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1、第二节 数列的极限 一、 数列极限的定义 二、 收敛数列的性质 返回 序 北 丽 沿 娩 好 咀 吠 赔 搪 幼 蒙 甫 斩 钧 摹 酣 霜 沂 窍 倘 念 鞘 仓 霸 卖 雏 贩 扣 致 棕 寡 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 一、数列极限的定义 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 概念的引入 姐 邀 岂 糯 帮 宠 打 珊 汕 尽 缕 篱 唾 油 人 仑 路 蜕 阜 退 曲 圃 再 贺 责 饵 泌 腮 沪 国 支 窃 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 拘 俭
2、闯 才 索 姥 羊 椰 浇 砰 嘉 仇 软 弹 族 靡 劲 度 寄 洛 翔 蛔 斧 慈 斧 冗 蓬 刽 捞 壕 馋 旷 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 数列的概念 定义:如果按照某一法则,对每个 ,对应着一个确定的 实数 ,这些实数 按照下标n从小到大排列得到的一个 序列 就叫做数列,简记为数列 . 数列中的每一个数叫做数列的项，第n项 叫做数列的 一般项. 例如 吏 俄 松 宣 杨 籽 沸 裳 体 阵 讹 紫 匣 梆 疮 鼠 酒 毒 占 涕 晦 雁 砚 迢 戌 瓤 盅 拓 榆 鼻 笼 亦 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看
3、作一动点在 数轴上依次取 2.数列是整标函数 但 冯 究 迫 鞍 茄 凹 栓 签 懊 屏 择 收 谰 航 骄 席 棋 啮 葡 凡 茧 远 琴 怔 牙 治 奠 缚 惦 苑 躲 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的 数值?如果是,如何确定? 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过观察: 当n无限增大时,无限接近于1. 数列的极限 观察数列 当 时的变化趋势. 鸦 恬 旺 凄 乓 睹 矮 杖 猪 炯 隆 骄 辩 懦 伍 蛆 佰 州 逆 隐 堪 仙 艰 烯 夸 些 因 诡 掌 妖 谅 予 二 节 数 列 极 限 二 节
4、数 列 极 限 斩 狡 导 远 漳 跃 各 赘 稚 笑 中 帛 慨 太 贼 皮 氦 茅 滥 蜘 胸 迪 主 娶 勒 剥 棚 猩 冻 剥 请 鸡 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 注意： 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 1.具有任意给定性，它是描述 与 的无限接近程度. 2. N 与有关，且不唯一. 父 澈 渊 签 创 商 厕 殃 桌 疙 嫩 越 允 凸 枚 末 服 壤 届 束 置 萧 戒 朵 伪 扣 廊 白 诫 舅 嚼 润 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 几何解释: 当 时,所有的点 都落在开区间 ,只 有有限个(至多只有N个)落在这区间以外. 其中任给的或
5、每一个;存在或至少有一个. 定义: 使 时,恒有 数列极限的定义未给出求极限的方法.定义注意： 嗽 骇 毖 敛 嘶 耶 眩 妆 骸 每 阴 碎 驻 霸 恋 勤 析 逢 陋 斯 筒 宅 岂 徒 胁 防 一 瓣 蚁 猖 聂 瓮 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 证 例1 证明数列 的极限是1. 为了使小于任意给定的正数只要 或 所以,则当 时, 就有 即 烁 盔 殉 桶 蕉 沁 终 腑 烩 头 备 挝 忧 扎 贬 宛 了 两 庙 论 垄 败 寺 芯 葫 隧 堆 了 悯 比 婚 递 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 例2 已知 , 证明数列 的极限是0. 证: (设 ),
6、只要 或 不等式 必定成立. 所以,取则当 时, 就有 即 面 寡 戴 饰 躬 稀 弓 嫌 勤 拴 佐 索 褒 胸 违 结 用 尔 唇 仿 淮 钎 蜕 嘎 聪 堰 长 捎 本 漠 揣 滩 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N, 但不必要求最小的N. 证(设 ), 例3 设证明等比数列 的极限是0. 要使只要 取自然对数,得 取则当 时, 就有 即 返回 为 打 纂 良 揽 嘘 据 纷 嗡 没 膏 丘 腾 造 悉 苟 门 卉 剂 亢 惨 硅 跪 镀 跌 哭 巧 吱 幕 得 咱 门 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 二、
7、 收敛数列的性质 定理1(极限的唯一性) 如果数列 收敛,那么它的极限唯一. 故收敛数列极限唯一. 证 用反证法. 假设同时有且 由定义,取 取 使得当 时, 恒有 (2) 当 时,恒有(3 ) 当 时, (2)式及(3)式会同时成立. 但由(2)式有 由(3)式有 这是不可能的. 匙 稽 驹 呵 驳 羔 溜 锐 裂 黍 守 搔 赖 丹 涪 臼 瘪 诉 瞥 弊 墅 敲 富 蛇 嘶 掌 周 滔 斩 飘 蓝 弗 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 例4 证明数列是发散的. 证 如果这数列收敛,根据定理1它有唯一的极限. 设 由数列极限的定义 , 对于 则当 时,成立; 即当 时,都在开
8、区间内. 因此这数列发散. 但这是不可能的, 因为 时,无休止地一再重复 取得1和-1这两个数,而这两个数不可能同时属于长度 为1的开区间 内. 议 首 而 环 猫 糕 坠 旬 铺 诀 锄 闷 党 屠 甚 渡 卧 乃 圈 逆 邹 贼 溃 眠 壳 弃 壹 嘱 桓 聋 跟 亲 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 有界性 例如,数列有界无界数列 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列 收敛,那么 数列 一定有界. 蚤 账 闻 难 遮 郧 必 转 抬 斩 酱 仆 琴 睹 日 钮 沉 洲 长 浴 鹰 肮 驹 逾 毫 涵 懊 广 竿 野 汞 耘 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 证
9、 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 由定义,对于 则使得当 时恒有 于是, 当 时, 取 故数列 是有界的. 瞅 坚 煽 斑 儿 交 方 触 烫 澈 计 卞 彻 鳞 跺 五 弟 废 共 产 截 枝 丙 孽 绢 灵 曹 翅 胸 敲 优 蒙 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 证 就 的情形证明. 由数列极限的定义, 对 当 时, 有 从而 定理3(收敛数列的保号性) 如果 ,且 (或 ),那么存在正整数 ,当 时,都有 (或 ). 顿 抵 蒂 幸 慨 珍 窿 水 卧 毫 弧 市 葡 塑 倾 铲 秤 尤 喧 伍 镑 盔 寺 侯 铀 壤 弹 栋 哲 败 毡 蔗
10、 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 推论 如果数列 从某项起有 (或 ), 且 ,那么 (或 ). 证 设数列 从第 项起,即当 时有 . 用反证法: 若由定理3知, 当 时, 有 取 当 时, 按假定有按定理3有引起矛盾. 所以 楚 甚 椿 检 挝 矫 涉 谐 桂 童 冲 轩 垮 貌 窄 杨 邹 砚 吐 挖 挫 妻 须 懦 许 卡 陵 橇 封 拿 袭 逸 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 子数列的收敛性 注意： 例如， 所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项 在原数列xn中的先后次序，这样得到的一个数列称为原 数列xn的子数列（或子列）. 在子数列 中
11、，一般项 是第 项，而 在原数列 中却是第 项，显然， 尚 均 荧 卖 船 凹 动 簇 坊 粳 丸 看 葱 膜 崖 旋 征 敖 镭 间 拘 志 渭 伐 器 堆 乡 泽 窗 信 热 辫 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 定理4(收敛数列与子数列间的关系） 如果数列xn收敛于a，那末它任一子数列也收敛,且极 限也是a. 证毕 证 设数列 是数列 的任一子数列. 使 时, 恒有 . 取 则当 时, 激 痉 淀 焚 州 味 楔 骂 妓 瞒 方 覆 艾 犯 西 带 鲁 颁 争 隅 椭 怒 纵 偿 獭 帛 脂 恰 寻 福 渗 靴 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限 故数列 发散. 证：因为当 时, 证明数列 是发散的. 返回 棚 乌 插 用 其 汾 唯 噶 碑 砰 漾 掷 取 予 舔 错 拖 钱 酝 坐 淬 欠 整 虹 煮 滋 咖 肛 疑 爪 熏 梳 二 节 数 列 极 限 二 节 数 列 极 限