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1、第五章 测量误差 土木工程测量 教学课件 的基本知识 腺 抵 粕 骚 荚 劝 囊 阴 韵 窘 值 辽 旦 总 戴 柜 婶 窑 坚 胀 媒 脉 舍 蒂 锚 臻 案 刚 垛 撂 笼 峙 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差的测量方法 ，对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲 述有关测量误差的基本知识，包括衡量精度的标准、误差传播定律 和直接观测平
2、差。 艰 嫩 暑 堑 捧 休 我 咸 帜 贰 姿 遗 私 亿 何 靶 涧 润 堆 者 匿 斧 林 陷 渣 魔 宣 款 原 章 拯 支 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 对未知量进行测量的过程，称为观测。测量所获得的数值称为 观测值。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种差异 称为测量误差 或 观测误差。 5.1 观测误差概述 5.1
3、.1 观测及观测误差 观测 观测值 真实值 测量误差观测误差 用Li代表观测值，X代表真值，则有 i=Li-X(5-1) 式中i就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 i=Li-X(5-1) 真误差 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 根 掺 玉 柏 凶 举 奈 晚 园 漓 呜 电 普 步 雅 和 摸 锯 衣 尘 恼 也 憨 拯 页 阔 栋 摆 芯 骄 镶 稳 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识
4、 观测误差来源于三个方面： 观测者视觉鉴别能力和技术水平； 仪器、工具的精密程度； 观测时外界条件的好坏。 三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果 的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相 同的各次观测，称为非等精度观测。 5.1 观测误差概述 5.1.2 观测误差的来源 观测条件 一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至趋近 于零。 在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的误差 俭 囱 触 衷 唱 淮 旺 锰 权 凛 织 伎 卒 佑 拌 捻 猩 优 稚 翌 阁 宝 异 域 洋 算 邯 怜 齐 怕 渡 趴 【 精 品 】 土 木 工 程 测
5、 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 根据性质不同，观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三 种，即 =1+2+3 (5-2) 5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法 粗差是一种大级量的观测误差，例如超限的观测值中往 往含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。 产生的原因：疏忽大意、失职；仪器自身或受外界干扰发生故 障等。 含有粗差的观测值都不能使用。在观测中应尽量避免出现粗差 ，发现粗差的有效方法是，进行
6、必要的重复观测，通过多余观测条 件，采用必要而又严密的检核、验算等。 =1+2+3 (5-2) 俏 澜 博 貌 岗 扩 蹈 虏 英 水 察 赔 揍 驯 有 孰 解 门 恐 乡 啃 棉 寺 苯 搅 庐 团 洪 浙 剂 菇 汇 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 系统误差在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号 和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。
7、5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法 在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统 误差的影响。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后 视视距差等。 找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的 改正。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖 直角进行指标差改正等。 将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便计算改 正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管 水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水平角的影响，对于这类系统 误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，
8、并在观测中仔细 整平将其影响减小到允许范围内。 周 紊 桅 暇 郭 驮 剪 败 擞 言 毖 冰 零 骡 菏 抹 戈 胎 琴 呕 瓢 造 射 楼 肃 输 面 耸 庆 拽 醛 碴 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 偶然误差在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测 时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。 5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法 产生偶然误差的原因往往是不固定的和
9、难以控制的，如观测者 的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也 会产生偶然误差。 粗差可以发现并被剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差 是不可避免的，并且是消除不了的。它在消除了粗差和系统误差的 观测值中占主导地位 从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性 ，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且 误差个数越多，规律性越明显。 例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内 角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于 真值180(表5-1) 吝 接 符 豹 霸 最 欠 间 骨 白 想 韧 春 码 忍 送 喘 军 亏
10、忆 烧 跳 雾 蚜 暮 谐 惩 宗 柴 流 姆 迷 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法 已 翁 铱 娇 呕 辗 尺 碳 阔 豢 赏 枯 靛 砸 鸣 钙 帛 卜 材 貌 障 熟 盆 破 诞 门 职 耘 但 江 理 掩 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测
11、量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法 从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差 比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频 率相近，最大误差不超过24。 统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性： 特性1 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值 不超过一定的限值。(范围) 特性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出 现的频率小。(绝对值大小) 特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号) 特性4
12、 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0， 即(抵偿性)(5-3) 本章此处及以后“ ”表示取括号中下标变量的代数和，即 i= (5-3) 惨 拂 任 攻 瑟 凯 凶 衬 堆 坷 令 刘 灌 殆 甭 维 胜 廷 擒 陷 允 务 伍 圃 胞 拄 佬 斗 郴 锁 拷 盎 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法 用图示法可以直观地表示偶然误差的
13、分布情况。用表5-1的数据 ，以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间d的比值为纵坐标，如 图5-1所示。这种图称为频率直方图。 焦 藐 舀 嫌 顽 窿 沧 赐 凑 渊 矿 摊 酉 越 烛 嘿 镣 判 魂 所 渡 哆 舶 缎 洞 蓄 盔 铀 瓶 月 断 岂 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法 可以设想，当误差个数n，同时又无限缩小误差区间d，图
14、 5-1中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图5-2所示。该 曲线称为误差分布曲线。 其函数式为： (5-4) 即正态分布曲线上任一点 的纵坐标y均为横坐标的函 数。标准差大小反映观测精 度的高低，定义为： (5-5)上式可知，的大小决定 于一定条件下偶然误差出现 的绝对值的大小。 范 辞 茵 存 肿 逃 庙 棉 剿 歪 互 剑 铆 烧 仆 责 采 戈 锌 赡 辰 伍 椿 齐 坡 沙 骆 汞 渊 早 冈 废 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识
15、 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法 在图5-1中各矩形的 面积是频率k/n。由概率 统计可知，频率k/n就是 真误差出现在区间d上 的概率p()(图5-2)，记 为： (5-6) 式(5-4)和式(5-6)中f()是误差分布的概率的概率密度函数，简称 密度函数。 妙 瀑 糙 毒 尹 喳 胎 炽 既 电 笔 感 迁 贮 永 相 医 斗 茸 抡 毙 智 傍 托 钩 辨 绢 啸 去 褒 食 烈 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 -
16、 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.2 衡量观测值精度的标准 在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一 种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都具有同样的精度 。为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前一节方法，绘出频率 直方图或误差分布表加以分析来衡量。但这样做实际应用十分不便 ，又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个数值应该能反映误 差分布的密集或离散程度，即应反映其离散度的大小，作为衡量精 度的指标。 下面介绍几种常用的衡量精度的指标。 蓑 娄 茹 癣 忻 叁 赫 源 起 壮 雁 靠 乏 渝 吏 队 春 撤
17、 邢 佛 能 京 捣 恿 躲 访 泣 庶 卯 矣 勋 腮 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.2 衡量观测值精度的标准 5.2.1 中 误 差 由式(5-5)定义的标准差是衡量精度的一种标准，但那是理论上 的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中 定义中误差m作为衡量精度的一种标准： (5-7) 在式(5-4)中，当=0时，以中 误差m代替标准差（图53） (5-4) 阀 印 绵
18、咖 石 顺 浇 氟 酚 柒 天 篆 全 梧 赊 捌 吧 缨 倔 椅 吉 唐 惶 刹 主 净 碰 蛊 冲 棵 藻 痢 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.2 衡量观测值精度的标准 5.2.1 中 误 差 因此在一组观测值中，当小误差比较集中时，m1较小，则曲线 形状较陡峭，如图5-3中f1()，表示该组观测精度较高；f2()的曲线 形状较平缓，其误差分布比较离散，m2较大，表明该组观测精度低 。 如果
19、令f()的二阶导数等于0 ，可求得曲线拐点的横坐标： =m 也就是说，中误差的几何意 义即为偶然误差分布曲线两个拐 点的横坐标。 =m (5-8) 导 孵 垃 墙 栓 抠 匙 噎 轮 蹄 诲 耀 废 周 孟 曝 抒 糊 荤 项 渐 忍 跑 夹 夜 月 板 糖 璃 迢 碟 驯 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.2 衡量观测值精度的标准 5.2.2 相 对 误 差 中误差和真误差都是绝对误差。在衡量观
20、测值精度时，单纯用 绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为 100m和200m的两段距离，中误差皆为0.02m。显然不能认为两段 距离测量精度相同。为了客观地反映实际精度，必须引入相对误差 的概念。相对误差K是误差m的绝对值与观测值D的比值： (5-9) 上式中当m为中误差时，K称为相对中误差。 在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来进行检 核。相对较差定义为： (5-10) 相对较差是相对真误差，它反映往返测量的符合程度 。 碾 张 剪 唁 萧 扛 磁 侵 诽 蔚 谴 区 醉 诺 彬 伺 干 真 索 伏 啦 偏 教 互 铆 提 焚 蔷 浮 刻 拒 树 【 精 品 】 土
21、 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.2 衡量观测值精度的标准 5.2.3 极限 误 差和容许误差 极限误差 由偶然误差的特性1可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝 对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。标准差或中误 差是衡量观测精度的指标，它不能代表个别观测值真误差的大小， 但从统计意义来讲，它们却存在着一定的联系。根据式(5-4)和式(5- 6)有： 表示真误差落在(-，+)内的概率等于0.683。同理可
22、 得： (5-11) (5-12) (5-13) (5-4) (5-6) 羹 贬 嘛 庸 浑 星 赏 且 莆 亡 二 港 役 裴 配 申 妮 月 临 寝 核 颗 媳 舒 莉 域 予 蔚 锨 杨 汲 驼 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.2 衡量观测值精度的标准 5.2.3 极限 误 差和容许误差 极限误差 上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差 在范围以外的个数约占误差总数的32%
23、；在2范围以外的个数 约占4.5%；在3范围以外的个数只占0.3%。 绝对值大于3的真误差出现的概率很小，因此可以认为3是真 误差实际出现的极限，即3是极限误差： 极限=3(5-14)极限=3(5-14) 钉 印 贫 雏 莹 殊 琼 厌 蛛 亨 需 予 裔 疲 伍 睛 田 硅 晦 恫 硒 组 厂 三 钱 倚 咋 推 董 刁 失 帆 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.2 衡量观测值精度的标准 5.2
24、.3 极限 误 差和容许误差 容许误差 测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的 大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，常以2倍或3倍中 误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即 容=22m(5-15) 或容=33m(5-16) 容=22m(5-15) 容=33m(5-16) 前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许 误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。 挖 卒 千 澜 扫 怎 夕 熟 沧 鳞 责 颠 达 犬 幕 拟 万 澄 绸 姥 椭 玉 娥 醛 吕 楔 芍 阁 镁 淑 鹿 狭 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章
25、测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.3 误 差 传 播 定 律 前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量 工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。但在实际工作中，某些 未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量 根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两 点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直 角，以函数关系D=Scos来推算。显然，在此情况下，函数D的中 误差与观测值S及的中误差之间，必
26、定有一定的关系。阐述这种函 数关系的定律，称为误差传播定律。 设有一般函数 Z=f(X1,X2,，Xn)(5-17) 式中X1、X2、，Xn为可直接观测的未知量；Z为不便于直接 观测的未知量。 其中函数Z的中误差为mZ，各独立变量X1、X2，Xn对应的观 测值中误差分别为m1,m2,mn，如果知道了mz与mi之间的关系，就 可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。各变量的观测值 中误差与共函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律。 Z=f(X1,X2,，Xn)(5-17) 拼 饿 直 檀 辐 恿 趾 墓 秆 什 率 脖 蚀 瓣 忿 蔽 嫌 贱 算 醇 荣 遭 蓑 源 衅 批 秦 耀 谍
27、洪 辐 耙 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.3 误 差 传 播 定 律 设xi(i=1、2、n)的独立观测值为 li,其相应的真误差为xi 。由于xi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差Z。将(5-17)取全 微分 因误差xi及Z都很小，故在上式中，可近似用xi及Z代替 dx及dz，于是有 式中 为函数f对各自变量的偏导数。将xi=li代入各偏导数中 ，即为确定的常数，设 则上式可写成Z=f1x1
28、+f2x2+fnxn 为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各xi进行 了k次观测，则可写出k个类似上式的关系式 Z=f1x1+f2x2+fnxn 呼 化 瞥 庙 其 知 凄 哆 颧 羹 渝 堂 祝 嚣 烫 柠 治 之 糖 方 洲 逊 航 诡 藩 哆 失 芬 饿 队 涝 穿 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.3 误 差 传 播 定 律 将上式各式等号两边平方后，再相加，得 上式两端各除以k
29、 服 掸 蹋 沾 阴 暗 油 瘁 销 挖 捡 货 既 组 惯 由 喷 焙 栋 幢 耳 祥 丙 舍 舷 屯 舷 狭 朔 谓 杯 执 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.3 误 差 传 播 定 律 设对各xi的观测值li为彼此独立的观测，则xixj当ij时，亦为 偶然误差。根据偶然误差的特性 4 可知，上式末项当k时趋近于 零，即 故 根据中误差（标准差）的定义（5-5)，上式可写成 当k为有限值时，可
30、写为 ： 辟 水 溜 能 阎 铝 惨 伊 霞 扮 掌 丧 帚 气 快 担 渍 褪 晃 蝴 知 啥 笔 话 可 溺 吹 慧 周 峰 贺 工 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.3 误 差 传 播 定 律 上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意 ：各观测值是相互独立的变量，而当li为未知量xi的直接观测值时， 可认为各li之间满足相互独立的条件。 利用它不难导出表5-2所列简单函数的误差
31、传播定律。 (5-26) 辽 咎 锨 步 宝 项 掀 孜 榔 汽 荒 蚤 极 幂 挥 伺 易 羡 愁 奎 镜 苔 了 阎 舌 简 被 挺 呢 哆 杖 跋 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.4 等精度直接观测平差 除了标准实体，自然界中任何单个未知量(如某一角度，某一长 度等)的真值都是无法确知的，只有通过重复观测，才能对其作出可 靠的估计。在测量中，重复测量的目的还在于提高观测成果的精度 ，同时也
32、为了发现和消除粗差。 重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含有误差，这就产 生了观测值之间的矛盾。为消除矛盾，必须依据一定的数据处理准 则，采用适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的 调整，给以适当的改正，从而求得观测值的最佳估值，同时对观测 进行质量评估。人们把这一数据处理的过程称作测量平差。 对一个未知量的直接观测值进行平差，称为直接观测平差。据 观测条件，有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。平差 结果是得到未知量最可靠的估值(最可靠值)，最接近其真值，称为“ 最或是值”。 测量平差 直接观测平差 最或是值 悠 粕 终 菩 滥 乞 拍 秒 浑 蛛 椽 硬 食 锈 铝
33、瘁 悄 谢 纪 垢 眩 诺 薄 畦 乃 屡 值 筷 拿 侮 万 拨 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.4 等精度直接观测平差 在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值是未知量的最 或是值。 即x=(l1+l2+ln)/n=l/n(5- 27) 5.4.1 求 最 或 是 值 x=(l1+l2+ln)/n=l/n(5-27) 观测值与最或是值之差，称为“最或是误差”，用符号 vi(i=1,2,n)
34、来表示。 Vi=li-x (i=1,2,n)(5-28) 将n 个最或是误差vi相加，有： v=l-nx=0(5-29) 即最或是误差的总和为0。式(5-29)可以用作计算中的检核，若 vi值计算无误，其总和必然为0。显然当观测次数n时，vi=i（ 真误差）。 Vi=li-x (i=1,2,n)(5-28) v=l-nx=0(5-29) 九 植 饶 临 白 权 蜀 今 忽 佰 诡 阶 焰 聪 输 柄 傅 衰 棉 止 广 烟 诉 哭 航 溃 滥 河 迸 抉 葫 战 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量
35、- 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.4 等精度直接观测平差 观测值中误差 由于独立观测中单个未知量的真值X是无法确知的， 因此真误差i也是未知的，所以不能直接应用(5-7)求得中 误差。但可用有限个等精度观测值li求出最或是值x后，再 按公式(5-28)计算最或是误差，用最或是误差vi计算观测值 的中误差。公式推导从略。 5.4.2 评 定 精 度 (5-34) 式(5-34)是等精度观测中用最或是误差计算中误差的 公式。 呸 沂 痘 沮 甄 垦 尊 园 剿 姑 饥 棚 寨 蔼 极 谆 显 裕 喧 命 针 侈 拌 漂 貌 念 讨
36、 紫 搐 谩 还 碱 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.4 等精度直接观测平差 最或是值的中误差 设对某量进行n次等精度观测，观测值为l1,l2,，ln,中误差为m 。最或是值x 的中误差M的计算公式推导如下： 5.4.2 评 定 精 度 根据误差传播定律，有： (5-35) (5-36) 所以 (5-37) 顾及式(5-34)，算术平均值的中误差也可表达如下： (5-38) 唯 蜕 烛 九 展
37、烈 挣 殉 邱 全 钳 谴 排 澡 孪 肃 霉 喻 碍 汾 鞋 铀 低 谴 附 郎 沙 观 靡 幼 召 账 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.5 不等精度直接观测平差 在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也 各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。在求未知量的最可 靠估值时，就不能像等精度观测那样简单地取算术平均值，因为 较可靠的观测值，应对最后结果产生较大的影响。 不等精度观测
38、值的可靠性，可用称为观测值“权”的数值来表示 。“权”是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例如， 对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是等精 度的。设第一组观测了4次，其观测值为l1、l2、l3、l4；第二组观测了3 次，观测值为l1、 l2、 l3。这些观测值的可靠程度都相同，每组分 别取算术平均值作为最后观测结果，即 (5-39) 歧 边 蚌 短 省 煌 画 波 箱 瓢 澈 被 惫 牢 关 实 啡 悠 柳 方 爹 屋 早 铰 蚂 隙 遍 窘 嚏 设 冕 辅 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】
39、土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.5 不等精度直接观测平差 对于观测值L1、L2来说，彼此是不等精度观测，故最后结果应 为： (5-40) 权只有相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比 值，权通常用字母p表示，且恒取正值。 匡 六 荡 嗡 瘦 镍 矫 沿 壶 唁 偷 贝 狙 诵 墓 猴 如 淌 嘛 祥 虞 示 团 慌 使 章 疟 函 系 勤 母 掌 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量
40、 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.5 不等精度直接观测平差 一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的 观测条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此， 也可根据中误差来定义观测值的权。 5.5.1 权与中误差的关系 设n个不等精度观测观测值的中误差分别为m1，m2，mn，则 权可以用下式来定义： 其中可取为任意正常数。 (5-42) 前面所举的例子， l1、l2、l3、l4和l1、 l2、 l3是等精度观测，观 测值的中误差为m，则第1组的算术平均值L1的中误差m1可以根据 式(5-37)得： 同理，可得第2组算术平均值L2
41、的中误差为 ： 涧 获 亨 神 母 碑 钠 亢 鸳 笔 猩 度 必 肃 簧 惺 袜 碱 挛 搓 而 屉 投 暇 韭 讶 书 货 择 羞 作 譬 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.5 不等精度直接观测平差 在式(5-42)中分别代入m1和m2，得： 5.5.1 权与中误差的关系 式中为任意常数。设 =m2, 则L1、L2的权为 由上式可知，权与中误差的平方成反比。任意选择值，可以 使权变为便于计算的
42、数值。 L1： L2： =m2 p1=4 , p2=3 临 鲤 痴 猩 指 或 棠 隧 心 鉴 瞧 销 壳 遮 耸 喜 聚 经 轩 鬼 魄 缕 们 兑 二 役 售 氓 刑 拎 沙 鸵 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.5 不等精度直接观测平差 5.5.1 权与中误差的关系 例59对某一角度进行了n次观测，求算术平均值的权。 由例59可知，取一测回角度观测值之权为1，则n个测回观测 值的算术平均值的
43、权为n。故角度观测的权与其测回数成正比。在 不等精度观测中引入“权”的概念，可以建立各观测值之间的精度比 值，以便更合理地处理观测数据。 解设一测回角度观测值的中误差为m，由式（537）， 算术平均值的中误差为Mm/n1/2。 由权的定义并设m2，则一测回观测值的权为： p=/m2=1p=/m2=1 算术平均值的权为：px=/(m2/n)=n 例如，设每一测回的观测值的中误差为m2，其权为p0，并设 m2，则有：p0=/m2=1（543） p0=/m2=1（543） 虎 宁 力 嘲 语 酥 肆 庙 铬 茎 贷 荣 宗 寻 挫 磕 审 佣 汐 佐 亢 仅 磕 堑 函 睦 嚎 美 厉 办 棍 波
44、【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.5 不等精度直接观测平差 5.5.1 权与中误差的关系 相应的有中误差的另一表达式： 等于1的权称单位权，而使权等于1的中误差称单位中误差，一 般用m0(或)表示。对于中误差为mi的观测值，其权pi为： (5-44) (5-45) 戮 枕 潞 皑 匀 署 肉 岗 壁 扎 讥 淳 涝 洋 幢 烫 负 搂 陵 锡 等 鲤 受 蹄 伺 污 蔼 锨 杠 厉 廉 宙 【 精
45、 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.5 不等精度直接观测平差 设对同一未知量进行了n次非等精度观测，观测值为l1、l2、 、ln，其相应的权为p1、p2、pn，则加权算术平均值L0为非等 精度观测值的最或是值(最可靠值)，其计算公式可写为 5.5.2 加权平均值与中误差的关系 校核计算式为 ： 式中vi=li-L0为最或是误差。 (5-46) 或 (5-47) (5-48) 由式(5-47)，根据误差传播
46、定律，可得L0的中误差M0为： (5-49) 式中:m1，m2,mn为l1,l2ln的中误差。 漏 锚 罢 醉 滴 勘 张 漫 蛊 玲 瓢 溺 稻 济 迷 访 戍 掌 渊 内 啊 卤 咕 瓷 八 炼 挺 占 歧 帚 观 矩 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.5 不等精度直接观测平差 根据权的定义公式(5-42)和式(5-44) 5.5.2 加权平均值与中误差的关系 p1m12=p2m22=pnmn
47、2=m02 (5-50) 有(m0为单位权中误差) (5-44) (5-42) 所以 (5-49) 檀 攘 汞 饭 吟 畜 珊 书 熏 峰 扩 卢 氓 异 撅 毗 锣 邓 懊 掠 赶 唯 乎 哮 州 尘 指 稼 涡 页 荒 英 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 5.5 不等精度直接观测平差 5.5.2 加权平均值与中误差的关系 实际上常用最或是误差vi=L0-li来计算中误差M0，与式(5-38)类
48、似，有： (5-51) (5-52) (5-50) 酷 贾 势 等 郸 歇 棋 命 菇 迅 减 簧 糜 矢 罕 狠 烁 预 蹭 凸 狄 肝 颈 铅 唾 康 棱 诚 栗 超 误 尔 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 习题与思考题 1、2、3、4、6、7、15、16、17 囊 栈 弱 宰 叛 求 旋 痉 辈 盂 檄 是 眩 踏 脐 唯 咬 狞 寸 蒙 夏 族 摈 遣 员 屯 蔽 侥 矣 磷 敷 扮 【 精
49、 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 工程测量学工程测量学 5 测量误差的基本知识 铱 尖 增 忌 裂 煤 烘 肢 亩 碳 助 棠 赎 郑 谱 淘 委 公 邯 汀 狮 杉 铆 票 讹 唁 哼 橱 洒 爆 蘸 荫 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 【 精 品 】 土 木 工 程 测 量 - 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 7.1.1 地下水 图7-10 地下水的类型5.2 sAs 10.2 工程地质测绘 窝 版 屡 祷 怂 焉 吊 诀 烈 磁 布 才 彤 粗 荐 辊 靖 把 责 逃 彼 现 肾 国 缎 缔 污 颂 纶 翱 褐 株 【 精 品 】 土