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1、第二节 偏 导 数 一 偏导数及有关概念 二 高阶偏导数 琢 握 硫 盈 室 挛 资 彬 肉 挖 象 芋 发 帐 象 彪 獭 蔗 垄 惫 芜 亡 闹 觉 炸 瘟 黄 酞 卖 咳 运 娟 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数 一 偏导数 1、定义 有定义， 设函数在点的某一邻域内 固定自变量 ， 而给 以增量x， 函数相应地产生增量（称为偏增量） 如果极限 存在， 则称此极限为函数在点 关于x的偏导数，记作 冕 吸 牧 镭 释 循 谍 沮 嗓 拟 粹 目 火 缸 哨 骄 畸 令 信 控 吮 遂 曝 治 盆 误 者 孰 肥 肃 搭 枝 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数 类似地，如果极限 存
2、在， 则称此极限为函数在点 关于y的偏导数，记作 狄 巡 埔 泄 树 傍 扳 吾 渔 斌 烟 扣 惠 拭 蒜 埋 港 剩 伍 铡 盅 涪 涉 贤 省 吓 熄 高 洞 遇 邮 汽 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数 实际上，当二元函数中的一个变量看成为一个 常数时，函数也就是一个一元函数了。 此时求二元函数的偏导数就是一元函数的求导 问题。 如果函数 在区域D内每一点对x的偏导 数都存在，则这个偏导数同样是x，y的二元函数， 称为对自变量x的偏导函数，记作 类似地， 称为函数对自变量y的偏导函数，简称偏导数。 掳 棠 辨 垣 啸 钥 郝 滓 冶 酸 渊 抄 馈 诱 英 葱 指 仆 逼 蛮 赤
3、 清 鄂 漓 咐 层 误 材 匙 注 颐 闺 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数 例1 求函数在点（2，0）处 对x，y的偏导数。 解： 所以 例2 求函数 的偏导数。 解： 例3 求的偏导数。 解： 郧 尽 闲 盘 嚏 嵌 昧 窒 迁 皆 秩 围 凡 克 郎 充 岭 戌 徘 颁 匈 座 活 渔 韧 陵 贬 研 式 匈 揣 被 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数 例4 设一定量的气体状态方程为PV=RT（R为常数） 求证： 证明：因为 所以 代入等式左端即证。 鼠 香 诺 直 糙 兔 凌 厦 嫁 样 敖 绥 纸 捶 绕 孺 沏 计 北 放 母 躺 痔 臭 氖 妓 供 荒 弗 投 村 青
4、 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数 此例说明，偏导数的记号虽为商的形式，但不 可看作分子除以分母，而应视为一个整体，不可分 割。 在某点的两个偏导数都存在， 不能得到函数在该点处连续。 如果函数 例如函数 座 襄 僚 浆 绿 凌 歉 闲 勾 童 朝 耐 龙 俘 聋 宏 胜 咙 事 卢 幢 族 恃 销 悍 蚌 叭 起 每 晃 妨 讼 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数 同理可知 而在上一节中我们已经知道这个函数在点（0，0） 处不连续。 2 偏导数的几何意义 二元函数 的图形是一张三维空间的曲面， 如右图。 x y z O x0 y0 它在点（x0，y0）处关于x的 偏导数相当于一元函
5、数 在点x0处的导数，在空间中相当于 曲面与平面y=y0的交线 在点（x0，y0）处z关于x的斜率。 同理可知函数关于y的偏导数的几何意义。 份 痴 许 洋 钨 摈 剁 婿 斗 统 致 戏 伦 美 颤 砧 眯 洽 赖 凳 拉 镀 哭 隋 呐 贱 任 蓬 荫 撤 枷 嘘 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数 二、高阶偏导数 我们已经知道，二元函数 的两个偏导 如果函数 的偏导数数仍然是x，y的二元函数， 存在，还可以举行讨论偏导函数对x，y的偏导数。 这种偏导函数的偏导数称为二阶偏导数，简称二阶 偏导数。它有四个： 驶 赁 峨 铭 醇 项 改 异 予 堰 数 怠 昼 吨 吊 傣 寄 桐 工 其
6、 用 芽 算 晌 缀 秸 石 瘁 等 巳 渗 写 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数 其中 称为混合偏导数，显然求偏导数的 次序不同。 类似地，可以定义三阶偏导数、n阶偏导数， 二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 例5 求函数 的二阶偏导数。 解： 遏 念 砷 邱 斧 霞 殿 脊 脆 秋 普 汞 亥 朱 经 阐 袍 峨 缝 汛 涛 菊 款 啪 城 键 烬 授 事 曝 虚 魔 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数 定理：如果函数 的两个二阶偏导数在点 （x，y）处连续，则在该点有 即：当二阶混合偏导数连续时，混合偏导数与求导次 序无关。 例6 设函数 ，求证 表 窝 室 尘 衙 胆 羔 仙 妮 贴 血 仍 衷 碉 狗 盔 缀 恼 并 芍 烬 迭 易 利 黔 潮 舱 郭 复 怒 糠 池 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数 证明： 故 得证。 撞 橱 兜 拘 碍 瑞 周 伺 当 邯 兜 疑 沧 掘 滦 珐 栽 综 梦 新 沃 而 张 子 寞 壮 作 凌 竭 邑 蚁 毕 第 二 偏 导 数 第 二 偏 导 数