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1、传染病预测监控的SIR模型 n n 结合图形，推导、证明，结合图形，推导、证明，t t趋于无穷时的变化情况：趋于无穷时的变化情况： 1 1、不论初始条件如何，病人比例、不论初始条件如何，病人比例i i最终趋于最终趋于0 0； 2 2、最终未被感染的健康者比例最终未被感染的健康者比例s_s_是如下方程在是如下方程在 (0,1/)(0,1/)内的根：内的根： 0=s0+i0-s+1/ln(s/s0) 0=s0+i0-s+1/ln(s/s0)； 军 扦 拈 碉 类 衍 恃 人 窒 绵 筹 泄 家 试 柱 烷 没 纶 绝 仙 眼 睹 崎 潜 仲 跋 憨 灰 毒 妄 池 油 传 染 病 预 测 监 控
2、的 S I R 模 型 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传染病预测监控的SIR模型 n n 3 3、1/1/是一阀值，如果初始未被感染的健康者比例是一阀值，如果初始未被感染的健康者比例 s01/s01/，则病人比例，则病人比例i i会先增加，会先增加，当当s s达到达到1/1/时，时， i_i_达到最大值达到最大值s0+i0-1/1+ln(s0)s0+i0-1/1+ln(s0)，尔后，尔后i i与与s s都都 递减趋于极限值；递减趋于极限值； 如果如果s01/s01/，则病人比例，则病人比例i i与与s s都递减趋于极限值。都递减趋于极限值。 霉 衅 钎 涧 严 云 罢 飞
3、 艰 倡 疏 氏 痘 钓 加 怎 日 逝 罪 芽 蝗 懊 决 领 您 首 乔 峰 强 菇 陨 渭 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传染病预测监控的SIR模型 n n 模型应用：模型应用： 1 1、 1/ 1/是一阀值，是一阀值，=/=/，卫生水平越高，日卫生水平越高，日 接触率接触率越小越小；医疗水平越高，日治愈率医疗水平越高，日治愈率越大越大， 这是控制传染病蔓延的主要手段；这是控制传染病蔓延的主要手段； 2 2、 s=s/ s=s/是传染期内一个病人传染的健康者是传染期内一个病人传染的健康者 的平均数的平均数( (交换
4、数交换数) )，当，当s01/s01/，即，即s01s01，交换交换 数不超过数不超过1 1，病人比例，病人比例i i不会增加，传染病不会蔓延不会增加，传染病不会蔓延 ； 3 3、忽略病人的初始比例、忽略病人的初始比例i0i0，则，则r0=1-s0r0=1-s0，传染病不，传染病不 会蔓延的条件等价于会蔓延的条件等价于r01-1/,r01-1/,通过集体免疫提高通过集体免疫提高 初始时刻移出者的比例初始时刻移出者的比例r r，可制止传染病的蔓延，可制止传染病的蔓延； 恰 鲜 雨 寥 蚤 蟹 渭 倒 芽 柯 涌 即 盔 相 视 鲤 抒 下 础 藻 姆 熟 区 谆 伏 仑 逼 拦 俗 阐 卒 文
5、传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传染病预测监控的SIR模型 n n 模型应用：模型应用： 4 4、最终未被感染的健康者比例、最终未被感染的健康者比例s_s_和病人比例的和病人比例的 最大值最大值i_i_可做为可做为传染病蔓延程度的度量指标传染病蔓延程度的度量指标； 5 5、 =/ =/是一重要参数，而实际上是一重要参数，而实际上、又又 很难估计，很难估计， 当一次传染病结束之后通过当一次传染病结束之后通过s0s0、s_s_ 、i0i0可以估计可以估计： =ln(s0)-ln(s_)/(s0-s_-i0)=ln(s0)-ln
6、(s_)/(s0-s_-i0) ln(s0)-ln(s_)/(s0-s_)ln(s0)-ln(s_)/(s0-s_) 当同样传染病再发生时，如果估计当同样传染病再发生时，如果估计、变化不变化不 大，可用此大，可用此分析新病情的蔓延过程。分析新病情的蔓延过程。 嘲 纲 蚁 菠 掌 顽 扩 龋 缚 使 广 嫩 攻 屋 据 搂 坎 湘 钨 剑 纳 钢 镜 石 良 躬 叹 改 韶 绢 倘 嘶 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传染病预测监控模型的验证 n n 背景：背景： 1903 1903年年1818月，印度广大地区发生瘟疫，死亡
7、月，印度广大地区发生瘟疫，死亡6060万人万人 ，其中旁遮普邦死亡，其中旁遮普邦死亡1313万人。万人。 19041905 19041905年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟 疫，平均每周死亡疫，平均每周死亡1.81.8万人，有几周超过万人，有几周超过4 4万人，计死亡万人，计死亡 100100万人。万人。 19061907 19061907年，印度瘟疫继续流行，死亡年，印度瘟疫继续流行，死亡167.27167.27万人万人 。 1908 1908年，印度持续长时间的瘟疫开始趋于平息，死亡年，印度持续长时间的瘟疫开始趋于平息，死亡 14.8714.87万人
8、。万人。 当时有关部门记录了每天的死亡人数的数字，当时有关部门记录了每天的死亡人数的数字，KermackKermack 在在4040年代用这些数据对年代用这些数据对SIRSIR模型进行验证，将死亡人数视模型进行验证，将死亡人数视 为移出人数处理。为移出人数处理。 者 镜 简 黑 宗 碗 涅 海 口 抚 烂 涧 制 潮 寡 吉 枉 赦 沂 阎 臂 川 巧 毅 娇 联 港 又 技 瑚 熄 就 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传染病预测监控模型的验证 n根据获取数据的处理: n将模型转化为用移出者比例r和易感染者比例s表示 ：
9、dr/dt=(1-r-s), ds/dt=-sdr/dt 进一步得： s(t)=s0exp(-r(t); dr/dt=(1-r- s0exp(-r(t) 对exp(-r(t)进行Taylor展开，取前三项， 求得dr/rt、r(t)的近似表达， 与实际数据相当吻合。 杰 必 颊 辐 宪 遍 汉 糜 排 养 吵 迎 抱 空 拂 销 很 往 炕 块 敌 街 仟 讥 袖 颗 股 刊 亡 品 囤 婉 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传染病预测监控模型的验证 n n 模型验证模型验证( (续续) )： 被传染总比例被传染总比例i.i
10、.的估计：的估计：i.=s0-s_i.=s0-s_ 代入代入s_s_的极限表达式，得的极限表达式，得 i.+i0+ln(1-i./s0)/=0 i.+i0+ln(1-i./s0)/=0 将将ln(1-i./s0)ln(1-i./s0)进行进行TaylorTaylor展开，取前两项，并当展开，取前两项，并当i0i0近似等近似等 于于0 0时，得时，得 i.=2s0(s0-1/) i.=2s0(s0-1/) 令令=s0-1/(=s0-1/(阀值差阀值差) )， 当当s01s01时，时，i.2i.2 穴 嫩 旁 蹈 专 献 揖 砒 卫 瓮 牌 填 棺 吠 童 且 瓮 托 轻 墓 骗 蜡 薯 簧 聚
11、蔑 液 际 踞 葵 距 娘 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传染病的预测与监控 n n 模型评价：模型评价： 医学模型的目的：医学模型的目的： 描述传播过程，分析变化规律，描述传播过程，分析变化规律， 预测高潮时刻，度量蔓延程度，预测高潮时刻，度量蔓延程度， 探索控制手段探索控制手段 n n 思考：能否将死亡人数与康复人数分离？思考：能否将死亡人数与康复人数分离？ 面对面对SARSSARS与禽流感都有哪些数学工具在使用？与禽流感都有哪些数学工具在使用？ 2003 2003年中国大学生数学建模竞赛赛题：年中国大学生数学建模竞赛赛题：SARSSARS的传播的传播 炒 沤 淫 乔 调 慎 悬 溺 挞 怀 踏 窒 着 挪 砚 盐 檀 矗 诉 臭 满 沈 狱 烦 淖 颅 蜘 枝 氦 妓 榔 扑 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型 传 染 病 预 测 监 控 的 S I R 模 型