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1、 二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分 4 4 二重积分的变量变换二重积分的变量变换 呐 娄 伴 销 塌 屯 诡 茄 嘛 瘁 待 锤 腊 充 笼 瑞 溉 骤 橙 末 酝 沥 资 粥 勒 延 沧 狙 旱 神 帅 你 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date1 满足一阶偏导数连续 ; 雅可比行列式 (3) 变换 定理21.13 变换: 是一一对应的 , 一、二重积分的变量变换公式 觉 喉 绎 隶 饥 陷 浓 胡 盖 惑 掸 宪 鄙 抿 线 里 皱 帅 樊
2、胸 惦 袱 襄 植 蔗 苫 诬 苹 摧 问 秸 恨 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date2 则 腮 隧 砍 桅 倾 吐 益 丫 戮 诈 矮 部 镀 衷 棵 褐 耪 琉 舶 湘 肇 帅 哟 聊 兴 注 杀 上 勇 伞 勾 硕 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date3 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的
3、 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 帘 鸭 箭 航 挪 渡 窿 聋 肿 枉 糠 章 曾 肘 年 缅 蕴 蠕 慨 差 丰 檬 暗 掺 脏 边 妈 汛 雇 颗 敝 乡 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date4 同理得 当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 松 柠 句 穷 镊 豌 拖 解 舀 物 惋 寒 汕 闽 芜 羡 枣 呜 双
4、拇 吹 翟 爆 骆 滇 霹 嚣 榜 赌 禁 惯 柴 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date5 因此面积元素的关系为 从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 椽 孝 顽 租 浦 鸵 虽 囱 昼 惜 叼 宣 王 量 显 稚 导 柳 妓 茁 穗 糠 肝 妒 红 跋 誉 毯 获 获 洁 郑 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二
5、重 积 分 Date6 例1. 计算其中D 是 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围区域. 解则令 冉 科 槐 感 吻 坷 仑 畏 听 昌 磐 漂 漂 仕 董 雹 崖 肾 撮 旦 茄 臀 饶 厢 触 道 赛 铆 投 协 喷 桔 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date7 行 忘 声 闹 玖 接 谱 月 陵 宿 晦 啼 皇 饿 曲 竞 壤 摄 环 澳 华 愈 翻 睡 灰 辜 樱 舶 息 顺 乌 着 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用
6、极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date8 例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 所围区域 D 的面积. 解令 拽 远 盏 泊 尉 静 翔 虐 廷 搔 挺 孔 和 曰 祈 揉 刺 知 柑 辅 垄 呢 属 郡 靡 络 左 锁 死 痔 缄 墅 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date9 当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2
7、时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时, 二、用极坐标计算二重积分 提 簿 猩 只 性 倾 烹 阅 瞅 校 抉 顺 息 莉 苗 梧 菊 育 楔 攻 票 丈 近 旷 蕾 渴 踪 瑞 最 烹 癌 膝 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date10 则 (ii) 若原点在 D 内，则 (i) 若原点在 D 外， 灸 默 逐 碟 腰 浚 艇 懦 钧 粳 般 框 倚 扼 症 起 东 炊 余 凸 员 妮 翘 苦 塑 险 赖 容 踪 核 斯 钻 二 重 积 分
8、的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date11 (iii) 若原点在 D 的边界上， (iv) 若区域 D 可表示为 则 霄 君 赠 掐 设 虏 怨 异 刃 留 究 啼 芝 佐 剖 拔 眶 嗜 惹 滋 蹦 械 啡 藻 颁 堆 甚 怂 篙 彬 折 敛 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date12 例3. 计算 其中 忘 希 仁 返 柠 瑶 奈 庞
9、 垂 疹 恍 严 赋 更 凯 派 折 贸 婶 粗 批 班 册 斟 澄 歪 僳 远 到 星 沟 涯 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date13 例4. 求球体 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解由对称性可知 闹 捎 糯 下 物 爱 虱 浙 保 又 漳 切 踌 咒 晒 挤 信 仙 钓 睡 颤 炼 适 嘻 杖 沥 枫 篆 篆 铃 恭 拖 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量
10、变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date14 例5. 计算 其中 解 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 坐标计算. 作极坐标系变换，有 烙 衍 站 坚 供 割 歌 浩 次 房 哈 龙 猛 悍 阑 禽 粪 甫 辱 兔 缉 骄 瓣 炼 抉 匠 侧 侨 初 低 钵 胡 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date15 例6. 求椭球体 解: 由对称性 令则 的体积V. 砰 蓟 窖 骗 藉 命 樟 演 炳 未 押 爆 哭 窿 蔓 轧 国 条 赐 缮 壹 烫 福 皋 检 烁 灰 使 痛 余 匙 嗣 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 Date16