1、xy0 我们发现现实生活中的许多事物都具有对称性，我们发现现实生活中的许多事物都具有对称性，有的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，那么在有的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，那么在我们数学领域里，我们会研究函数图象的对称性！我们数学领域里，我们会研究函数图象的对称性！成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！励志笃行、追求卓越！学习目标学习目标1、从形与数两个方面进行引导，使、从形与数两个方面进行引导，使学生深刻认识函数的奇偶性的概念；学生深刻认识函数的奇偶性的概念；2、函数奇偶性的判断；、函数奇偶性的判断；3、奇、偶函数图象的性质、奇、偶函数图象
2、的性质【重点重点】函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念【难点难点】函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断xyoxyo 观察下列两个函数图象并思考以下问题：观察下列两个函数图象并思考以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）当自变量当自变量x x取一对相反数时取一对相反数时,相应的相应的 两个函数值如何两个函数值如何?x-3-2-1 0 1 2 3 x-3-2 -1 0 1 2 3 这两个这两个函数的图像函数的图像都关于都关于y轴轴对称对称从函数值对应表可以看到从函数值对应表可以看到:当自变量当自变量x取一对相反数时取一对相反数时,相应的两个函数值相同相应的两
3、个函数值相同对于对于f(x)=x2，f(-x)=(-x)2=x2，即，即f(-x)=f(x)对于对于R内任意的一个内任意的一个x，都有，都有f(-x)=f(x)，这时，这时我们称函数我们称函数f(x)=x2 为偶函数为偶函数.偶函数的概念：如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意任意一个一个x,都有都有f(-x)=)=f(x),),那么函数那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数.思考思考:定义中定义中“任意一个任意一个x,x,都有都有f(-f(-x x)=)=f(xf(x)成立成立”说明了什么？说明了什么？说明说明f(-xf(-x)与与f(xf(x)都有意义，都有意义，即即-
4、x-x、x x必须同时属于定义域，必须同时属于定义域，因此偶函数的因此偶函数的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称的。思考下列函数是偶函数吗思考下列函数是偶函数吗?xy1xy1-1xy1。不是不是不是不是是是yxOx0-x0 x-3-2-1 0 1 2 3 x-3-2 -1 1 2 3 两个函数两个函数的图像都关的图像都关于原点对称于原点对称.观察下列两个函数图象并思考以下问题：观察下列两个函数图象并思考以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）当自变量当自变量x x取一对相反数时取一对相反数时,相应的两个函数值如何相应的两个函数值如何?xyo1
5、23-112-13对于对于f(x)=x，f(-x)=-x=-f(x)，即，即f(-x)=-f(x).对于对于R内内任意任意的一个的一个x，都有，都有f(-x)=-f(x)，这时，这时我们称函数我们称函数f(x)=x为为奇函数奇函数.从函数值对应表可以看到从函数值对应表可以看到:当自变量当自变量x取一对相反数时，相应的函取一对相反数时，相应的函数值数值f(x)也是一对相反数也是一对相反数.奇函数的概念：一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域的定义域内的内的任意任意一个一个x，都有，都有f(-x)=-f(x),那么称那么称函数函数y=f(x)为为奇函数奇函数.特别地，如果函数特别
6、地，如果函数f(x)在在x=0处有定义，处有定义，(1)定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。a,b-b,-axo对于奇、偶函数定义的几点说明:(2)(2)如果一个函数如果一个函数f f(x x)是奇函数或偶函数，是奇函数或偶函数，那么我们就说函数那么我们就说函数f f(x x)具有奇偶性具有奇偶性.(3)(3)函数的奇偶性是函数的整体性质函数的奇偶性是函数的整体性质.奇偶性是对函数的整个定义域而言的奇偶性是对函数的整个定义域而言的.（1）图像法（2）定义法例例1.根据下列函数图象根据下列函数图象,判断函数奇偶性判断函数奇偶性.yxyxyx-12yx-11偶奇非奇非偶
7、奇（2 2）如图是奇函数）如图是奇函数 图象的一部分，图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？如何画出函数在整个定义域上的图象？(2)(2)由于奇函数的图象关于坐标由于奇函数的图象关于坐标原点对称，只要在函数图象上找原点对称，只要在函数图象上找点作出这些点关于坐标原点的对点作出这些点关于坐标原点的对称点，描点即可作出函数在整个称点，描点即可作出函数在整个定义上的图象。如图定义上的图象。如图例2 判断函数判断函数 的奇偶性。的奇偶性。解：解：(1)(1)对于函数对于函数 ，其定义域是，其定义域是 。由于对定义域内的任意由于对定义域内的任意x x，都有，都有所以，函数所以，函数f(xf(x
8、)是奇函数。是奇函数。用定义法判断函数奇偶性解题步骤用定义法判断函数奇偶性解题步骤:1)1)先确定函数定义域先确定函数定义域,并判断并判断 定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称;2)2)求求f(-xf(-x)，3)3)判断判断 f(-xf(-x)与与f(xf(x)或或f(-xf(-x)与与-f(xf(x)是否相等是否相等;4)4)作出结论作出结论:若若f(-xf(-x)=)=f(xf(x),),则则f(xf(x)是偶函数是偶函数;若若f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x),),则则f(xf(x)是奇函数是奇函数.例例5.5.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（1 1）；（
9、2 2）；（3 3）；（4 4）。分析：分析：只要按照函数奇偶性的定义，检验各个函数是否只要按照函数奇偶性的定义，检验各个函数是否符合即可。符合即可。解解：（1 1）对于函数）对于函数f(xf(x)=x)=x4 4，其定义域是，其定义域是 。因为对定义域内的每一个因为对定义域内的每一个x x，都有，都有 所以，函数所以，函数f(xf(x)=x)=x4 4为偶函数。为偶函数。(2)(2)对于函数对于函数f(xf(x)=x)=x5 5，其定义域为，其定义域为 。因为对定义域内的每一个因为对定义域内的每一个x x，都有，都有所以，函数所以，函数f(xf(x)=x)=x5 5是奇函数。是奇函数。(3)
10、3)对于函数对于函数 ，其定义域是，其定义域是x|xx|x00。因为对定义域内的每一个因为对定义域内的每一个x x，都有，都有所以，函数所以，函数 是奇函数。是奇函数。(4)(4)对函数对函数 ，其定义域是，其定义域是 .由于对定义域内的每一个由于对定义域内的每一个x x，都有，都有所以，函数所以，函数 是偶函数。是偶函数。1.奇偶性定义奇偶性定义:对于函数对于函数f(x),在它的定义域内，在它的定义域内，若有若有f(-x)=-f(x),则则f(x)叫做奇函数；叫做奇函数；若有若有f(-x)=f(x),则则f(x)叫做偶函数。叫做偶函数。2.定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶
11、性的前提是函数具有奇偶性的前提3.图象性质图象性质:一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称4.判断奇偶性方法：判断奇偶性方法：图象法，定义法。图象法，定义法。5.判断函数奇偶性的步骤判断函数奇偶性的步骤 1.1.看看 2.求求 3.判判 4.结论结论 自主检测：一、判断正误：一、判断正误：1、偶函数的图形不一定关于、偶函数的图形不一定关于y轴对称轴对称（）2、y=x 是奇函数是奇函数.（）二、判断下列函数的奇偶性二、判断下列函数的奇偶性1.1.判断下列函数的奇偶性。判断下列函数的奇偶性。偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数2.2.已知已知f(xf(x)是偶函数，是偶函数，g(xg(x)是奇函数，试将下图补充完是奇函数，试将下图补充完整。整。
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