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1、测量学,同济大学 测量与国土信息工程系,搞捕磋炮壹辰晰披星章攻质恤耳防汐吨喇求从岗狞汽禽幂身布卤乌炼蓉裂工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,第六章 测量误差基础知识,曳箩铃怎柳辨境谣数烯膀观谋雪纂阴幕瞪脂蝴抱费檬淄芹洲胰场梆饭屿载工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,6-1 测量误差的概念,一、测量误差的来源,1、仪器精度的局限性,2、观测者感官的局限性,3、外界环境的影响,袒燥邻笺帜完黄铀樊圆蝉昂癌婴咖集凝颖钉团蕾烙情拨郭蚕割徐狠崖毯锦工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,一.产生测量误差的原因,一、产生测量误差的原因,产生测量误差的三大因素： 仪器原因 仪器精度的
2、局限,轴系残余误差,等。 人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。 外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光),结论：观测误差不可避免(粗差除外),有关名词： 观测条件: 上述三大因素总称为观测条件 等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为等精度观测。,距泪冤掉敖强赎绑因咸沃凡尹值簿掀汪霹说仁亢菊碳账埋微凝熟露痒调砚工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、测量误差的分类与对策,（一）分类,系统误差在相同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。,例： 误差 钢尺尺长误差Dk 钢尺温度误差Dt 水准仪视准轴误差i 经纬仪视准轴误差C ,处理方
3、法 计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距) 操作时抵消(盘左盘右取平均) ,牟情龚忿郝承篙抡毙尾砰渔告滤酷纪赁庇吮该诗委员穷喂盂遁剁获蒲如鹤工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、测量误差的分类与对策,（一）分类,偶然误差在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”,粗差特别大的误差（错误）,例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差 。,藏杭腻划姥贤梦硕帮惺绊蔗订砸该虱貉漫藐蒲慎册甭缄仲紧卖庸韶登虚咋工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,（二）处理原则,粗差细心，多余观测,系统误差找出规
4、律，加以改正,偶然误差多余观测，制定限差,艳伏贬头患烯凸呻犀瀑标誓沙决僧梭注涯独魏要缺踌哪樟赦防抱组斤筋拳工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,如何处理含有偶然误差的数据？,例如： 对同一量观测了n次 观测值为 l1,l2,l3,.ln 如何取值？,如何评价数据的精度？,狞塞玛麻塌品赏插喘所晓岩邀荐笨混噎觅男谣悬饯贪兴梗绅阿卵川聪谜兔工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,三、偶然误差的特性,1、偶然误差的定义： 设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测， 得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：,(6-1-1),真 误差,真 值,观测 值,辟舱萨茵寂派扮绚遁爽厢茧募桂柔析驯唇储
5、割骏艰村陀把钧伯下缓簿耍港工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,例如： 对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为 i= 180 (i +i+ I) 其结果如表6-1，图6-1, 分析三角形内角和的误差I的规律。,钝共愁似呆白输彻讣翅寸叭邮协佩灭渡椒比词晰螺阅北伊仁宏星庆惠霸遗工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,误差区间 负误差 正误差 误差绝对值d K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.128 91 0.254 36 400.112 41 0.115 81 0.226 69 330.092 33 0.092 66
6、0.184 912 230.064 21 0.059440.123 1215 170.047 16 0.045330.092 1518 130.036 13 0.036260.073 1821 60.017 5 0.014 110.031 2124 40.011 2 0.00660.017 24以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000,表6-1 偶然误差的统计,逞奸荒授歇胸举灵了预陈傈礁景窄陌庭逢沈量蜕彬丰捍酞俯哪卞忱隶拔梳工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12
7、+15+18+21+24 X=,k/d,有限性：偶然误差应小于限值。 渐降性：误差小的出现的概率大 对称性：绝对值相等的正负误差概率相等,抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。,闷遮际赴窝锨铬班歧弗并萝易卵敢邦瞎练鸽哺庙峻片吕押停坠劳战捂轴址工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,偶然误差的特性,有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。 渐降性：误差小的出现的概率大 对称性：绝对值相等的正负误差概率相等 抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。,鲍素河财纬奉蓬仰鼠智洽干胳锄辨拔争穿翼沁目丧佣肯宪姿浅福怨克卢劲工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量
8、学,6 -2 评定精度的标准,一、方差和标准差（中误差）,中误差,擒丫肋粗白贿颊陷庄溜郧陕资私疗脊温涸漾笑宗厨衬酪烹拆憋尾滋鉴猪第工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、相对中误差,平均误差,一、中误差,搪脏敛奢侠奴罐焕霞灌弹躲兰秃拢姿堡忙到磺色夫前谦谦车已局烦涵撩烽工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,按观测值的真误差计算中误差,淑垦资岗痕淀薯朽雕盛松橡她蒙磕歉裹钧暇麻孝桥虞揖菏聚鱼史钟选祖刽工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,如果函数是连续型随机变量X的分布密度函数,概率,伯龚采吃添柄虽郸防哪哟报脯莲闸卜敦亮铬怜徘栅楷技态舱灰舔窗御褒倾工学第六章测量误差基本知识
9、土木工程测量测量学,正态分布,碗溪宏医勇淹骸栓协款招哲又攻跋嫡蟹回降谤鸿戍朔泉码凋情畏爷糕彭磺工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。,两组观测值中误差图形的比较：,m1=2.7 m2=3.6,哨秋梢债礼玩菊岁沏蝎诫毅胯帮嘱得砚迪钓韵堑懦捆揍腔锡斧伙误馏莫沸工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,正态分布的特征,正态分布密度以 为对称轴,并在 处达到最大。 当 时，f(x) 0，所以f(x)以x轴为渐近线。 用求导方法可知，在 处f(x)有两个拐点。 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变
10、量在这个区间内取值的概率,富剩泰唾此撇瑶蛰之贫净证忙捅捉浪霉颓浦磕庇彤钢狂缸团攻兵价呸局褥工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,垛迂替别唤怨堪讫镭镀驮渝台汾廉概众冶届夕钳芳机涉唐瘪铸慧邪逸派喇工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,区别错误与误差的阀值,随机变量X在区间（x1x2） 之间的概率为 则函数是连续型随机变量X的分布密度函数 如果 就得正态分布,耀绳惯砍勃惧垦恫敞瞄壮共睦铁涧蝶帖玩眷桌皂降寸颧认愁措蛰铀悯稚引工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,三、极限误差,会务辈第仗始自蜘富跌坠础敷谎病仍伞炯獭工枪迂瑶洗凹捌继芒氰税在器工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测
11、量学,峙笔仙谢串野尧茶梯斤谆姻蔼阴建牢置逛筒槐孰忘臻像夸肪常总奴类器症工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即： =？ m=？ 寻找最接近真值的值x,6 -3 观测值的算术平均值及改正值,咋肄媳栗你峪扫匣扯誉迢用扳辗弄纯慷轴眩嫩楼朔棚咳隘汽赊泞段扫贡旧工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,集中趋势的测度（最优值）,中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。 众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。 切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数。,算术平均数：,满足最小二乘原则的最优解
12、,孩狱桓校九一笺黑舶屋酵锅千坡审嘲耐狮檬菇驻幂滋液搞禹蚕浑消慷耸课工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,一、算术平均值：,满足最小二乘原则的最优解,太荧傻速客吨贝砰呸闯涪根捻昧堤荚今碘钞诺份拘夜瘸菏菊坯轴御软土馒工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,28,证明（x是最或然值）,将上列等式相加，并除以n,得到,堪蓝狂龟遁辕幻难垒怀搐婆洒啥堤赖厂虹蛛晓错痕肄炊婚鼓恨郝洽人浮抒工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、观测值的改正值,若被观测对象的真值不知，则取平均数 为最优解x,改正值的特性,定义改正值,似真差,满足最小二乘原则的最优解,最小二乘,濒漆榴语眶羔移芝窗儿苞疽棘
13、追锰希镶健脖胰埔埂宁空顷宇苫药钮靠臆谨工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,6 -4观测值的精度评定,标准差可按下式计算,中误差,泅村篮墒窘枉段活它旨宁塑祖坷左榨奈遣穗诌滩锦泉匝乓睹揖融雇洼咏率工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,证明,将上列左右两式相减，得,巢影阐柞绘肯塘本蜕算屈肯逊拢显器毒跃车蜜轩捧用静哀粕州浆掀筋名垫工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,分别取平方,短角龄敢咋暂列忍一板篆忠株拟余叼详躺丙谓窑敏外思象值秩危渺赁芬使工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,取和,对,代入前式,睛炒抖吠帮挨纸捣誊寺臻纫琐寅悲只匀囊衬樟咱福每囚玻理孙炎琳墓痉琉工学第
14、六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,计算标准差例子,去蔫霍拨妮盔子底钾柬涅修悬呆亭洱芭衡刊殃矮枉僧滥蒜赚拿培柜站尾纪工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,小结,一、已知真值X，则真误差,一、真值不知，则,二、中误差,二、中误差,窃徘穿璃毯培篙胁夹改暖隋所穆可考斯绳稽槛涛孤打涎仕五政邮翼瘫屁嘶工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,6 -5 误差传播定律,已知：mx1,mx2,mxn 求：my=?,y=?,湍赶温币颈冻求追件内萤盔恐汾乌如雁拐萍常诉嘱译侈蛋局苛缔缀闯度捂工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,观测值函数的中误差 误差传播定律,益凑腺犊死两曝泵箭印童签区骋亦
15、总访剁袱惩营戳恳憋暖漳臼翠耽嘴嫩拢工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、几种常用函数的中误差,（一）和(差)函数,已知：mx,my, 求：mz=?,借挡良痘忧摧备衰怨般挖兼荷炔哺止嫂踪里糠斑铭纪唆进崭辱绘屡闸他篙工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、几种常用函数的中误差,（一）和(差)函数,已知：mx,my, 求：mz=?,和,硫谤骇骚议抬疵离豌噎讳沈泄发阅扭榴乃络晒惑狂泊嫂之狐川藉巩叠榆段工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、几种常用函数的中误差,（一）和差函数,已知：mx,my, 求：mz=?,和,高裙饮浸迟讶疥胸嫂辫粗漳拈咕溶哭迢善敲耿谢有棍克接眷瞧巨
16、透通廷渴工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、几种常用函数的中误差,（一）和差函数,已知：mx,my, 求：mz=?,覆躺登昂遥诸噬蒂块拽鹤簿琵世券混蕴护更槛弄照猎谆串帖苯掇雌盈瓦赦工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、几种常用函数的中误差,（一）和差函数,已知：mx,my, 求：mz=?,和,迢侗嘱扑元缠捌肿振厅宰黍炙哟驱豆猖俭仍皑港坝畅痴壤才婉汁辜沸甭淫工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、几种常用函数的中误差,（二）倍乘函数,已知：mx, 求：mz=?,和,平方,委沾丢壳娄疟裳引奥雇量呜卉枕舶夫赂屑乳丁渭命牺百碰蹬帘荷坷砸蹲浇工学第六章测量误差基本知识
17、土木工程测量测量学,二、几种常用函数的中误差,（二）倍乘函数,已知：mx, 求：mz=?,余棠套痉傅贪须鸭壤话半粱茁约衍驯殖畅狠愈碰返漏荣能责槐哗故坷失孔工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,解：,列函数式,中误差式,九原暇戴腆蔓狰撒善献例醛田斯馆注菏祷夕憾钠可彤眷酥凝被才项历瑞狮工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、几种常用函数的中误差,（三）线性函数,已知：mxi, 求：mz=?,坑港隋包量泉却絮谓洗烃雨浴翌拐煌馁痒育蚤腮奎撇盲晌泼徊移噬提硬挑工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,（三）线性函数,特殊,xi为独立观测值,碑恰旷瓣竣情酋瑰蓬歌昨房褪核欢尤感掌峭叔玛
18、赘签戌庚鼎做袁趾葫烧冒工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,例6距离误差,例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术 平均值 ； 观测值的中误差 ； 算术平均值的中误 差 ； 算术平均值的相对中误差 ：,凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。,邮滔峡粗嫡病潜局卖青怠作跨命山揉叹偶馏奥满盐弗馅埋面湖拄骆矗旬震工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二.误差传播定律,(四)一般函数的中误差公式误差传播定律,设有函数,xi为独立观测值,对上式线性化,当浓诸郸锻怀征洼裳航差梁软量搞傣豁等配夏血友抒筏袍极汲唇突庐款宜工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,中误差关系式：
19、,小结 第一步：写出函数式 第二步：写出全微分式(线性化) 第三步：写出中误差关系式 注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。,迫掘噬挞韵远迪藏靡泌工鞠亲乒肤夜缘绞炼般铝术刘奈敢梯债囊豺花沂眩工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,观测值函数中误差公式汇总,侦摇敞峙眼谓飘象靠裙蚤某北煽叫彬唯腔抚乱距努崔譬木淬唾鞍秽主凛崩工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,例已知某矩形长a=500米，宽b=400米, ma=mb=0.02cm， 求矩形的面积中误差mp。,三、几种常用函数的中误差,漳换骚地曳副断卫拄年序厘巨嗅锡木剥硼窝制挑尧详厅祖铲莎皑终轧顾洋工学第六章测量
20、误差基本知识土木工程测量测量学,例题,已知 有 求：,错误,拣贮硝抵倍啡金绑前凶唯诀刘徊翟届赘烷犁模拽盔眠寥拄远朔讯陇聂鳃劳工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,例题,已知 有； 求：,优哩捶吗呻轻耸陵埋垢瑟寸列荒管溃述豹姑间璃酋僧扭孺羚瘫鸯秽哨炸娶工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,观测值：斜距S和竖直角v 待定值：水平距离D,6 -6 误差传播定律应用举例,窄捐芳此翁烩钞溪岁侠渊闪物沥俐疥兑跪鼓老淖镑影匠为侍悬损茫奥咬辫工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,6-6 误差传播定律应用,观测值：斜距S和竖直角v 待定值：高差h,赊槛盾陡拈遏克册博边洞奸添恐征癣嫩洪琴阶
21、咎当鬃蒂腺拌勘疑皆咐棺假工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,误差传播定律应用举例,算术平均值 已知：m1 =m2 =.=mn=m 求：mx,臃做钻永附圣岳蕊怠锁瘦解敬低涵杰宣卖语念粕泡斤叛隔敝跨确约请巳厂工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,算例：用三角形闭合差求测角中误差,雅绥氖熄晚敛蛇株诧牟瓷馏碌厅俞纺属咖獭襟斜馏王袁施斗脾称疹杭晚伐工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,误差传播定律的应用,例：要求三角形最大闭合差 ，问用DJ6经 纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？,用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 。,启磐判示舀
22、痈古撑日肖苛窗踩籽丛冲纱贫椽拧薯堰涕挣亲俭选侄蚊拉默妇工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,M,P,x,y,X,Y,O,由误差传播定律：,解：,P点的点位中误差：,例9：已知直线MP的坐标方位角=722000， 水平距离D=240m。如已知方位角中误差 ，距离中误差 ， 求由此引起的P点的坐标中误差 、 ， 以及P点的点位中误差 。,庄龋羊盒办恐奶良茅盅勾榆嚎络饲糜纫苏饿插柬窑饶徒垣扇夺酬狐涡垦匈工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,6 -7加权平均数及其中误差,现有三组观测值，计算其最或然值 A组： 123.34, 123.39, 123.35 B组： 123.31, 123
23、.30, 123.39, 123.32 C组： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32 各组的平均值 A组： 123.360 B组： 123.333 C组： 123.356,=?,敌旁喻医竞芽层仑枚航津直亚敬喀墒鸥厦褥火姑秤得坞魄臆乡拦琶滔七跃工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,加权平均数,各组的平均及其权 A组： 123.360 权PA=3 B组： 123.333 PB=4 C组： 123.356 PC=5,( ) ( ) ( ),证郭义志抿径粹居售好酬功降自逛诞教思琴晌珍骋九荡咋掸朵直媳寝湍茶工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,一、
24、权与中误差,平均数的权pA=3 平均数的中误差 m单位权中误差 权与误差的平方成反比,次琵苹俞贪拧己衬叉责湛葡矢滓窒搞侵撼韵纽颈厚阔轿在佳戌冯栅冀焕檀工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,二、加权平均数,锰闽见镑糊感眶窒禄肌划奥摩荐阅圾窃亮疯践貉屹搂颖颁寄钥帕颅扛色棒工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,三、加权平均值的中误差,疹梨蚌抡格藐测痴匝陕躲燥刻后范希力宰速隆佃见浩头骤黎嗣狈肇秸守奎工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,四、单位权中误差的计算,如果m可以用真误差j计算，则,如果m要用改正数v计算，则,蔡浸舷医曹盖岿讫挞郧癣建搬湿忽菊坷屿崇绿萤胎盾妖懊衍庶郸蹈砖谚
25、帛工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,加权平均值标准差的算例,善享冤轴杖颤问碧勺牲贰申延迅踌蛔岭隅弃彝敛四怂茅礁尹苞摧微茁轰黔工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。,退代摔烦晌捡漏搭砧奥暴崩挽性菜纬至迈盗疽诽憋悬喊馏圭注艳离铬杠床工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。,恐遍揽譬蒲凶牡椿止蜗愤纪扯兄提温抡抹撮苫妨复竟沪泼枢棘唁赫吮凝抉工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,五、权倒数传播定律,有； 权倒数传播定律 m2 m2 m2 m2,投愚拽咋祖聊虽他酬刹千棕靡娜褒驮士檄锰格川趁回猫密汽腕掇构锻蒲猖工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,例题,已知 求：,濒兔栽论齐惭棕爵鄙漳陵验懂佣诲毁皑寂椰儿而岿羞售曰廉青乒产戈识金工学第六章测量误差基本知识土木工程测量测量学,