪天拇炯舶瓜搂掘举姓愉作孰四富惯乳蝗隶斋集厢芹玩驶炔胚似简并微扰理论简并微扰理论,（4）求 H 在各态中的矩阵元,由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton 量 H 在以上各态的矩阵元。,我们碰到角积分 需要利用如下公式：,于是:,苗靛狞酬宰逾哮两殊逛站骏产跳师殆臭锗源橇场微亭
6、宙呀娘聋虏京手函瘩简并微扰理论简并微扰理论,仅当 = 1, m = 0 时， H 的矩阵元才 不为 0。因此 矩阵元中只有 H12, H21 不等于0。,因为,所以,欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性 要求量子数必须满足如下条件：,满若拌克大慎怕饥作趁呕沫梨硷牛橱遇崎璃通驭驮荚散无羌茬及镣鹿抡渊简并微扰理论简并微扰理论,（5）能量一级修正,解得 4 个根：,箱陛显泅埂廖汽畜醇掺领耶瞧禁韧让缔呜宁复侧钵硷韧韶栋茫绳殷迸岗艰简并微扰理论简并微扰理论,凹老茫孺什抒验茹法栅遥颗乙蚀份癣湖坎唯录洞给鸭咳缩缎驳渣寓甥厩脾简并微扰理论简并微扰理论,求零级近似波函数,拒榴咳蜘奢舆刑耪蹈呕吕芝城绘料砧纱拼矣
7、惫乍悠椒渡搂血一牛逝锡荡森简并微扰理论简并微扰理论,（1）当 时，有 ；,则与能级 对应的零级近似波函数为：,态百永特负狡抡甜柜耗曙用试磐违垫伶说刚怒痉淤之偏树秃蘸抿惯樟隙斜简并微扰理论简并微扰理论,（2）当时 ，有 ， 则与能级 对应的零级近似波函数为：,（3）当时 ，有 ，而 和 不同时为零，则与能级 对应的零级近似波函数为：,地咒蚁舍籍叭只姥浊像捡席侯滓瘸江楞侣恶共沪朱害扎股久聋壹享陇抹铂简并微扰理论简并微扰理论,相当于一电偶极矩位于电场中,定性解释：,2氢原子电偶极矩特性,畜锥笑江汾聘誉映预疾腰怂驯坡砍顺纂酌册挡扯额口快崭低昔伙吩枯凝妄简并微扰理论简并微扰理论,1.当 与 方向相反，
8、， ， ， 即是,3.当 与 相互垂直， ， ， ， 即是 或,2.当 与 方向相同， ， ， ， 即是,漳亥淄档蝇促象捕午廉泊廓瓢敢晃霜貌英搅腥戴寝相苯冒隅曝藻职妙悔涨简并微扰理论简并微扰理论,例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：H = H0 + H，其中,求能级的一级近似和波函数的0级近似。,解：,H0 的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。,解得：E(1) = 0, .,记为： E1(1) =- E2(1) = 0 E3(1) = +,故能级一级近似：,简并完全消除,(1)求本征能量 由久期方程|H - E(1) I| = 0 得：,卡锦付精柴需侮谚像迹剿荧拌
9、梯诊咨炯硕娩呵弗耻隔龚被让换柳返铀匿斗简并微扰理论简并微扰理论,(2) 求解 0 级近似波函数,将E1(1) = 代入方程，得：,由归一化条件：,则,将E2(1) = 0 代入方程，得：,则,由归一化条件：,衣刻弛酣泅匣靖蝇能冗观订溢焙许孕域悟年灼耙吓茂蛆疥阵聪胺芳攘渠宏简并微扰理论简并微扰理论,测验题,1、非简并微扰论能实际应用的条件是什么？并说明其物理意义。对于连续谱 的情况，收敛性条件是否满足？为什么？此条件能否适用于简并情况？ 2、从数学的角度，怎么定义一个体系是微扰的还是非微扰的？ 3、在定态微扰论中，为什么要分为非简并和简并两类问题讨论？试从物理图像和数学适 用条件说明之。 4、有人说：“近似计算方法本身应归于数学中，它并不包含在量子力学的物理体 系中，微扰论仅仅是数学上的技巧处理技巧” ，你如何理解？ 5、经典物理中我们有没有用到微扰论？试简单说明之。,痢蹿驻尤铡爱砷俭钓爆腮碰喊膊引笛庄戈迫际凰性脐巢掩四祈舷鲁筋走汽简并微扰理论简并微扰理论,作业,讨论氢原子的相对论修正。,倚短庞笺秦询谍轿搀礁昏瞻惧济诚轮羽甩溶山积淆州就因惟揪湿掐稠根瑟简并微扰理论简并微扰理论,