《概率论第4讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论第4讲.ppt（37页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、盛 倾 磋 幅 胖 粘 括 雨 系 爸 实 慰 陡 烂 虚 月 制 母 究 朽 糙 印 润 识 痒 游 延 剖 焊 篷 筋 撮 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 概率论第4讲 第四章条件概率 独立性 本文件可从网址 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录) 守 埂 栖 捞 揽 摩 借 碳 浅 孽 尤 娜 学 转 消 蕉 毛 舰 奢 蚀 纳 承 毕 聪 殴 涵 嫉 臃 差 缎 删 耸 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 * 1 盛 倾 磋 幅 胖 粘 括 雨 系 爸 实 慰 陡 烂 虚 月 制 母 究 朽 糙 印 润 识 痒 游 延 剖 焊 篷 筋 撮 概 率 论
2、 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 第四章 条件概率 事件的相互独立性 及试验的相互独立性 第一节 条件概率 乘法定理 缀 频 楞 竖 啪 刻 健 苛 障 茄 坛 怨 釜 朱 炉 瞥 蛙 逆 挣 愁 羌 渠 焉 应 令 飘 桶 碗 揪 捉 务 门 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 * 2 在许多问题中, 我们往往会遇到事件A已 经出现的条件下求事件B的概率. 这时由 于有了附加条件, 因此称这种概率为事件 A出现下事件B的条件概率, 记作P(B|A) 统 蹄 棉 昆 犁 郧 洒 岭 隔 据 热 伦 渝 沮 澡 叉 谐 很 滩 脐 佬 忘 箍 匪 映 打 蔑 暇 彤 需 混 缔
3、概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 3 例如, 两台车床加工同一种机械零件如 下表: 正品数次品数总计 第一台车床加工的零件数35540 第二台车床加工的零件数501060 总计8515100 从这100个零件中任取一个零件, 则取得的 零件为正品(设为事件B)的概率为 吮 乔 熟 尝 钾 供 宋 街 器 豌 纱 糊 砾 又 卷 泌 晶 沪 烷 熄 椽 捧 氢 雀 细 该 踩 巴 咱 揍 孕 裳 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 4 正品数次品数总计 第一台车床加工的零件数35540 第二台车床加工的零件数501060 总计8515100 如果已知
4、取出的零件是第一台车床加工的( 设为事件A), 则我们有事件A出现下事件B 的条件概率为 耻 疼 坊 殃 颠 窃 事 夸 嫁 维 痊 批 差 但 夕 囤 拢 宣 帧 惭 廊 蛊 烟 兄 购 栏 脱 渣 抽 泼 靛 皑 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 5 在古典概型下, 设U=e1,e2,.,en, 其中导 致事件A出现的试验结果有m个, 导致事 件B出现的试验结果有k个, 导致事件AB 出现的试验结果有r个. 事件A出现, 就是 说导致A出现的m个试验结果中有一个 出现, 在这条件下导致B出现的试验结果 有且仅有r个. 所以 谬 齿 迫 途 歉 瘫 盈 促 爸 倚 慎
5、 淫 搭 哟 玲 苦 蜡 责 警 绊 弄 饰 襄 厨 生 局 蚁 林 疮 佩 旁 姻 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 6 例 100个产品中有60个一等品, 30个二等品, 10个废品. 规定一,二等品都是合格品. 试验: 从100个产品中任抽一个 假设: A,B为抽到的为一,二等品, C为抽 到的是合格品, 则C=A+B 则一等品率为P(A)=60/100, 二等品率为 P(B)=30/100. 合格率为P(C)=90/100 如果改变试验为: 从合格品中任抽一件, 则合格品中的一等品率为 P(A|C)=60/90. 畅 烩 鼓 岸 蝎 桨 崎 员 峙 惫 缮 葡
6、窑 忆 生 拷 垮 锹 桔 岛 油 兰 扩 匈 摆 廷 抬 愤 烹 汛 幕 球 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 7 定义1.3 在事件B已经发生的条件下, 事件A发 生的概率, 称为事件A在给定B下的 条件概率, 简称为A对B的条件概率, 记作P(A|B). 相应地, 把P(A)称为无 条件概率. 这里, 只研究作为条件的 事件B具有正概率即P(B)0的情况. 踏 项 分 蚜 归 景 备 宠 负 耍 该 蔷 砒 姓 哮 钨 佑 泼 件 了 吓 矽 耍 杉 抬 椎 侵 陕 廖 桓 魏 凭 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 8 对于条件概率,有控制
7、论和信息论的两种观点 控制论的观点又分两种, 一种是通过控制 来改变试验条件, 从而改变某事件的概 率. 例如上例中将试验改变为从合格品中任抽 一件, 则一等品率发生的概率即发生改 变. 另一种是在试验结果中将某事件C发生的 结果保留, 将其它的试验结果剔除, 然后 再统计某事件A发生的概率P(A|C) 例如, 将上面的试验重复1000次, 如果合格 品事件出现了900次, 其中在这900次中 一等品出现了600次, 则这时的一等品率 为P(A|C)=600/900=2/3. 伴 晃 算 露 逊 癸 寝 妊 家 唁 沼 熬 拥 灶 瘫 绦 兴 狰 彤 取 辱 苛 检 坞 议 斩 琉 咎 吸 峭
8、 宪 倪 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 9 而信息论的观点涉及到信息传递 这时候可以设置试验场地和信息中心两个 地方, 在试验场地的试验员将试验的部分 或者全部结果向信息中心的信息员报告. 试验场所 信息中心 沛 碍 提 席 燥 床 颠 砖 镰 柱 雇 颤 惩 惰 骗 更 瑰 凶 宪 潮 诅 假 筒 缉 窒 稗 俗 璃 胜 卜 蘑 顷 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 10 拿上一个例来讲 在试验开始前试验员和信息员都知道整个 试验的设计情况, 因此知道合格品率为 P(C)=90/100, 一等品率为P(A)=60. 现在试验员做了一次试验,
9、 但是并没有将 全部试验结果报告给信息员, 只是告诉他 抽到的是合格品. 则从信息员的角度讲, 他暂时还不知道此 产品是一等品还是二等品, 这个时候他从 已经获得的信息的条件下的一等品率就 已经是P(A|C)=60/90. 痊 杖 仪 豁 标 质 锻 辊 胆 夕 粗 贿 绘 澡 丘 墅 芬 棕 滚 拐 复 弱 升 硬 携 呈 褂 圣 鸦 船 靡 勾 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 11 条件概率意味着样本空间的压缩 或者可以认为是基本事件的减少而导致的 试验. 以事件B为条件的条件概率, 意味着 在试验中将B提升为必然事件. U B B U 待 狠 觅 史 讯 姻 制
10、 本 焰 秩 味 娃 银 消 汐 侧 智 陷 凸 舜 酿 渠 髓 橙 鬼 昏 祁 刘 官 现 嗅 骆 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 12 在一般情形下, 如果P(A)0, 也定义事件 A出现下事件B的条件概率为 乘法定理 两事件的积事件的概率等于其 中一事件的概率与另一事件在前一事件出 现下的条件概率的乘积: P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 谣 五 购 柜 痞 籽 号 蹬 旺 葡 巾 续 汤 痛 苫 积 圭 如 致 四 滔 办 聂 讳 爱 渍 茁 痞 诡 蚌 扭 够 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 13 例1 一批零
11、件共100个, 次品率为10%. 接 连两次从这批零件中任取一个零件, 第 一次取出的零件不再放回去. 求第二次 才取得正品的概率. 晓 佳 吓 滥 翰 橡 小 里 薄 肺 会 醉 吩 漠 鹃 燕 轰 毖 崎 哲 挖 巾 清 旱 辣 矣 溢 砖 疤 蕉 夜 蔽 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 14 解 按题意, 即第一次取出的零件是次品( 设为事件A), 第二次取出的零件是正品( 设为事件B). 容易知道 由此得到所求的概率为 惊 签 尊 汗 舱 歪 颈 核 患 捅 约 蜒 网 莫 龄 瓮 丘 孪 栋 寡 再 录 敖 皖 隔 兆 硼 铅 户 溅 堪 崖 概 率 论 第
12、 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 15 例2 设某种动物由出生算起活20岁以上 的概率为0.8, 活25岁以上的概率为0.4. 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它 能活到25岁以上的概率是多少? 匣 承 惕 辑 驳 航 岩 纳 粪 釉 喜 真 浩 辅 胁 电 汐 缅 付 词 请 慕 腔 规 砌 毅 夯 期 铰 箍 诺 俭 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 16 解 设A表示能活20岁以上的事件;B表 示能活25岁以上的事件. 按题意, P(A)=0.8, 由于BA, 所以AB=B, 因此 P(AB)=P(B)=0.4. 按条件概率定义, 逞 你 标 果 翘
13、 筑 瘦 洱 锻 孽 既 孟 朋 筐 祖 用 螺 甫 窝 剃 缩 奠 甲 肘 负 锭 巳 凄 保 动 颗 诅 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 17 乘法定理可以推广到有限多个事件的情 形. 例如, 对于A,B,C三个事件, 有 P(ABC)=P(AB)C)=P(AB)P(C|AB) =P(A)P(B|A)P(C|AB), (P(AB)0) 瀑 模 俩 篙 午 溉 会 符 这 摄 蕊 圣 骋 卞 菊 考 岳 逛 缠 含 毖 贱 腑 柯 汛 糕 魏 峰 酝 睁 蚕 淮 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 18 第二节 全概率公式 诀 您 撂 轧 裂
14、湿 配 漾 掂 赢 结 泡 堆 献 桌 舱 釜 羌 人 耘 嫉 憾 颧 反 牲 吓 券 亦 掘 削 示 皑 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 19 设诸事件A1,A2,.,An两两互斥且事件B为 事件A1+A2+.+An的子事件, 于是 B=B(A1+A2+.+An)=BA1+BA2+.+BAn 由于诸Ai(i=1,2,.,n)两两互斥, 所以诸BAi 也两两互斥. 从而, 由加法定理, 得 P(B)=P(BA1+BA2+.+BAn) =P(BA1)+ P(BA2) +.+ P(BAn) 芦 由 涤 洁 蜗 熏 辆 暴 钾 闸 七 乍 棍 澡 漱 听 覆 蜗 烽 勃 瑟
15、 色 兼 功 锈 颧 魁 撵 俄 返 戎 拌 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 20 P(B)=P(BA1)+ P(BA2) +.+ P(BAn) 再由乘法定理, 得 P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai), (i=1,2,.,n) 即得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+. +P(An)P(B|An). 这个公式称为全概率公式, 它是概率论 的一个基本公式, 有着多方面的应用. 当 诸P(Ai)和P(B|Ai)容易计算时, 可利用这 公式来计算P(B) 像 痈 庞 釉 酿 客 别 蜗 蓑 整 枯 确 他 侥 邱 莽 丑 教 瑶 幕 笑 庞
16、龋 峡 册 喷 搔 经 罐 谱 秆 粥 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 21 用全概率定理来解题的思路, 从试验的角 度考虑问题, 一定是将试验分为两步做, 将第一步试验的各个结果分为一些完备 事件组A1, A2,An, 然后在这每一事件下 计算或给出某个事件B发生的条件概率, 最后用全概率公式综合 全概率定理解题的思路 试 验 1 试 验 2 A1 A2 An B 恫 衷 善 亲 辩 怎 社 知 涯 厅 呀 抄 煮 凯 矛 宽 狂 邢 杏 橡 光 填 栽 合 舍 躺 滞 则 稠 晴 八 戴 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 22 例3 设一个
17、仓库中有十箱同样规格的产 品. 已知其中有五箱, 三箱, 二箱依次是 甲厂, 乙厂, 丙厂生产的, 且甲厂, 乙厂, 丙厂生产的该种产品的次品率依次为 1/10, 1/15, 1/20. 从这十箱产品中任取一 箱, 再从取得的这箱中任取一件产品, 求 取得正品的概率. 窘 刊 慕 枢 睫 读 厂 奢 发 锦 煎 粒 某 覆 砾 布 丑 芳 邵 戌 彬 傈 英 卑 镑 坎 乏 拒 颐 煽 程 呵 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 23 解 依次以A1,A2,A3表示诸事件取得的这 箱产品是甲厂, 乙厂, 丙厂生产; 以B表 示事件取得的产品为正品, 于是 按全概率公式,
18、有 P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3) =0.92 球 沟 恿 罢 缸 宜 继 迪 顶 断 鹏 搐 脑 篮 滋 手 叁 浚 项 亨 灶 字 扶 记 弓 钉 艰 意 未 塘 枣 棋 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 24 第三节 贝叶斯公式 约 牙 勃 汤 挝 卿 韵 奄 埂 瘪 价 吼 粹 褐 戴 伟 汗 琐 颤 经 里 侯 懂 虾 惊 戴 蹄 兰 炳 该 询 葛 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 25 例4 如果例3中抽到的产品是正品, 问所 抽到的箱子依次是甲厂,乙厂,丙厂的概 率各为多少?
19、 解 仍采用例3的记号, 现在已知 要计算P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B). 腿 螺 续 殴 术 镣 臼 它 育 涪 酗 略 雅 莹 锡 缓 热 崇 睡 律 岂 喉 壶 肇 级 买 粘 濒 嘱 仙 彩 眠 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 26 要计算P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B). 按乘法定理 , P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=P(B)P(A1|B) 缺 淫 诀 绘 砰 聋 擒 击 良 斡 娜 忌 看 详 荆 凯 矩 俯 场 古 珍 奖 唯 伎 审 卒 他 党 胰 飘 敌 啃 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Da
20、te 27 一般地, 诸事件A1,A2,.,An两两互斥, 事 件B为事件A1+.+An的子事件, 且 P(Ai)0(i=1,2,.,n), P(B)0, 则按乘法定 理, 有 P(B)P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai) 所以 烤 叁 敛 咽 才 庆 钞 始 油 断 臂 缕 立 罐 俩 荷 筋 鲜 镁 邮 庇 碳 玖 淬 喂 恨 爵 麻 掖 湃 詹 胞 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 28 又按全概率公式, 得 P(B)=P(A1)P(B|A1) +.+P(An)P(B|An) 因此得到 称此公式为贝叶斯公式. 弹 潞 径 凶 倾 卵 园 暴 砸 圆 奄 乘 荆
21、 呛 翁 灭 沛 洞 宇 疽 拎 草 龙 意 短 娜 活 狄 场 钥 稍 鞋 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 29 实用上称P(A1),P(A2),.,P(An)的值为验前 概率, 称P(A1|B), P(A2|B),.,P(An|B)的值 为验后概率. 贝叶斯公式就是从验前概 率推算验后概率的公式. 岗 庄 钻 法 赌 桶 派 扒 遏 淳 吱 沏 容 掉 预 吁 寅 令 肘 塘 喝 忽 雏 综 淄 剁 料 懂 焙 怕 私 董 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 30 贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题 型完全一样, 只是要求的是一个条件概 率
22、, 是在信息论中的重要公式, 即在二次 试验后, 观察者只能看到最后的结果事 件B, 却要根据B来推断第一步试验的哪 个事件发生了的条件概率 贝叶斯定理解题的思路 A1 试 验 1 试 验 2 A2 An B 观 察 者 惊 年 胀 唤 求 铜 呛 骨 弱 秒 利 吟 怔 俐 榨 殃 顷 蚂 蔽 漂 咳 药 完 喉 遣 但 站 钠 关 腰 布 疽 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 31 在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中, 关键的一步是要使用一完备事件组, 而最常 用的完备事件组,是一事件A与它的逆A构成 的完备事件组, 这时的全概率与贝叶斯公式 为, (应在考试前专
23、门将它们记住). 丙 澎 腥 经 剂 魁 磋 钒 速 黎 藻 鸦 骇 扑 少 唱 部 查 固 鞍 玄 腺 杂 晃 肋 煌 淤 燃 垂 沛 吟 娩 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 32 1987年理工科硕士入学考试题 有两个箱子, 第一个箱子有3个白球2 个红球, 第二个箱子有4个白球4个 红球. 现从第1个箱子中随机地取1 个球放到第2个箱子里, 再从第2个 箱子中取1个球, 此球是白球的概率 为_, 已知上述从第2个箱子中 取出的球是白球, 则从第1个箱子中 取出的球是白球的概率为_. 杭 躁 饲 缘 歉 狰 斩 句 惜 昌 稼 柑 涕 升 展 剪 魔 杰 认 淆
24、艇 虞 枢 觉 宇 蛛 倚 垒 程 缠 矽 焕 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 33 解 假设事件A为从第1个箱子取出的是白球, B为从第2个箱子取出的是白球, 第一步试验 中的A与A构成完备事件组, 则 咋 硫 渝 醇 沪 狗 妥 啸 犁 唱 佳 剥 殊 漂 榴 轨 嫌 速 刮 鞍 踢 撵 喊 孕 盛 摹 巡 鄙 笔 覆 氟 疑 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 34 1999年MBA试题 甲盒内有红球4只, 黑球2只, 白球2只; 乙 盒内有红球5只, 黑球3只; 丙盒内有黑球 2只, 白球2只, 从这3只盒的任意一只中 取出1只球, 它是
25、红球的概率是( ) (A) 0.5626(B) 0.5(C) 0.45 (D) 0.375 (E) 0.225 解 假设A1,A2,A3为取到甲,乙,丙盒的事件, 这是第一步试验的各事件, 构成完备事 件组. 假设B为最后取出的是红球的事件 . 焉 鲁 哟 续 枉 枯 暗 绦 膝 萌 降 仲 暮 齐 活 族 楔 逐 虽 伤 缸 瑚 吓 理 外 凯 率 弛 买 粟 散 树 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 35 则 折 养 贵 效 昆 歌 证 鞋 溢 沧 榴 寄 桌 匡 雹 胁 粤 装 莆 起 涌 唐 箍 噬 舱 昔 炸 茅 妓 蒸 命 鼻 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 36 作业 习题四 从43页开始 1, 3, 5, 蔑 甲 撞 撂 风 庇 修 赊 赏 郧 椰 旅 霞 厢 盗 竖 含 栏 嗜 孰 测 漆 鳞 寂 婶 痰 黎 耗 岿 香 犁 硷 概 率 论 第 4 讲 概 率 论 第 4 讲 Date 37