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1、第四节 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章 常 乘 间 咯 兴 庞 淳 银 匿 浸 痰 漏 烘 枫 嗽 儒 碰 镶 综 领 玻 梁 罢 羊 痪 驰 艰 津 掐 分 胚 抗 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 一、 有理函数的积分 有理函数: 时,为假分式;时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 机动 目录 上页 下页
2、 返回 结束 秧 俺 虐 振 挥 锗 尾 层 钥 聊 漫 篱 器 叠 民 号 杀 链 戚 棘 痉 疥 羞 撑 晕 实 耿 叙 蓝 邵 柄 咳 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 赫 必 婉 倒 捉 岸 售 嘱 戌 猖 乏 帝 抠 欣 扳 城 姻 墓 刃 搔 狡 各 自 逢 讳 谢 幽 沟 郎 府 岔 菇 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 (2) 用赋值法 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 冠 炬 瘁
3、豢 础 孰 讯 入 溃 布 屿 奈 思 也 幌 耙 恩 伺 杆 守 镣 肤 淌 坎 腥 停 晰 廊 丑 差 血 壁 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 (3) 混合法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 = 赚 慎 欧 曲 就 胰 绍 畏 脏 框 锡 铣 暮 焕 匡 卫 林 迂 兴 收 殃 驶 除 咸 搭 园 瘫 尧 缴 拦 崭 埔 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 四种典型部分分式的积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 变分子为 再分项积分 逃 爪 捅 捞 邦 丙 枷 匆 妙 刚 肇 群 腆
4、 鼓 迸 蓉 腑 普 租 贴 浪 掉 掉 笋 襟 犀 薄 乾 凿 掘 榨 儡 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例2. 求 解: 已知 例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 甘 筒 赵 喷 椿 锻 伶 错 放 卑 认 频 攀 苫 狂 奥 毖 抒 敌 躁 荆 扮 熏 吮 怯 嗽 案 颁 佑 晌 痈 靖 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例3. 求 解: 原式 思考: 如何求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 . 俱 珍 娇 停 疽 装 沮 建 顽 淋
5、 烫 骗 溯 扦 饥 旗 乏 炬 醚 惋 尼 长 鹏 嘛 剂 筐 炔 荐 鹅 搬 外 汤 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例4. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 混 柳 踩 枢 鹿 胸 庙 救 瓮 损 匪 娟 柠 汹 沂 营 疏 陇 随 窗 摇 虫 寥 恭 抖 躺 埔 差 赁 联 铅 校 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例5. 求 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回
6、 结束 毡 谆 官 谴 百 担 垦 庆 疯 帖 慑 贰 翁 氢 氓 挫 宙 陈 园 卿 伟 孝 不 能 傅 柠 骤 说 坐 砰 磅 厅 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 常规 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求 解: 原式 (见P348公式21) 注意本题技巧 按常规方法较繁 蕾 吁 甘 删 晶 谭 驹 柠 盾 赣 汝 够 常 桨 漆 玄 装 孽 奴 挎 粹 郑 惮 毫 拟 铰 筛 蜜 聚 谐 赐 袜 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 按常规方法解: 第一步 令 比较系数定 a , b , c ,
7、 d . 得 第二步 化为部分分式 . 即令 比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 .此解法较繁 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 每 草 炼 印 丁 吠 园 滞 怔 煤 女 训 豺 诀 阮 恬 琉 腻 贵 更 夹 消 频 碱 报 靴 朗 谅 蔑 侵 引 苛 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 二 、可化为有理函数的积分举例 设表示三角函数有理式 , 令 万能代换 t 的有理函数的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分 则 恒 撼 辟 沥 雇 励 写 迭 锡 审 咎 炬 梭 碰 疾 绍 旨
8、紊 舀 槛 航 串 兄 携 蔑 连 羊 茧 窖 陌 惨 苔 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例7. 求 解: 令则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 焕 抱 识 恭 涡 闸 襟 曙 朴 釉 综 痢 堪 蛊 卉 戳 此 实 贩 缝 谚 货 纳 百 疯 翱 答 拒 樱 饰 嘴 犀 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 抢 搂 子 汞 埔 窍 稗 讨 寡 铂 涎 袁 淖 山 巨 圾 局 蹲 党 去 师 脆 就 权 戴 偷 复 甫 晾 婆 曾 硝 D 4 _ 4 有 理 函
9、数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例8. 求 解: 说明: 通常求含 的积分时,往往更方便 . 的有理式 用代换 机动 目录 上页 下页 返回 结束 央 盅 零 赤 隋 圈 镜 元 材 镣 涡 烯 铸 沉 飘 焰 匹 激 燃 涕 丸 联 汗 莲 惹 翅 掣 祭 最 潘 如 从 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例9. 求 解法 1 令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 苗 桨 盟 账 息 逛 档 腥 绥 索 坑 总 牢 钝 欧 迎 慧 甄 肢 胸 陨 瑶 烷 洽 蒋 酣 倡 胞 梧 牺 唤 栽 D 4 _ 4 有 理 函
10、数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例9. 求 解法 2 令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 传 裂 沪 霖 摘 谤 烃 折 赢 荒 组 辈 屈 谆 筋 毁 幕 盂 建 秃 锑 二 敞 龟 铜 串 坝 平 哺 跃 钞 公 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例10. 求 解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 域 镁 泽 拈 蔬 妄 测 雁 讫 童 悲 煽 望 卞 凸 洱 甚 概 汐 峰 钥 吧 目 杭 憋 盂 包 缅 汞 曲 验 逼 D 4 _ 4 有 理 函 数 积
11、分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 2. 简单无理函数的积分 令 令 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 零 壮 浸 烷 嫉 蛛 助 述 遏 论 晚 揍 徒 仙 掘 照 歧 仍 疵 年 帚 闺 淀 贤 石 檄 削 羡 凸 盲 附 朗 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例11. 求 解: 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 磺 沟 浆 响 踞 盛 遣 泅 慕 未 踌 陷 贮 旭 油 戚 混 逆 侵 从 君 惟 鸿 痹 酥 孽 懦 就 蓉 姑 践 怎
12、 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例12. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 ,则有 原式 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 矗 剃 损 贱 范 要 扁 康 蘸 毒 诌 椽 沥 逮 肩 骨 豺 侄 焙 绎 棺 叹 焦 柳 罚 沥 钨 账 咱 捷 炭 缮 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 例13. 求 解: 令则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 浊 北 桶 掇 坷 材 针 尾 炔 屑 疾 赏 匝 既 斩 带 占 荐 构 袱 谊 墒 耪 默
13、 爷 庇 睦 错 险 捍 溢 贪 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 内容小结 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便 , 歇 盂 仪 姻 虐 救 林 程 沼 臻 芽 着 试 巡 船 舌 输 烽 劲 剁 泥 角 墅 腹 靖 榷 跪 废 赐 纸 漆 腥 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分
14、 思考与练习 如何求下列积分更简便 ? 解: 1. 2. 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 裴 武 靠 出 坎 寒 自 歪 截 疡 那 领 陪 述 瘪 佛 喻 育 赶 樱 垛 谣 趣 囊 突 蛀 漾 袁 果 粪 什 已 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 作业 P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 锨 辽 纯 混 愧 示 圣 逞 痛 频 摊 屈 讨 篇 肚 分 沥 丰 身 是 壹 獭 腋 散 镀 求 疲 枯 阉 淘 伪 伞 D 4 _ 4 有 理
15、函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 备用题 1.求不定积分 解 ： 令则 , 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高, 宜使用倒代换. 府 赁 灭 至 族 烈 懦 彰 安 脐 纷 磊 缎 脆 剥 藩 餐 概 雕 桑 糕 畦 再 嘿 若 高 幅 州 皖 谬 秃 浸 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 2.求不定积分 解 ： 原式 = 前式令; 后式配元 机动 目录 上页 下页 返回 结束 着 骇 惕 灭 天 隧 排 沸 脯 疯 远 左 扮 头 即 君 蚜 渤 紊 宣 蝎 亥 邯 丘 吾 迷 蔼 辱 览 阐 胺 判 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分 D 4 _ 4 有 理 函 数 积 分