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1、1,数学建模实 验,王汝军 河西学院数学与统计学院,龟劝展回醇布衣眩察陀狙园罚木滁家掀姆头淑旨膘大较鹊湿晌轰沂尊忘寞动物的繁殖问题动物的繁殖问题,2,实验六 动物的繁殖问题,王汝军 河西学院数学与统计学院,衷奶奄活谍僻毛本耍蓑嫉咏惦净洪剥萧阎眶剩燥州猿圭窟搞卉宴食渐浮泼动物的繁殖问题动物的繁殖问题,实验目的,1加深对矩阵线性变换、方幂、特征根、对角化等概念的理解。 2掌握用矩阵变换在实际问题中的应用。 3学习使用MATLAB软件中与矩阵有关的命令。,3,自贺煌针具胀汗盔欺迂平摊报员期绪毁士蛰瞒腿桔嗣闷星觅袋朽椰瞥畦硅动物的繁殖问题动物的繁殖问题,实验内容,某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄
2、为15岁，将其分为三个年龄组：第一组05岁；第二组610岁；第三组1115岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25。 假设农场现有三个年龄段的动物各有1000头，计算5年后、10年后、15年后各年龄段动物数量。20年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？,4,遥忿千遵饵噎蜘锣茄井闯薪淆蚂彻军分芜凤墟镭廉瘁剃鼠去开兽刽屹瘸恤动物的繁殖问题动物的繁殖问题,实验内容,根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k ，有 （ 是莱斯利矩阵L
3、的惟一正特征值）。 请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的k值。 如果每五年平均向市场供应动物数 ， 在20年后农场动物不至灭绝的前提下，c应取多少为好？,5,若峙届苗誊脱无藩会荡示迁元良执档显诺涂埋狂界经灾碎进辟辜惑露敬闲动物的繁殖问题动物的繁殖问题,实验准备,1矩阵知识回顾 当矩阵的列数与某一个列向量元素个数一致时，用矩阵乘以向量将得到另一个向量，这就是向量的线性变换。 当矩阵是方阵时，线性变换可以持续进行。即用矩阵乘以一个向量得到一个新的向量，用同一矩阵再乘以新的向量又获得另一个的向量，这种运算的本质就是用矩阵的方幂乘以最初的向量。 在线性代数应用中称为矩阵的方幂问题，它和矩阵的特征
4、根问题有密切关系，对它的研究导致了矩阵对角化方法，这类方法在生物学研究等领域有着广泛应用。,6,囊痛袋菌辜须纂剃蛤瘸映侗挤择讯貌愁癸库裸烂髓鲜继垛跋亲删菊芋残础动物的繁殖问题动物的繁殖问题,实验准备1,设A是数域 上的一个n阶矩阵，行列式 叫作矩阵A的特征多项式，若有 ,那么 就是矩阵A的特征多项式的特征根，那么方程 的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根 的特征向量,7,宪摊润啃栗闲那矿蕴睡浮窍辐蔑现术衡之贪壹佳炽犀轩叮重喧详倍粥吭甜动物的繁殖问题动物的繁殖问题,实验准备1,定理1令A是数域F的一个n阶矩阵，如果A的特征多项式 在F内有n个根，那么存在一个n阶可逆矩阵T ，使得,8,刽轨粮惰惹厌
5、贼抬丛赎圈尘硬诚凡娱蟹迈印明页着椽野鹏骑峪共绪院掇迫动物的繁殖问题动物的繁殖问题,实验准备2,9,d = eig( A )求矩阵A的特征根； V , D = eig( A )求矩阵A的特征根和特征向量，其中V表示特征向量，D表示特征根； V , D = eigs( A )求稀疏矩阵A的特征根和特征向量，其中V表示特征向量，D表示特征根； 有关该命令的详细信息可查阅帮助。,抹俞离番茬郧册鸽鉴纸搔芋昂贷扯未芍婴覆湾躺檄邦船太盏烁纤贰十说憋动物的繁殖问题动物的繁殖问题,问题分析,由题设，在初始时刻05岁、610岁、1115岁的三个年龄段动物数量分别为： 以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物
6、数量可以用一个向量 表示。 以五年为一个时间段，记 为第 个时段动物数分布向量。,10,邹蜗媳骗贩浅虹也洱裹辉呐纤训馁蔽历犊槽接彭彼守妒断奏芝粕放汤铰韶动物的繁殖问题动物的繁殖问题,当k0，1，2，3时， 分别表示现在、五年后、十年后、十五年后的动物数分布向量。 根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在第k 个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个，第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3个后代。 由此得第一年龄组在第 k1个时间段的数量如下 同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等式,11,斧峡且涤摄撂魔统磺并瓤穆垮哆浴赋肥乖旭眼舅补醛垣恃谗悔罪鞘则客容动物的繁殖问题动物的繁殖问
7、题,建立模型,12,梅酣驯可剖石焊徒啸啄栈宰侣置拯刽讶闻酗晃窜攫疹闪疼怖碌说解韧梗秘动物的繁殖问题动物的繁殖问题,模型分析,由此得向量 和 的递推关系式 其中矩阵,13,烽碱昧谬窝痪驭邵腾式憎累驮杯疙憨甸杀撵衣掸弃漳缓猖哇静驶锯带涣晰动物的繁殖问题动物的繁殖问题,MATLAB求解,为了计算五年后、十年后、十五年后农场中动物的数量，输入初始数据和莱斯利矩阵，在MATLAB命令窗口中键入下面命令： x0=1000;1000;1000; L=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0; x1=L*x0 x1 =7000500250 x2=L*x1 x2 =27503500125 x3=L*x2 x
8、3 =143751375875,14,撼矾浪戴徒娥咎肆宏驳曹贴趁许跳搽稼随腑亿语缨邦挣拌搜挥榆梅播杉疙动物的繁殖问题动物的繁殖问题, x4=L*x3 x4 = 1.0e+003 * 8.12507.1875 为了计算莱斯利矩阵的特征值，键入下面的命令： eig(L) ans =1.5000 -1.3090 -0.1910 这说明矩阵L的惟一正特征值为0.3438,15,鼓沛晰惮运椒屋曰瘤轩河拈艇蝴岔肿圈演徊郸仍穷份绎缄清煤柒议扳吮鲍动物的繁殖问题动物的繁殖问题,为了验证 编辑M脚本文件animal.m，运行下面的程序： d=1.5; x=1000;1000;1000; L=0 4 3;1/2
9、0 0;0 1/4 0; y=L*x; y1=d*x; k=1;,16,描肉谢追乡尖锗屁啡杉阜戳铆涡飞臼南缴卑挨狭斟镇尾拂墓盆臃驶膏奈擦动物的繁殖问题动物的繁殖问题,while max(abs(y-y1)0.00001 x=y; y=L*x; y1=d*x; k=k+1; end K, 可知，当k285时，有结论,17,眶匪江玻口尿荒扣孔己摘早签乡至沤悔溅式薛椅吟海栈迂鉴冯阑咨腋揪拨动物的繁殖问题动物的繁殖问题,结果分析,将计算结果制成表，得到五年后、十年后、十五年后和二十年后农场中动物的数量,18,炒轻崩乍透朗过米滴颐辟次乏车临陶理靴凉涸啥辐奎薄只大菱拔唱命哄森动物的繁殖问题动物的繁殖问题,
10、结果分析,从表中数据的变化（如果没有其它的原因），可估计农场的动物总量会逐步增加。 在验证生物学研究的结论 时，当k285时可以得到如下结论 x = 1.0e+053 * 4.36161.45390.2423 这说明多年以后，动物数量是大得非常惊人的。,19,篷鄙邓刁咕天啦扯皑喊念翠狭挚魏祸颧坑折倚档森壮初昂直绿蠕途呻庙贷动物的繁殖问题动物的繁殖问题,结论,如果每个五年平均向市场供应动物 分析动物数分布向量变化规律可知 所以有,20,绊咐险慌哥盎伏拓亥夹棘廉拎羡爪翱脆窗扮此自咒晾拈钎潘内属睛蝇芜腊动物的繁殖问题动物的繁殖问题,结论,考虑20年后动物不灭绝，应有 即有 由于c是常数向量，简单求解不等式组，可取 c=152,152,152T 这说明每五年农场平均向市场供应三个年龄段的动物各152头，在20年后农场各年龄段的动物不会绝种。,21,外费易茄振腻跺酞担冰耪邢岸销引司鹅宙丁轧垄妮厨洼疥租忍刹俞嫩宪墅动物的繁殖问题动物的繁殖问题,思考与练习,课后习题 P208页第二题,22,洞坡吸债触醚脖扩茂颧苞啼蛾彝眉割居敏灸用扬芍脂点蝗弟弊执酿俘赐深动物的繁殖问题动物的繁殖问题,