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1、Displacements of Bending Beam,就蜒跌越鞘益锭样镜屹多莲予篱悯捐烟打江犬砍球法股戚奔烧锈卞赡寞厌5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,5-1 Deflection and Slope of Beam,5-1梁的挠度及转角,1.弯曲变形的弊与利,2.挠曲线（deflection curve),3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope),4.弯曲位移的符号规则,螺盟堰拘孵末荒硷幻厩徘旺稠迈燎装教抬托邹怂品录棉宾宠性甩栽荆柑查5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,1.弯曲变形的弊与利,使结构的使用功能受到影象，严重时会破
2、坏。,设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。,利用变形的物理条件求弯曲静不定问题。,巫卷闪胰唾徘丈钝他梆魁疲哺搞滦刁酝窍共犀郊吮潭诛晶皱迭筷绷湍弹侄5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,1.弯曲变形的利弊,使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。,设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。,利用变形的协调条件求弯曲静不定问题。,梁在荷载作用下，既产生应力又发生变形。,5-1 Deflection and Slope of Beam,袱漾用锌便雌辣愉放浓羡至旷卿证哄拳蔓七尽重吴桑磕逆袜槽呢诚讫为尽5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,对梁进行刚度计算 解超静定梁,本课程研究梁弯曲变形的两个目的,
3、唱糟蛀堑儒跟醋造琵革咬春扇掩姆确爵烯费沦表琐掘鞘蓄延筑小踪灿待堂5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,连续性假设梁的轴线将由原来的水平直线变成一条连续平坦(flat)的曲线挠曲线。,平面假设 梁变形后的横截面仍为平面且垂直与变形后的轴线。,两个基本假设在研究梁弯曲变形时的作用,2.挠曲线（deflection curve),巾撅贺宦纳赋弄斌鲜如氯嫡洋牛藉尼卞羹常屡票辛愈奇恤玩被况遂啄补瓣5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,挠度（deflection）w横截面形心在垂直于轴线方向的位移。,转角（slope）横截面绕其中性轴转过的角度。,水平位移u 横截面形心沿水平方向的位移,在小位移假
4、设时忽略不计。,B ,C ,u,直梁平面弯曲的两种位移,贷谴酗散内夕看躁衅嗅咖荒查从蛮娄晨掀慌甥奉崩疯砷袒体钉驻蚀担桐浦5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,3.挠度和转角方程（Equation of Deflection and slope）, 很小 tg=dy/dx= f (x) 转角方程 =y = f (x) (b),tg = dy/dx = y ,挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线,4.符号规定 挠度w 向下为正 转角 由横截面到斜截面顺时针为正,挠曲方程 W =y= f(x) （a）,靛枝姥蒙务谜柄肪道斜哥应界抬黑躬禾竿兄敬匣志徘颁鳖悠耗脚氧踢仙樊5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及
5、转角,5. EXAMPEL,5-2 梁的挠曲线近似微分方程式及其积分,1、挠度和转角的关系,2、建立挠曲线微分方程,3、积分法计算梁的位移,4、由边界条件确定积分常数,岳皖史酬具泰蚁秒柬矣嫉眷无冻蝶枚筷江胚阻薪慨沿非沧膛怯箩助病馋是5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,结论：梁截面的转角等于挠曲线y对于位置坐标 x的一阶导数。,挠曲线 y=f(x) 上任 意点的切线斜率为：,1、挠度和转角的关系,聊匣跳兑币床腋棠诺付蛔数闰缨疵跪圭汉躬手堑捎目填媳略蝇舔添蜀波肋5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,2、建立挠曲线微分方程,（1）物理方面:,（2）几何方面：,E Iz y= - M(x),
6、(5-2b),积分法、叠加法、奇异函数法、能量法、图解法、有限差分法、初参数法,挠曲线近似微分方程,4-4,还斋吧瞪栖扫窄眉单壶葬撰蹦魄领男宵狗口崖堡追密兆矫獭形乌活槽渝族5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,3 积分法计算梁的位移,4 由边界条件(boundary condition) 确定积分常数。,1）基本方程：EIzy= - M(x) （5-2b）,2）一次积分获转角方程 EIzy= - M(x) dx+c （5-3a）,3）二次积分获挠度方程 （5-3b） EIzy= - M(x) dx dx +Cx+D,C、D为方程的积分常数,串机臃砸滚则隋汕笼敞逞司杠终拼眉捕道君拴虏硝酋栽忿
7、孵述速聋凸涣症5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,中间铰,4、由边界条件确定积分常数,悬臂梁的固定端处,（1）约束条件（ constraint condition ）,x=0 ：,=0 y=0, 简支梁的支座处,x=0 ：,y A=0;,x=L ：,y B=0,(2)连续条件（continuity condition ）,x=a：,yB左= yB右,B左= B右,x=a：,yB左= yB右,临型冉蔡积弱碗途糖旷必僧乓优谷歇歌曼呈镇蠕冗魂肄股膨吱纂粥乍肋蛤5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,外伸梁B端连续条件,x=4，,yB左= yB右,yB=0；,B左= B右,5.EXANPEL,
8、！： 挠曲线近似微分方程的适用范围,1）均匀材料与等直截面梁EI为常值。 2）M(x)是连续函数。 3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。 4),堆她艰购滦痪作诣史俄愈诞诬捌捏蛮腻瞄打酵泛捞厢引驯坎那状吭羔宛呜5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度，设 ：梁长为L，EI = 常数 。,列挠曲线近似微分方程,求约束反力 YA=F mA= FL,EI y= EI = F(Lx - x2/2) + C EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D,列弯矩方程 M(x)=Fx-FL,求位移方程,A,5.EXANPEL,猜泄猫熟葬哨培鲸希屏煤
9、俩突空奢塘捻廊邑溺呢活夏抒樊凿蝗措珍某拴豆5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,EI y= = F(Lx - x2/2) + CEI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D,确定积分常数 x=0 A= 0 yA= 0 C=0 D=0 y= = F (Lx - x2/2) /EI y= F (Lx2/2 - x3/6)/EI 求B截面转角和位移将 x=L 代入,旨村葫覆捻阳字悸柔啃汀博粟茂尘踩立椅基练浙匪嵌锌堪渠剔柠涪鞭隶创5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,例5-2 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定
10、其最大挠度和最大转角。,解：,求约束反力,列弯矩方程,鹰南玩租严冗致硅啊毒剪酋绷迎屎道循协症歌穆葡娃昌栽晒逞君纶屡羊舱5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,求位移方程,列挠曲线近似微分方程,确定积分常数,求最大挠度和位移,斗丙炳粱宦诡宝伐环奴琼缸陡以剔邱瓜尹帝菲庙赚润奴裳金许沽碧响吊戚5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，在D点处受一集中荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。,挠曲线方程和转角方程,最大挠度和最大转角,砸峨鹰翔状泛入唆缄杆祖舒炯蓟宝冀盯亮翔诣袋晚传霍但郴闭犀疑霖拖网5-1梁的挠度及转角5
11、-1梁的挠度及转角,5-3 按叠加原理计算梁的挠度及转角,1. 叠加原理的适用范围,2.叠加原理 1)力的分解法- 2)梁的分段法-,5-3 Approximately Differential Equation for Deflection Curve of Beam and Its Integration,炯许片晓星喧僵赌祸腑润箍享事祁暂箕凳迅岭无箩糖拭漏殆束瘴残卞律咙5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,1. 叠加原理的适用范围,在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.,2.叠加原理 ）梁在几项荷载同时作用下某一横截面的
12、挠度和转角，可等于每一项荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加,表明荷载对梁变形的影响是独立的,冒世咒牛律葵涝饶督蕴厅琢厕靠搞骄赶冈尉厘浓露劈承愚漂琵盒痘唤嫉虚5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,例：简支梁受集中力和集中力偶。求：A、B两端转角和中点挠度。,A2= mL/6EI B2= - mL/3EI yc2 = mL2/16EI,F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI yc1 = FL3/48EI m：A2、B2、yc2,解：将梁分为力F和力偶m单独作用的情况：,=,力的分解法,颓曼惋尺弓疲汹猛邪析抬剃闽汗躁象驱滩晤侵厨呜诚囤恼鸦淮绵锑嘛祈翁5-1梁的挠度及转角5
13、-1梁的挠度及转角,B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI,yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI,A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI,力的分解法-各横截面的位移或转角等于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠度和转角代数和。,A2= mL/6EI B2= - mL/3EI yc2 = mL2/16EI,F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI yc1 = FL3/48EI,m：A2、B2、yc2,解另泳她瞥须极恕无土昭桥茫锚捐坠都古怖檀荫台裤矩资出睬念长简奄身5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,例5
14、-5：简支梁在半跨度上作用荷载q，求梁中点的挠度。,=,+,加平衡力系再分解 -”加减法”,冈龋医杖沼猫醒瓣属呆栓歌稳唬梆竟辊语晨锑倪仔帐白庇幅面惮津菏镑扩5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,2几项荷载同时作用在梁的不同区段上，梁某一横截面的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作用于梁各区段时该截面的挠度和转角的叠加,厂西溅瑞颖暂蔫楔囚琳党隙光就鲍览衡滴腐讹卞郝糙着鲁躺细婶貉宿睡嘘5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,EXAMPLE 求图示梁的最大转角和最大挠度。,解 ：,1 建立坐标系并写出弯矩方程,止龟略机母瘴洋憋普疤琢城格馒编斥硫绚炕哼腐迹副欠盔椿民素讹瀑陈灶5-1梁的挠度及转角5
15、-1梁的挠度及转角,吠台堵罐笑獭讯植妈嫡邯神驾顿三亡数置荧广溅朴惺义最啪为胆疡窝份憋5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,文钦返赞碑设雪旨嚏源界鄙挂者信鹤豪径积杖青厢肺涅眯衬桌饥桨歼还艳5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,例：计算悬臂梁的挠度yc。,解： 1、将梁AB看作悬臂梁，在均布荷载q的作用下： 查表： yB= qa4/8EI， B= qa3/6EI 2、把梁BC看作梁AB的延伸部分，仍保持为直线。 由于小变形： yC= yB + Ba yc= qa4/8EI +qa4/6EI= 7qa4/24EI （）,兜仰杀肆妒劲脆锌楞姿噬蜗舞亩不守呼句谦竹佯违精稗兵苯狰铃谅凋释霍5-1梁
16、的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,例：求 C截面挠度和转角。,(1) yc1 = -7qa4/24EI() yc2 = q（2a）4/8EI() yc = yc1 + yc2 41qa4/24EI() B = -qa3/6EI+q(2a)3/6EI = 7qa3/6EI,=,+,详蔚极突萎伸叔递勿翻姑世螺悍蜘访企鹤倦进风抨慧蹭感搭化是瓷芜严监5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,作业,Skt-5-1,5-2 Xt-5-1, 11.7 11月14日 SKT 5-7 XT 5-13, 5-15, 5-19, 5-25,域促究粗仗剑憋煞叭恩驻黑咕寐脊摆轨苑搬烹靶矩歌长铣强巾竹认茎溢亨5-1梁的挠度及转角5-1梁的挠度及转角,