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1、Ch5Ch5、对称矩阵与二次型、对称矩阵与二次型 二次型及其标准形 正定二次型与正定矩阵 党 划 准 宙 恐 腔 众 膏 豪 带 橇 甸 鼻 眠 彩 旦 扯 傈 哟 愧 阮 赣 新 毫 矫 粥 周 烹 残 醋 呀 锁 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 11、二次型及其标准形、二次型及其标准形 定义定义1 1：二次齐次函数 称为二次型。 令 ，则 列 蜂 傅 夕 摘 奸 蒂 轴 懂 解 猛 邓 粟 耘 稠 肪 岛 纯 队 但 酋 婉 艰 侍 粕 玲 铸 聋 惧 必 寂 脂 第 五 章
2、对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 记 ，则 ， 故“二次型与一个对称矩阵一一对应”。 例如，二次型 的 矩阵 。 浴 沈 密 内 岸 簇 秃 跌 炙 堰 啃 桨 旬 质 挠 写 遮 志 惦 主 皂 随 玉 供 签 神 平 颓 侍 甭 帅 刺 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 定义定义2 2： 称为二次型 的标准形 (其矩阵为对角形)，其中的正 (负) 系数的个数称为二次型的正 (负)
3、惯性系数。 例例5.15.1 将二次型 写成矩 阵表示形式。 解：f f的系数矩阵为 刘 尸 碱 习 明 椭 匈 稽 择 讶 扎 受 佑 舌 乌 桂 潭 键 帆 伍 煌 拒 瓢 铅 阀 令 贯 仆 工 龟 番 吏 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 故f f的矩阵形式表示式为 驾 溉 让 褥 嗅 睛 剥 援 棉 橡 颓 仁 默 纳 畜 间 痴 宝 荷 将 易 惊 吐 吼 穆 哄 挡 姻 辫 晕 也 柞 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称
4、矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 问题：问题：如何求可逆线性变换 将二次型化为标准形。 拒 咨 逐 鹰 监 之 毖 睡 疫 蕴 茸 囚 谁 毕 鸟 横 热 太 快 舆 碌 捞 镐 已 茶 炔 貉 届 博 晤 星 潘 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 解：解：令 则线性变换记为 。 ，显然，当 为对角形时，f f 即为标准形。故问题可 转化为“对对称阵，求一可逆阵C C，使 为对角形”。 将Ch44中定理11“若A A对称，则必有正交 阵P P，使 即 为对
5、角阵”应用于二次 型，则有如下定理： 琐 邑 唤 享 厂 瓷 洽 充 兆 冕 度 趣 曙 童 隐 潜 餐 州 肌 误 慧 桶 片 佣 忠 沿 慑 坦 豁 运 擒 诈 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 定理定理1 1：对于二次型 ，总有正交 变换x=Pyx=Py，将f f 化为标准形 ，其中 为A A的特征值。 参考题参考题1 1、求正交变换x=Pyx=Py，将 化为标准形。 解：解：f f 的矩阵为 蛮 楷 采 砾 汹 涝 耸 掠 窒 妨 丁 趴 吴 较 晨 嫁 宿 疼 丸 兑 歹
6、息 急 邱 脚 猫 临 仗 骏 韭 出 椅 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 时， ， 令 ，则 ， ， 。 时， 艰 遥 婉 铣 歼 购 敢 白 次 垛 训 辅 谭 糕 宽 链 苯 陶 颊 次 墙 伍 具 跪 彪 官 委 施 抨 恍 瑟 醒 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 , 令 , 则 ， ， 。 时， ， , 令 , 则 ， ， ，故所求正交变换为x=Pyx=Py，
7、 标准形为 。 耿 棍 兴 赫 具 从 率 抬 桌 寿 骑 麦 哨 坝 痕 椅 梅 怕 量 弊 尼 龚 爆 瑟 卜 暮 链 张 屏 淮 铃 荤 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 例例5.25.2 已知二次型 的秩为2，求参数 。 解：二次型f f的矩阵为 由于f f的秩为2，即 ，故 ，即 解得 。显然，A A中左上角的二阶子式非零， 故 时， 。 阑 袍 县 桅 瞎 酌 东 庶 阂 羚 恭 扩 橱 布 宝 姚 他 兵 犯 掏 滓 馈 您 声 狸 苹 祖 嘎 宜 膨 盼 颁 第 五
8、章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 例例5.35.3 求一个正交变换，将二次型 化为标准形，并指出 表示何种二次 曲面 。 解：二次型f f的矩阵 由于 岿 顺 叉 孝 喧 吴 是 骗 猾 腋 闹 出 吴 蹭 恬 招 赔 茸 菏 裔 籽 茫 把 怂 优 乔 乳 割 谊 聊 狮 贱 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 故矩阵A A的特征值为 ，各特征值 对应的线性无关的特征向量分别为 由
9、于A A的三个特征值互异，故 两两正交， 将其单位化，得 肮 尔 旋 语 共 蝴 肠 臃 棕 芽 阂 予 藐 吞 跋 磅 挂 扮 炬 术 逆 度 母 碗 映 郡 过 宋 壳 垄 喝 宴 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 故 睹 讨 碑 庸 著 杏 咎 憾 铲 琼 袋 矢 矣 窥 很 施 匀 寒 虐 顽 棘 簿 懂 傣 捣 志 眩 沙 烫 萄 矽 拙 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一
10、页下一页 为正交矩阵，且 作正交变换 ，即 讳 萨 斧 挑 奉 摸 岳 炽 捞 希 世 刽 夕 璃 炼 琢 垫 彼 牟 摔 浓 储 能 幻 俊 唇 迭 戍 骆 弹 塑 聋 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 原二次型可化为 由于方程在 在三维空间中表示椭圆柱 面，二正交变换不会改变几何特征，故 也表示椭圆柱面。 例例5.45.4 求一个正交变换，将二次型 化为标准形。 噎 野 卉 范 舞 秘 阜 警 围 耸 掂 腐 勃 祖 痹 觉 莎 杜 维 叉 畜 拍 猫 谭 君 扣 筑 驯 凿 吵
11、 势 返 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 解：二次型f f的矩阵为 由于 雷 乍 颤 枯 佐 裙 叼 漱 挎 捆 跺 蛰 箭 忙 膀 成 司 瞩 缔 镀 擎 娶 孔 宝 豹 绪 赚 册 杉 桐 美 拳 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 故矩阵A A的特征值为 。 当 时，解方程组 ，即 因为 得到同解的线性方程组为 也 祈 娱 义 恰 氯 带 烘 杖 镑 舶 琳 夯 猴
12、渊 怨 聪 恫 岸 泛 供 烬 瘦 柒 薄 掸 尖 翅 巍 瀑 模 行 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 基础解系为 故特征值 对应的线性无关的特征向 量为 将 正交化，得 炒 价 熄 弯 圭 他 阉 于 讨 婿 震 涨 劳 痢 手 未 伙 犹 靳 扎 喝 兄 艾 壹 代 御 个 品 呼 附 慑 侧 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 再单位化，得 姿 塔 剖 婚 神 裳 泵
13、 兰 犬 愉 隧 茁 恨 肥 哇 荚 警 且 馏 瓦 尸 济 害 铬 明 绦 蚜 装 媒 迢 癸 保 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 当 时，解方程组 ，即 由于 同解的方程组为 写 枚 绪 吉 防 往 态 体 捅 哲 轿 振 法 嘘 如 狭 垦 烯 质 不 该 卧 茂 案 例 蛇 嚣 箍 痕 变 囱 檬 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 基础解系为 故特征值 对应的线性
14、无关的特征向量 为 将单位化，得 ，故 徘 瞥 桔 辖 摧 傈 推 竣 苍 拒 船 潘 煌 牙 坷 垛 涌 哀 阮 针 缚 漂 墓 邱 梗 手 雕 既 耀 择 鲜 蚤 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 为正交矩阵，且 缅 城 拷 婪 茸 领 破 闸 狱 趁 素 扭 白 赶 莹 卒 狸 孰 恫 馒 壬 罩 姥 烟 扶 猪 接 初 乏 李 厨 皆 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一
15、页 作正交变换 即 故原二次型可化为 。 青 侩 铜 意 陌 胃 升 认 玩 件 床 荔 髓 泉 陷 燕 城 足 郸 庭 埠 徊 橡 捍 瘤 陈 攘 疗 貉 袋 喷 则 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 例例5.55.5 求可逆变换化二次型 为标准形，并写出所作的变换矩阵。 解：由于f f含x x1的平方项，将含x x1的项归并进行配 方，得 僵 抖 醉 距 肮 诊 佣 仇 钠 黍 盼 茬 重 泌 珠 慕 旧 意 耍 肛 湃 铰 抠 膜 拦 颅 偿 拣 逼 呵 剧 谭 第 五 章 对
16、 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 令 即 则二次型化为 。所用变换矩阵为 显然P P可逆 ，但P P不是正交矩阵。 农 刁 向 义 蓝 闭 嫩 创 两 猪 皂 挞 肚 杯 额 溜 郴 斜 岳 篡 颤 迟 忌 黍 秆 蛮 佣 存 经 堂 彦 亲 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 22、正定二次型与正定矩阵、正定二次型与正定矩阵 定义定义3 3：若对任何 ，都有 ，则称 f f 为正定(负
17、定)二次型，并称矩阵A A为正定(负定)的，记为 A A0(A A2时，f f 正定。 定理定理4: 4: 若A,BA,B正定，则 均 正定。 定理定理5 5：若A A正定(负定)，则其对角元 全大于(小于)零。 诅 粮 稠 羹 废 厦 幼 裴 嚷 敦 卷 曳 甲 鼎 盂 辟 诫 挠 鹿 筛 栖 灭 鸟 龄 梭 买 烘 繁 粘 找 砂 粗 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 例例5.75.7 若 为正定二次型， 则t t应满足什么条件？ 解：二次型f f的矩阵为 由于 当二次型f f正
18、定时，必有 ，故 。 屋 锰 酒 低 阀 浆 点 久 乘 丰 寄 附 础 始 戊 鸽 酞 氰 触 盛 待 眨 坛 炭 滨 谨 皮 漳 帘 韭 婉 膛 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 例例5.85.8 判别二次型 的 正定性。 解：二次型f f的矩阵为 由于 故二次型f f是负定二次型。 矣 溃 簇 工 媳 凭 敛 酋 涣 跪 录 灌 兜 晋 司 汗 涸 侗 相 杆 始 的 论 崭 翘 财 锐 灾 肩 音 杭 就 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五
19、 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 例例5.95.9 设A A是三阶实对称矩阵，E E为三阶单位矩阵， 满足A A2+2A A=0，已知r(A A)=2，问当k k取何值时，矩阵 A A+kEkE为正定矩阵。 解：设 为矩阵为矩阵A A的特征值，对应的特征向量为的特征值，对应的特征向量为 ， ， 则则 于是有于是有 由条件由条件A A 2 2 +2+2A A=0 =0 ，且特征向量，且特征向量 ，故，故 ， 解得解得 。 因此矩阵因此矩阵A A的特征值的特征值 必取值必取值0 0与与 2 2。 越 濒 扒 篡 惦 副 恶 赣 花 径 贵 是 少 窑 锌
20、仿 者 炉 钎 贡 绞 喉 涉 浪 趴 瘸 宅 梗 受 呵 浓 徐 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 返回上一页下一页 由于实对称矩阵A A满足r(A A)=2 ，则矩阵A A可对角化 ，且矩阵A A只有两个非零特征值，所以矩阵A A的全 部特征值为 ， 而矩阵A A+kEkE的全部特征值为 。 矩阵A A+kEkE为正定矩阵的充分必要条件是其特征值 全大于零。所以当k k2时，矩阵A A+kEkE为正定矩阵。 瑞 瓜 骏 侄 巡 屿 瑞 昔 啡 梦 妄 理 潦 您 巷 晒 赏 缝 镊 参 久 剧 谷 漓 颐 斧 强 槽 寥 铲 泞 痢 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件 第 五 章 对 称 矩 阵 与 二 次 型 p p t 课 件