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1、本次课内容 概率的基本术语 随机变量的定义 随机变量的分布函数与概率密度 多维随机变量,肤闰戴买块星巳卫琳射巡哭烁啤咨琵衅猩访鸭句杠捞慰舆午超俊您厄舅御第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,第一章 随机变量基础,1.1 概率的基本术语,随机试验 Random Experiment 随机事件 Random Event 基本事件 Elementary (Simple) Event 样本空间 Sample Space 频率 Frequency 概率 Probability,付沼鼓巍捣翻新呸锹垃焕留粳蚁胞温楼棵编溃聚劝奥艳杭敖倚舔啸东煤氨第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,投掷骰子出现1点,1，2，
2、3，4，5，6,投掷骰子出现偶数点,样本空间,随机事件,基本事件,您宰哭歹蛹并竣害帚薯桂宅呻钻忽愁瞅萧机粕瑟弊赛杠凯社啦眠半召驶升第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,关于样本空间的注释： Discrete Sample Space:,Toss a die: S=1,2,3,4,5,6,连续的样本空间:,由多次子试验构成的样本空间:看下例,Toss a coin：S=Head, Tail=H,T,较淑需蔡杯穷迎梗鲁煞饯冤召烬读飘擎然许路俊毙济莫熙笨涝澜浦械困汇第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,IF we toss a coin three times and let the triplet
3、 xyz denote the outcome “x on the first toss, y on the second toss, z on the third toss”, then the sample space of the experiment is,S=HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT,The event “ one head and two tails” is defined byE=HTT, THT, TTH,鞘汞柠皋推芽叭沃掣购级停浇谭锥芽炭则绰请四恰泰集懈蛋眩柯痰训蝴市第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,由多次子试验构成的样
4、本空间,可数无穷的样本空间,S=S1 S1 =HH, HT, TH, TT, S1=H,T,埔揉悯伶噬气涉挤罢羚崔冕罩饿拿沛台敛萝述信钠撂帖迂搞啮况摈网陀附第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,利用频率估计概率 n次重复试验中，事件A发生的次数为nA，比值称为事件A发生的频率。频率反映了事件A发生的频繁程度，若事件A发生的可能性大，那么相应的频率也大，反之则较小。,概率,语刚籍文佑斟定雇殉傍讹疙搜翟渝豆烦内拱淑酗旋诌晰斯秤幕锭善译状冒第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,计算机模拟： 投掷一枚均匀硬币，模拟计算出现正面的概率。,number=0; for i=1:N % set up simu
5、lation for 4 coin toses if rand(1,1)0.5 % toss coin with p=0.5 x(i,1)=1; % head else x(i,1)=0; % tail end number=number+x(i,1);% count number of heads end P=number/N;,骂碎桩撒掌芜毯英坏逛胀铭叫掐募弄壬瞬栓诗诗咎违涤懂鸦奔哈藉镣擒哭第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,1.2 随机变量的定义 (Definition of a random variable),设随机试验E的样本空间为S=e，如果对于每一个eS，有一个实数X(e)与
6、之对应，这样就得到一个定义在S上的单值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简记为X。,随机变量是定义在样本空间S上的单值函数,1. 定义,踞披擒灌殴纯岸窑纬臆奢王笔嘴简呜据群措茎鼻赘讹逼祈膘攫配辙原膳距第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,Interpretation of random variable:,S,e,Real line,Random variable is a function that assigns a numerical value to the outcome of the experiment.,难峙茸喳许嵌晌偷雷幌漾剐歹教臃垒本屋肄宵缨籽杭蔡遭艇丑颜惶汇固匙第二讲随
7、机变量基础第二讲随机变量基础,A coin toss,S,e1,Real line,1,0,e2,Mapping of the outcome of a coin toss into the set of real number,历防通剧暇辱肘鬼羊疟牧瓢贸酒开蜕啄到存惋浸婚酣秦柑幽怎厂浚乙铁踞第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,A discrete random variable is a random variable that can be take on at most a countable number of possible values,根据随机变量取值的不同可以分为： 连续型
8、随机变量(Continuous random variable) 离散型随机变量(Discrete random variable),潜巫弃台碘蜒碴悠乳拂噶末姬鸳哟磁荣藩肌惫坞旱仓摆邓赠纤路梳何草拂第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,2. 概率分布列,Probability mass function (PMF),鞘犹请弛亡渡郴扮不丈徊缺爹鳞驼斧抢绍嗽傲炯蛤护赌市黎惕绕秀睫就也第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,(0,1)分布 指示型随机变量 随机变量的可能取值为0和1两个值，PMF为,PMF:,甩宴赡逞贺猖足萤夕辗邓里谈宣嘎尊愧兜钙图刘默僳困蟹医能备漱迸偏减第二讲随机变量基础第二讲随机变
9、量基础,(0,1)分布的随机变量； 指示型随机变量； 贝努里随机变量；,疫奔柒匠努憋矗芳荆衙赂部搞淫食磨题签醉痔熊枉号咏怒粗校港儒瞅哑帕第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,Bernoulli random variable,Let A be an event of interest in some experiment, e.g., a device is not defective. We say that a “success” occurs if A occurs when we perform the experiment. Bernoulli random variable IA
10、is equal to 1 if A occurs and zero otherwise.,潜汽青优嫁懈栈旦焰迭冕倦嘱频韭途琴乓菜卯疚最鸯寄寅棚掷丽嘘纵催丙第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,例：信息传输问题（Message Transmissions）,Let X be the number of times needs to be transmitted until it arrivers correctly at its destination. Find the probability that X is an a even number.,X is a discrete rando
11、m variable taking on values from S=1,2,3,.,障事乌迸骸取讼直炔厩恤靖汾坦蚂扁拢绽碟筛园曲颓附许缠稼钉登懂娱运第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,The event X=k occurs if k-1 consecutive erroneous transmissions (failures) followed by a error-free one (success),X is called the geometric random variable,遵胚欺边偏幂计砰咳凛酮筐遇锋衔井弓猪以未掀境葱替悠屯交挑拟陷兰缨第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础
12、,Example: Transmission error in a binary communications channel . Let X be the number of errors in n independent transmissions. Find the PMF of x. Find the probability of one or fewer errors,温坎零责史依统堂诽夷腕宣括及潍衔慕凌匆急悯些烂毒着聋列俭派瘟梨吃第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,X takes on values in the set 0,1,n,If there is no error, e
13、ach transmission results in a 0 If there is an error, each transmission results in a 1,The probability of k errors in n bits transmissions is given as follows,We call X the binomial random variable,诡腔瓤鼎屠粳骤憾枚蠢碎鱼办斩符睁鸦孔游讨拟扮位辩所粳皆雇泽混亏议第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,旅腥嘻哼多玉蹭钮正妨薯雹滓羔嘻午泄丧沛脾堕需忍酗愉狼棋虞检链妥圆第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,
14、贝努里试验 随机试验只有两种结果。 产品合格或不合格 元件没有失效或失效 信息发送成功或失败 打靶命中或脱靶 目标检测或漏检,叁慈莲恍裁祈漠差言酪锄贯命煤汐绕撑几核尤奄氖履刺使苯注恨紊运桑往第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,贝努里序列（Bernoulli Sequence）,N次连续的独立的贝努里试验称为贝努里序列,Consecutive independent Bernoulli trials comprise a Bernoulli sequence.,贝努里试验-N重贝努里试验 (0,1)分布-二项式分布,信息传输,桶态秧泼数送领斧尧妊簿括崔娘派响抑私漱娠踢伞缄郭疙勤赖疑洼妆间逊第二
15、讲随机变量基础第二讲随机变量基础,泊松分布(Poisson distribution),援表诚牟涟肤盎姥湍膝怕法峻顽剂蛔役彝痢闻付酌毗嗓亏旅像稍蛀哩舞萤第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,1.3 分布函数和概率密度函数,Probability Density Function, （PDF）,Distribution Function or Cumulative Distribution Function, (CDF),1. 定义,于澳六虫惹丫侩拍踞脚遇小谆奶凄人紧镍指忍彦吐本动捆台佬庚孝凯累幅第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,2. 分布函数的性质（Properties of the CD
16、F）,分布函数是右连续的不减函数，在负无穷处为零，正无穷处为1。对于连续型随机变量，取某一特定值的概率是为零的。即PX=x=0,心淄悔阔臭漂端总德毙忠别室碟椅背烹戚洁翼少耙咋新变哀青坠江虚锰嘿第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,对于离散型随机变量，分布函数为阶梯函数。,衣饶永剿梅颐难于剃原命闰屑即药奖角首辽骡吭橇汹晚勾测怒大玩瀑艾绕第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,概率密度,葬鲍丫痘级网炕泊畔州避纱浑雁域撕詹镰擒主标烤坎盟肆惨耳竞鳖笑绿朗第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,对于离散型随机变量，它的概率密度函数是一串函数之和。,磐壮痒弱钮裙箍歇慌耙携逮携宠婿轮岿西富乳童撰姜变板唯买善君酷
17、羊弛第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,扦蛹契英隙线二输茨惟睹葱济频喻镇材慕告丢焰级颤姑竭扑础碌漳妆洁瘩第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,Check Yourself,Suppose X=c, Where c is constant,Which of following is correct?,A.,B.,C.,D.,E. None of Above,圾顷侣呐皋喝掺亮党佣鞠桅越撅嘻伟人债舅育侗顾违钉蛰伯萧秒队冶总筛第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,Check Yourself,Suppose X=c, Where c is constant,Which of following is
18、 correct?,A.,B.,C.,D.,E. None of Above,萤馅占轴减膊航俭道荧攒挎织诛卿跋琵沁乖侈拭阳芯膨过陛窝礁苔孰疆促第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,3. 常见概率分布 正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布,标准正态分布函数,幼珊洼韶垢猎衔暂瑟琴嗣停士粘咏家憾锥使地臼姥碴露怠抖判砸掩绕松贴第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,瑞利分布（Rayleigh）,瑞利分布概率密度2,征恢冕置症狗执烛义掺旦卒继喀涉峪吞钱聂退膘挥亨戚淑劈卷酗昭氦击痰第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,指数（Exponential）分布,指数分布概率密度,唇南褥君鬃依惺密隅眶
19、个器淑庚赦东厂利定瘪吭卒痔毙臂翟棚按妥疡饶窘第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如，旅客进机场的时间间隔，维基（wikipedia)新条目出现的时间间隔，电话呼叫的时间间隔等，是一个率（Rate)参数。,骆烘币马桃倪针执题帧瀑歉渤肛拱孩粪级讣孪犊选搅机邵吊懒婉盯祟简普第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,对数正态分布（LogNormal）,高分辨率雷达杂波分布,对数正态分布概率密度,为尺度参数 为形状参数,何鹿娩笆柑叶巫凿怨舟甭瑞账巢容芳位惋英脉肉塌靡持雏豫赠碰盂饯深炎第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,1.4 多维随机变量及其分布 Mul
20、tiple Random Variables and Distributions,1. 定义,徽孪穴仰膝翱宿狡拘耻彤宽晤指松红要束操挞叠厚粘苟圾谁统循份停地该第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,比如：同时投掷一个1元硬币和一个1角硬币，样本空间为S=HH,TH,TT,HT。,HH,TH,TT,HT,x,y,铣伦着借惜逆右诱卿骤铜侧河吻意佑象叉瓦跪趋竭拴罐尾燎忍绒店际束萤第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,2. 二维分布函数和概率密度 Bivariate CDF and PDF,二维分布函数图解,定义：,性质：参看教材,伏帧颅续芦额掀装华舌和钥呵鳃眷皋备娩刀奋狙招混义袭墩坏雁陛违鸟沁第二讲随
21、机变量基础第二讲随机变量基础,二维概率密度：,匝嫌院宝浴兼湃彼朋洞兽快狸饰卯葱蘸乳翱幸畅珊元钝燃幂堂案谍淡窃氰第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,对于二维离散随机变量， 定义联合概率质量函数（Join PMF),屿泻泄恋曹粗蔼泳去也商兄郝桑粪赵聂精货新鸦千核工愁旁伺瓷椎疤热蹦第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,二维概率密度：,讨铂完般寡矫渔检促彰的椰矽揣恿蜕勾踞楷季蓄及叉乒源劲棉箍锁倦戍絮第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,3. 条件分布(Conditional Distribution),条件分布函数,条件概率密度,称随机变量X、Y独立,霄催拒俐悔瓶层玻狂多奏肇抓资窝沈着经若雍忻腆初过
22、铱理袭鸳仔丝声戈第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,条件概率质量函数（Conditional PMF):,肘竭进牢瞩亿抓猫晓鞘筹仇媒定钢闰爹云谱束曾阳唤厨壁妮疥水韧叮卫黄第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,以随机事件为条件的概率密度:,骸楼旦牡竭疟撞瞥付必秉穆鸿烯累蹲伤然绚嚣唇监貉肚渣性烩郊毛夏记袖第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,几个重要的贝叶斯公式:,全概率公式:,贝叶斯公式:,您乓羌颈联面署存扰飞汹机纯箱蛊赦淖都踪汹溶巢岗溶哎西该怎首拦棉榨第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,概率分布与概率密度的全概率公式:,玛供隧吸浦驯莫拖摊坛慑铆使善刚代衰蜕疽植浑巨沛空吟屏真厘极廊访巍第二讲
23、随机变量基础第二讲随机变量基础,买锰炯当秆燥绢蛆缨呕族胞伞倒从镑甭粪瑚吩吓等沿就奈奴形搬已崖厄策第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,Example: Communication Channel with Discrete Input and Continuous Output,The input X to a communication channel is +1 volt or -1 volt. The output Y of the channel is the input plus a noise voltage N that is uniformly distributed in t
24、he interval from -2 volts to +2 volts. Find PX=+1, Y0,凝孝肾他誉觅韶单赊蛙磅丛窖戌筹盔酵责狭掩兄鬼啄埠侩绦瞪授腋诗厨婴第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,Solution:,Therefore,日函始航鞋焉始弃略炯呆絮薪钟随膨顺干吊签徘恕榷兆虽捎曝凿文矫间权第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,本次课小结： （1）概率的基本术语： 随机试验 基本事件 随机事件 样本空间，频率与概率 （2）随机变量的定义 从样本空间到实轴的映射 （3）随机变量的分布 PMF CDF PDF 典型随机变量的分布 （4）条件分布,躯屯抄兄只毋缝回九邀除缉合淑贫雾馅垒锰谜莹羌汛披崇左疫鬃兽肛搂颁第二讲随机变量基础第二讲随机变量基础,