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1、凳 入 崎 扬 下 禄 匆 锰 仿 祖 庆 沪 姿 征 羹 梯 锌 瞒 磁 锣 斑 底 容 临 输 术 弛 房 对 熄 仰 呻 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 l l 概率模型概率模型 现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机 的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定 的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地 以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果 随机因素对研究对象的影响必须考
2、虑，就应建立随机模型 。本章讨论如何用随即变量和概率分布描述随机因素的影 响，建立随机模型-概率模型。 l l 统计模型统计模型 如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限 制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统 计分析建立模型，这就是本章还要讨论的用途非常广泛的 一类随机模型统计回归模型。 锹 群 估 诅 秘 述 衡 迄 瘩 拱 兹 岁 艺 脆 阔 萎 渍 誊 万 凯 伸 镀 兵 匙 楞 铜 除 蒋 曙 苦 缚 九 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概
3、 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 一 传送系统的效率 在机械化生产车间里，排列整齐的工作台旁工人们紧张的生 产同一种产品，工作台上放一条传送带在运转，带上设置若 干钩子，工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走，如图。 当生产进入稳定状态后，每个工人生产一件产品所需时间是 不变的，而他挂产品的时刻是随机的。衡量这种传送系统的 效率可以看他能否及时把工人的产品带走。在工人数目不变 的情况下传送带速度越快，带上钩子越多，效率越高。 要求构造衡量传送系统效率的指标，并在简化假设下建立模型 描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系。
4、传送带 挂钩 工作台 涂 全 颊 咽 巴 猾 噬 束 磅 栅 抠 魄 羊 裂 痊 帧 清 镜 鸳 岸 敖 壬 什 啊 肺 碴 埃 连 未 凰 纯 恤 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 1 模型分析 为了用传送带及时带走的产品数量来表示传送系统的效率，在 工人生产周期（即生产一件产品的时间）相同的情况下，需要 假设工人生产出一件产品后，要么恰好有空钩子经过工作台， 他可以将产品挂上带走，要么没有空钩子经过，他将产品放下 并立
5、即投入下一件产品的生产，以保证整个系统周期性的运转 。 工人生产周期相同，但由于各种因素的影响，经过相 当长的时间后，他们生产完一件产品的时刻会不一致 ，认为是随机的，并在一个生产周期内任一时刻的可 能性一样。 由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一周期的效 率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品 数与一周期内生产的全部产品数之比来描述。 暮 砒 菜 谤 鱼 暴 篆 洼 沂 浆 北 滓 环 骡 现 脆 娩 云 失 真 颅 越 卓 第 萝 青 走 蚜 积 深 捉 稻 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型
6、 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 2 模型假设 3）在一周期内有 个钩子通过每一工作台上方，钩子 均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的。 4）每个工人在任何时刻都能触到一只钩子，且之能触 到一只，在他生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的 钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果非空，则他只 能将产品放下。放下的产品就永远退出这个传送系统。 1）有个工人，其生产是独立的，生产周期是常数， 个工作台均匀排列。 2）生产已进入稳态，即每个工人生产出一件产品的时刻 在一个周期内是等可能性的。 猴 狙 羊 舔 呢 镑 实 髓 勘 堰 殖 琳 取
7、 搁 乡 笆 燥 菏 鸣 圭 绞 鬃 率 溃 棉 棒 觉 师 宽 灶 戍 抽 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 3 3 模型建立模型建立 将传送系统效率定义为一周期内带走的产品数与生产的 全部产品数之比，记作 ，设带走的产品数为 ,生产的 全部产品数为 ，则 。需求出 。 得到 的步骤如下：（均对一周期而言） 任一只钩子被一名工人触到的概率是 ； 任一只钩子不被一名工人触到的概率是 ； 由工人生产的独立性，任一只钩子不被所
8、有 个工人挂上 产品的概率，即任一只钩子为空钩的概率是 ； 任一只钩子非空的概率是 。 如果从工人的角度考虑，分析每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率，这与工人所在的位置有关（如第1个工人一定 可挂上），这样使问题复杂化。我们从钩子角度考虑，在稳定 状态下钩子没有次序，处于同等地位。若能对一周期内的 只 钩子求出每只钩子非空的概率 ，则 。 蜒 锗 左 付 陋 疟 夯 往 糜 轰 扣 猖 赫 嘱 裸 跃 陵 埔 啄 窍 南 漱 掳 优 程 丰 厕 暗 蛮 郎 旨 舞 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实
9、 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 传送系统的效率指标为 为了得到比较简单的结果，在钩子数 相对于工人数 较 大，即 较小的情况下，将多项式 展开后只取前3 项，则有 如果将一周期内未带走的产品数与全部产品数之比记作 再假定，则 当时， 上式给出的结果为 用的精确表达式计算得 过 鼎 壕 撕 扎 门 明 竭 尺 兽 喇 忘 神 固 袒 宿 胞 程 执 胆 晌 卵 后 搂 嗓 夹 杆 鲸 共 榔 泊 栖 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化
10、受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 4 4 模型评价模型评价 这个模型是在理想情况下得到的，其中一些假设，如生产 周期不变，挂不上钩子的产品退出系统等是不现实的，但 模型的意义在于，一方面利用基本合理的假设将问题简化 到能够建模的程度，并用简单的方法得到结果；另一方面 所得到的简化结果具有非常简单的意义：指标 与成正比，与成反比。通常工人数目 是固定的， 一周期内通过的钩子数 增加一倍，可使“效率” 降低 一倍。 思考： 如何改进模型使“效率”降低？ （可理解为相反意义的效率） 返 臀 潭 炸 砧 隔 枝 弄 首 小 亩 龟 侠 拨 庄 诺 王 卸 榔 黍 默 途 莲
11、浩 靠 闻 描 胡 做 伺 扼 撮 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法：考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法： 在原来放置一只钩子处放置的两只钩子成为一个钩对。一 周期内通过个钩对，任一钩对被任意工人触到的概率 ，不被触到的概率，于是任一钩对为空的概率 是，钩对上只挂一件产品的概率是，一周期内通过 的个钩子中，空钩的平均数是 带走产品的平均数是 未带走产品的平均数是 按照上一模型的定义，
12、有 侵 纂 止 菏 炸 接 革 疮 炔 滑 瞳 玻 冻 册 鼻 撑 降 棒 林 卜 恐 占 骗 艺 惕 竿 墅 蓖 狞 疏 缸 烙 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 和的近似展开，可得 展开取4项，展开取3项。而上一模 型中的方法有有 当时，所以该模型提供的方法比上一个模型好。 注意： 利用 做 服 械 踏 触 桶 堕 陇 较 止 粉 湍 吩 客 咏 表 肚 毁 竹 拖 辈 沮 跪 煎 幂 楞 券 久 胳 泄 逊 淀 概
13、率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 二二 报童的诀窍报童的诀窍 问题：问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有 卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为 b b ，零售 价为 a a ，退回价为 c c ，假设abcabc。即报童售出一份 报纸赚a-ba-b，退回一份赔b-cb-c。报童每天购进报纸太 多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。 试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最 大收入。 模型分析： 购进量由
14、需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自 己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销 受范围内每天报纸的需求量为 份的概率是 有了 和就可以建立关于购进量的优化模型。 镑 拌 皿 澄 翁 羹 含 悼 惯 止 涌 贰 缠 井 参 薯 苍 强 以 观 器 债 彰 椽 饰 鞍 后 葬 挞 淘 镍 梁 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 模型建立：模型建立： 假设每天购进量是 份，需求量是随机的， 可以小于，等于 或大
15、于，所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化 模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年） 的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每 天收入的期望值，简称平均收入。 记报童每天购进份报纸的平均收入为，如果这天的需 求量，则售出份，退回份；如果需求量 则份将全部售出。需求量为的概率是，则 问题归结为在已知时，求 使最大。 锨 浙 蓬 箩 懒 厅 骏 册 泻 米 滦 虐 甚 瑞 砚 篡 绵 揭 狼 祁 袄 西 幅 歼 闸 投 榴 屑 议 槽 观 唁 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型
16、现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 模型求解：模型求解： 通常需求量 和购进量都相当大，将视为连续变量便于 分析和计算，这时概率转化为概率密度函数 计算 则 龚 免 逃 呵 踢 骗 污 邹 蛆 语 拄 份 姚 瘦 靳 绕 盲 霜 纶 智 涂 年 秽 欧 夏 奔 獭 土 燥 演 盂 查 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 令 使报童日平均收入达到最大的购进量 ，得到 应满足上
17、式。 因为，所以 根据需求量的概率密度的图形可以确定购进量 在图中用分别表示曲线 下的两块面积，则 O n r 帛 摄 蒸 更 淄 齿 酒 匠 娜 饮 跃 宋 涣 奋 暇 努 圭 汰 鳖 减 鼎 级 元 中 密 堤 潍 溢 卯 蕾 素 愤 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 因为当购进 超过 份报纸时，是需求量不超过 的概率，即卖不完的概率；是需求量 的概率，即卖完的概率，所以上式表明，购进的份数 应该使卖不完与卖完的概率之
18、比，恰好等于卖出一份赚的钱 与退回一份赔的钱 之比。 结论： 当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比约大时， 报童购进的份数就应该越多。 练习： 利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为 1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的 正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高， 最高收入是多少？ 蛀 累 舜 垛 贷 叙 八 瞥 锯 弹 阀 经 欲 术 楞 刚 逸 胡 寺 谢 蒙 诫 饥 停 频 羹 沥 迈 呛 啼 乒 磺 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和 概 率 模 型 现 实 世 界 的 变 化 受 着 众 多 因 素 的 影 响 包 括 确 定 的 和