1、加权残值法加权残值法引入加权残值法的原因：引入加权残值法的原因：结构复杂很难列出泛函具体表达式结构复杂很难列出泛函具体表达式或列出的泛函对应的欧拉方程（微分方程）或列出的泛函对应的欧拉方程（微分方程）很难直接从方程式求解很难直接从方程式求解从微分方程及边界条件出发从微分方程及边界条件出发加权残值法求解问题的主导思想：加权残值法求解问题的主导思想：将微分方程转化为积分方程，直接解积分方程将微分方程转化为积分方程，直接解积分方程加权残值法：直接求解积分方程的近似计算方法加权残值法：直接求解积分方程的近似计算方法2.1 加权残值法的基本思想加权残值法的基本思想假设试函数和未知参数式为假设试函数和未知
2、参数式为控制方程控制方程的近似解的近似解将其带入原控制方程将其带入原控制方程此时不能满足原方程，必产生误差此时不能满足原方程，必产生误差残差残差通过将残差进行积分，令其在积分意义下等于零通过将残差进行积分，令其在积分意义下等于零 得到一系列有关未知参数的代数方程得到一系列有关未知参数的代数方程通过求解方程求出未知参数，进而获得问题的解通过求解方程求出未知参数，进而获得问题的解举例说明举例说明qOylx求右边所示梁的挠曲线方程求右边所示梁的挠曲线方程位移法位移法梁的梁的微分方程式微分方程式：设试函数：设试函数：待定未知参数待定未知参数位移边界条件：位移边界条件：控制方程应为梁的挠曲线方程：控制方
3、程应为梁的挠曲线方程：试函数的特点：试函数的特点：满足位移边界条件：满足位移边界条件：残值残值建立在某种加权平均的意义下让残值为最小的方程：建立在某种加权平均的意义下让残值为最小的方程：如在最小二乘方意义下残值为最小，得公式如在最小二乘方意义下残值为最小，得公式得得一般加权残值法的控制方程一般加权残值法的控制方程控制微分方程控制微分方程连续体的力平衡方程式连续体的力平衡方程式在在域内域内位移边界条件位移边界条件力边界条件力边界条件 在在边界边界 上上在在边界边界 上上其中：其中：是问题的精确解是问题的精确解为与为与 无关的给定的域内和边界上无关的给定的域内和边界上的量。的量。整个边界是整个边界
4、是一般近似解的形式一般近似解的形式其中：其中：是待定参数；是待定参数；试函数；试函数；该试函数的设定，可以满足全部的边界该试函数的设定，可以满足全部的边界条件、位移边界条件、或不满足任何边界条件。条件、位移边界条件、或不满足任何边界条件。一般残值的表达形式一般残值的表达形式一般为了消残选取的权函数表达形式一般为了消残选取的权函数表达形式一般消残公式一般消残公式消除结构域内部残值的权函数：消除结构域内部残值的权函数：消除边界残值的权函数：消除边界残值的权函数：消除结构域内部残值的残值方程：消除结构域内部残值的残值方程：消除边界残值的残值方程：消除边界残值的残值方程：构成含有待定参数构成含有待定参
5、数 的线性代数方程组的线性代数方程组 2.22.2常用加权残值公式常用加权残值公式 根据试函数选取满足原问题条件的不同，上述公式可以根据试函数选取满足原问题条件的不同，上述公式可以具体写成以下形式：具体写成以下形式：试函数满足所有边界条件但不满足域内控制方程试函数满足所有边界条件但不满足域内控制方程试函数满足域内控制方程、不满足所有边界条件试函数满足域内控制方程、不满足所有边界条件试函数不满足域内控制方程及力边界条件试函数不满足域内控制方程及力边界条件试函数不满足域内控制方程及位移边界条件试函数不满足域内控制方程及位移边界条件2.3一般常用权函数一般常用权函数（1 1）狄拉克函数）狄拉克函数（
6、2 2）0-10-1函数函数（3 3）最小二乘函数）最小二乘函数（4 4）试函数）试函数（5 5）幂级数）幂级数配点法配点法子域法子域法最小二乘法最小二乘法迦辽金法迦辽金法矩量法矩量法函数的主要性质：函数的主要性质：配点法配点法权函数的形式权函数的形式函数函数00配点法对应消残公式：配点法对应消残公式：对应的物理含义将力的平衡条件放宽到对应的物理含义将力的平衡条件放宽到仅在个别离散点上满足。仅在个别离散点上满足。Lq例题例题 试求左图所示两端自由支持梁试求左图所示两端自由支持梁挠曲线。挠曲线。设试函数设试函数梁的挠曲线方程式：梁的挠曲线方程式：加权残值法的公式：加权残值法的公式：该试函数的特点
7、该试函数的特点：（1）满足边界条件）满足边界条件（2）具有两个待定参数）具有两个待定参数显然我们只需要在两点上满足残值公式，即可求出未知参数。显然我们只需要在两点上满足残值公式，即可求出未知参数。若取两点为：若取两点为：代入方程得公式代入方程得公式梁的挠曲线方程式：梁的挠曲线方程式：解析法求解在中点处挠度的精确解：解析法求解在中点处挠度的精确解：子域法子域法在域在域 内内 权函数形式：权函数形式：10在域在域 外外 数学概念：将物体的连续域分成多个子域，保证试函数在各个子域上数学概念：将物体的连续域分成多个子域，保证试函数在各个子域上满足控制方程式的要求。可得到满足控制方程式的要求。可得到n
8、个有待定参数个有待定参数ai的代数方程，最后求的代数方程，最后求解之。解之。消残方程：消残方程：例题：求解挠曲线方程例题：求解挠曲线方程Lq完全域：完全域：设试函数设试函数待定参数待定参数2个，分两个子域列方程，个，分两个子域列方程，、消残方程：消残方程：得：得：子域法与配点法的区别及注意事项子域法与配点法的区别及注意事项配点法在指定点满足控制方程；而子域法是在各个分域内配点法在指定点满足控制方程；而子域法是在各个分域内 满足控制方程满足控制方程注意注意子域法设定试函数时可以采用子域法设定试函数时可以采用全域可设定一个连续的试函数；或者不同子域设定不同的子函数全域可设定一个连续的试函数；或者不
9、同子域设定不同的子函数但必须保证在子域公共边界上满足试函数连续条件。但必须保证在子域公共边界上满足试函数连续条件。最小二乘法最小二乘法权函数通过在域内对残值求平方积分，且使其达到平方意义下权函数通过在域内对残值求平方积分，且使其达到平方意义下的最小条件获得的函数。的最小条件获得的函数。消残方程：消残方程：极值条件极值条件权函数表达形式权函数表达形式例题：求解挠曲线方程例题：求解挠曲线方程Lq设试函数设试函数待定参数待定参数2 2个个为待定参数为待定参数迦辽金法迦辽金法相当常用的一种方法，取权函数为试函数本身。相当常用的一种方法，取权函数为试函数本身。设试函数设试函数权函数权函数消残方程消残方程
10、qOylx举例求挠曲线方程举例求挠曲线方程设试函数设试函数满足力及位移边界条件满足力及位移边界条件消残方程消残方程将下式代入得：将下式代入得：得：得：矩量法矩量法权函数形式为幂指数。权函数形式为幂指数。一维指数：一维指数：二维指数：二维指数：一维指数的消残方程一维指数的消残方程Lq举例求挠曲线方程举例求挠曲线方程例题：求解挠曲线方程例题：求解挠曲线方程设试函数设试函数待定参数待定参数2 2个个此时需要两个求解参数方程，需要用一维中两项指数此时需要两个求解参数方程，需要用一维中两项指数消残方程式消残方程式显然设定的试函数对计算会产生很大影响显然设定的试函数对计算会产生很大影响影响精度影响精度积分
11、计算的难易程度积分计算的难易程度2.4一般常用试函数一般常用试函数多项式。以幂级数形式表示的单重或多项式。以幂级数形式表示的单重或 双重的幂级数；双重的幂级数；三角级数；三角级数；样条函数；样条函数；梁函数；直梁自由振动的振型梁函数；直梁自由振动的振型2.5加权残值法在薄板问题上的应用加权残值法在薄板问题上的应用薄板弯曲的基本方程及边界条件：薄板弯曲的基本方程及边界条件：力的平衡条件：力的平衡条件：边界条件：边界条件：简支边：简支边：固定边：固定边：自由自由边：边：一般较复杂的弹性问题求解，需要进行一般较复杂的弹性问题求解，需要进行以下工作：以下工作：（1）计算中的无量纲化问题）计算中的无量纲
12、化问题（2）试函数的选取问题，试函数满足微分方程及边界条件的情况）试函数的选取问题，试函数满足微分方程及边界条件的情况（3）控制方程的确定）控制方程的确定（4）配点的选取）配点的选取（5）控制方程的矩阵表达形式）控制方程的矩阵表达形式（6）具体求解计算）具体求解计算2.5加权残值法的应用加权残值法的应用2.5.12.5.1最小二乘配点法解薄板弯曲问题最小二乘配点法解薄板弯曲问题无量纲化无量纲化对结构的对结构的长度量纲长度量纲进行无量纲操作进行无量纲操作无量纲化后的物理量：无量纲化后的物理量：挠度挠度坐标坐标对对力的量纲力的量纲进行无量纲操作进行无量纲操作分布载荷：分布载荷：选取试函数选取试函数
13、无量纲的试函数无量纲的试函数无量纲参量下的内部力的平衡条件无量纲参量下的内部力的平衡条件试函数的特点：试函数的特点：不满足内部里的平衡条件、也不满足边界条件不满足内部里的平衡条件、也不满足边界条件.内部残值内部残值边界条件：边界条件：简支边：简支边：边界残值：边界残值：固定边：固定边：边界残值：边界残值：自由自由边：边：边界残值：边界残值：最小二乘配点法板的弯曲问题最小二乘配点法板的弯曲问题配点的个数配点的个数配点个数与选定的试函数含有的待定参数的个数相等配点个数与选定的试函数含有的待定参数的个数相等配点的位置配点的位置在板的内部选择一定数目的配点，将其坐标代入内部残值式；在板的内部选择一定数
14、目的配点，将其坐标代入内部残值式；在板的边界上也选定一定的点，将其坐标代入边界残值式；在板的边界上也选定一定的点，将其坐标代入边界残值式；对残值式进行整理形成矩阵表达的残值公式对残值式进行整理形成矩阵表达的残值公式求残值平方和的最小值，得求解待定参数的矩阵方程：求残值平方和的最小值，得求解待定参数的矩阵方程：当选择的试函数满足力的平衡条件或边界条件时，矩阵阶数可降低当选择的试函数满足力的平衡条件或边界条件时，矩阵阶数可降低减少计算的工作量。当试函数具有正交性时，可提高计算精度。减少计算的工作量。当试函数具有正交性时，可提高计算精度。举例：利用切贝雪夫正交多项式的最小二乘配点法解薄板弯曲问题举例
15、利用切贝雪夫正交多项式的最小二乘配点法解薄板弯曲问题何谓正交多项式、正交多项式的特点：何谓正交多项式、正交多项式的特点：若最高项次的系数若最高项次的系数 的的n次多项式次多项式 满足：满足：称该多项式序列称该多项式序列设设为待求系数；为待求系数；和和为切比雪夫多项式。为切比雪夫多项式。在在 上带权上带权 n n次正交。次正交。在区间在区间 上带权上带权 正交正交采用切比雪夫多项式为试函数，可减小工作量，收敛速度较快。采用切比雪夫多项式为试函数，可减小工作量，收敛速度较快。切比雪夫多项式在数值逼近的领域内应用较广切比雪夫多项式在数值逼近的领域内应用较广在选点上可采用在选点上可采用均匀配点法均匀
16、配点法 正交配点法，即切比雪夫配点法正交配点法，即切比雪夫配点法切比雪夫配点：以切比雪夫配点：以 为配点（插值点）为配点（插值点）坐标的方法坐标的方法.最小二乘配点法还可应用于其它各种类型的问题：最小二乘配点法还可应用于其它各种类型的问题：如：如：圆板、三角形板、梯形板、开孔薄板等形状复杂板弯圆板、三角形板、梯形板、开孔薄板等形状复杂板弯 曲问题。曲问题。这类板与我们以前经常遇到的矩形板弯曲问题不同的是：这类板与我们以前经常遇到的矩形板弯曲问题不同的是：坐标为极坐标下的问题。控制方程则采用极坐标表达的坐标为极坐标下的问题。控制方程则采用极坐标表达的 力的平衡方程式、边界条件。力的平衡方程式、边界条件。弹性薄壳的弯曲问题。弹性薄壳的弯曲问题。矩形薄板的大挠度变形问题矩形薄板的大挠度变形问题 板壳极限分析问题板壳极限分析问题 弹性柱体的扭转问题弹性柱体的扭转问题
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