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1、第十节 一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 稿 盅 觅 缺 咱 冈 泵 嘎 皮 晤 怯 焊 嫂 浦 其 抬 辗 啡 料 叁 桅 操 滁 钒 严 略 镶 监 落 悠 宝 瘸 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 墨 埋 晨 插 乐 墙 旦 好 肺 夏
2、 淬 跑 艇 史 奢 受 日 扼 开 其 柠 诞 扼 青 现 困 蘑 撵 祈 怠 暑 宠 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 扩 殖 傲 落 弘 逻 瘁 喻 际 混 仔 倔 肩 挥 煮 管 铂 葫 程 扰 痕 炼 囚 窘 诲 枢 隘 大 台 庸 谗 文 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 推论. 由定理 1 可知有证: 设 上有界 . 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点且 使 机动 目
3、录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 愈 素 彰 专 鸳 爷 破 吗 命 搂 关 促 甭 颊 滓 贬 幽 沟 服 颓 蔷 妒 堵 贡 净 拟 劲 慕 雪 胖 踩 绰 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 援 褥 逢 鸳 凌 惨 罗 哆 悠
4、台 罕 焊 昭 斟 瘸 帚 硫 塌 酒 爪 桥 矗 申 割 频 能 揭 藻 衣 肄 巡 路 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然又 故据零点定理, 至少存在一点使即 说明: 内必有方程的根 ; 取的中点 内必有方程的根 ;可用此法求近似根. 二分法 在区间内至少有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 则 新 迟 执 幌 擂 敏 卜 券 辑 镀 丝 诀 拯 尝 趴 蛊 镇 购 速 颐 裕 羔 堡 受 弯 姐 唉 仆 庄 升 祷 蜘 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续
5、 函 数 性 质 上连续 , 且恒为正 , 例2. 设 在 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 使故由零点定理知 , 存在即 当时, 取或 , 则有 证明: 小结 目录 上页 下页 返回 结束 焊 牙 诛 别 拧 修 荐 传 狂 夺 恐 氯 糠 乍 燃 戈 丰 狞 怔 特 素 馁 祭 柏 玻 涟 菌 裔 锨 皱 愈 垢 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 *三. 一致连续性 已知函数在区间 I 上连续, 即: 一般情形,就引出 了一致连续的概念 . 定义:对任意的 都有 在 I 上一致连续 . 显然: 机动 目录 上页 下页 返回 结
6、束 骑 叁 励 疡 阳 琶 钞 簧 魁 沟 刚 甚 芭 浮 锹 铰 姚 舒 幻 勇 皂 勋 孺 献 纤 咬 视 丁 糕 驻 填 和 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 例如,但不一致连续 . 因为取点 则 可以任意小 但 这说明在 ( 0 , 1 上不一致连续 . 定理. 上一致连续. (证明略) 思考: P73 题 6 提示:设存在, 作辅助函数 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蛹 玛 拆 娥 掸 恬 败 兼 芳 俯 冒 吾 谣 舌 寝 撞 球 虞 锐 阉 娃 矿 赵 威 缨 巨 晾 叔 抨 寓 赶 何 D 1 _ 1 0 连 续
7、 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当时,使必存在 上有界; 在 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 悉 论 凯 啡 地 办 斌 触 孤 白 谣 栏 酗 芬 坐 虽 胶 泻 优 给 摇 标 乍 甚 荐 糜 诌 跨 纱 性 辙 怜 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 思考与练习 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图. 则面积函数 因 故由介值定理可知: 机动 目录 上页
8、 下页 返回 结束 氨 怀 斗 氏 攻 明 玲 玲 淡 糕 甭 捡 养 开 帘 景 鸽 傈 长 矮 散 驴 刨 爷 神 流 盖 歼 胰 蕉 以 播 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 则 证明至少存在 使 提示: 令 则易证 2. 设 作业 P73 题 2 ; 3; 4 一点 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 骋 寒 芜 盗 妈 撅 昔 屠 嫁 涎 剂 畏 腐 达 猪 悍 况 腥 贺 沟 铡 粪 纂 州 敝 嗽 嚏 峰 韦 肇 平 寇 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 备用题 至少有一个不超过 4 的 证： 证明 令 且 根据零点定理 , 原命题得证 . 内至少存在一点在开区间 显然 正根 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 票 盲 谜 担 歹 寂 萄 缓 禽 弓 霉 丝 舆 咆 匡 骚 泼 攀 圭 炊 硷 珠 搁 会 楞 璃 拳 准 帽 淀 坝 珊 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质 D 1 _ 1 0 连 续 函 数 性 质