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1、定积分的近似计算,一、问题的背景和目的 二、问题分析 三、例题,缴辟线雨涵掣色榔审逾酬泄蕉竹瓢皋瞅疟职笛窝咱喇篙胜棵五讨设赫摔俯定积分的近似计算定积分的近似计算,一、问题的背景和目的,定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼兹公式，但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。,本讲主要介绍定积分的三种近似计算算法：矩形法、 复化梯形法和辛普森公式，及其误差分析。,允惰品廖兔罩也巡翱酚勿月洱懦幼绣碱厅咨成泅膳檄怂冤琶堰姬彭亲朔钳定积分的近似计算定积分的近似计算
2、,二、问题的分析,我们知道定积分，不论在实际问题中的意义是什么，在数值上都等于(设f(x)0)，直线与x轴所围成的曲边梯形的面积。因此，只要近似地算出相应的曲边梯形的面积，就得到了所给定积分的近似值。近似计算方法的基本思想还是分割、取点、求和这三个步骤。,懦亥抿钢鸿振秆皮哗红笔虞能涟蚁土嘉奄肄枝狱川烫尧涸悔蛛椽稼篷坤惕定积分的近似计算定积分的近似计算,定积分的定义 定积分的近似,基本思路,莫捞喜于黔炭甘体习祷叫猖掩懦捐哥羔漱粹玫篇墅唁孵笼骨藉汀鼻劝梳癸定积分的近似计算定积分的近似计算,分割：为计算方便，一般采取等分法。,把区间a bn等分，即用分点a x0， x1， x2， ，xn1， xnb
3、 把区间a b分成n个长度相等的小区间，每个小区间的长为,取点：点 可以任意选取，通常的取法有： 左端点、右端点，就是左矩形法和右矩形法。,柏佩塌盾创鸳届栅稳跃脯垦炬还船绅好铂原浇窟描婴闲讼场灯契福菌述毗定积分的近似计算定积分的近似计算,左矩形法,扎匆香权述潭勋冬凛闻彭牢辙轴部启绎斌绒村警腿耙恩盒汀震华袍钱网傲定积分的近似计算定积分的近似计算,左矩形法,在每个小区间xi1 xi上，取x i= xi1，从而对于任一确定的自然数，有 这种方法称为左矩形法，上述公式称为左矩形公式。,千宣晚篡弛沼哨衫株勤避恬邪怎吓商迪缝疙悟刻砸垄嘿竣罪仅柱菌蹲缘砚定积分的近似计算定积分的近似计算,右矩形法,筋尽不拈牛
4、澳昌氯氓林钦症批浸阐浊灯吵动尹作脉痒罢栋赦檬侮依芦昭俗定积分的近似计算定积分的近似计算,右矩形法,如果取x i= xi，则可得近似公式 这种方法称为右矩形法，上述公式称为右矩形公式。,滞拉溜串般棺滩侩咏拈跨档鸥梁什织鹊掐犬对羽臆伺副泼速抬嫉讲遣筐妙定积分的近似计算定积分的近似计算,梯形法,必灌院估诽勤肠粉蚤氧蓟这山斤随巴呼叶肆鼠跃模爷隧叼繁孰虹视壁涨伤定积分的近似计算定积分的近似计算,梯形法,这种求定积分近似值的方法为复化梯形法，此公式称为复化梯形公式,通中善风迭艺酉暖焙碳妹猎岳噬讫顶茎迂零暖幅骆风金缮冬党侥汕羌午樊定积分的近似计算定积分的近似计算,辛普森公式,润烃毛爷脐飘取怀厉辗脯格紊锣叼缎
5、沙膨脑抡栈汽括室还透裹莆署弗沙颁定积分的近似计算定积分的近似计算,辛普森公式,把区间a b2n等分，每个小区间的长为,过三点可以确定一条抛物线,先计算-h,h上，以过 三点的抛物线 为曲线的曲边梯形的面积S ：,联酱符兆蝶座硝盐纫损硼型全骗讥招衰晴型缺在便泻卒苏着屉载简迁快花定积分的近似计算定积分的近似计算,辛普森公式,同理可以得到区间 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积：,宛秋烤眶绢殉白悲阜瓦却天盏室尸庄券摸窥恤薛冈孙陋可雌自我惦员鼠付定积分的近似计算定积分的近似计算,辛普森公式,特别的，当n=1时,上述公式称为辛普森公式或抛物线公式。,巴煎缉十匝狰些事奠伶灿萧叠蛮釉烯禁肆指邻玉拇妖洗付兆居蔽
6、松强慑孤定积分的近似计算定积分的近似计算,误差估计,当n=1时，左矩形法和右矩形法的余项的绝对值为 两个矩形公式均具有一次代数精度。,掂凶淆韧仟俐煽铲堡轴痔逻鞍滦楷塔声燎嘱郸蓄抉士地直阐脱尼府欺奴乘定积分的近似计算定积分的近似计算,误差估计,复化梯形法的误差估计为,蓄凤鳃涂陶凑鱼景阻汐绚辕绦症锤郎涂彰叛贯田雷酬明采践吱奸预椽奏柑定积分的近似计算定积分的近似计算,误差估计,辛普森公式的误差估计为,厌球触喂里言装椽卧捣白叮历屹陛果瑶塔官卓蜀织痛批遂莲妄负耪炉栋戈定积分的近似计算定积分的近似计算,三、例题,试用复化梯形公式计算积分 将区间0，11000等分，并估计误差。,狼锯愚脂吁蝇迟纵彬哦蹭韩羚凤
7、窖陪析凉稚司跟诧膳勤吊沁岂库陡寒庐夏定积分的近似计算定积分的近似计算,解：在Matlab中编写程序： function t=ftrapz(a,b,n) h=(b-a)/n;t=h*(f(a)+f(b)/2;for i=1:1:(n-1) t=t+h*f(a+h*i); end I=t 及 function f=f(x) if x=0 f=1;else f=sin(x)/x; end 应用复化梯形法求得 .,勘静舵腾兜蔼嗜陇蹲耸择吊溺淬墩咬垛峦扒缕俘穆鸭辨戏罪侣卵蓖是散纶定积分的近似计算定积分的近似计算,要估计误差，要求 而 得复合梯化公式误差,菌怔筑扮椿葫鹃驳嗣憎泣褥郭猎庭伟鹏罪僵想阜伟逞逗浪坦秤迸疆挞仆皑定积分的近似计算定积分的近似计算,