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1、,概率论与数理统计 第八讲,主讲教师：柴中林副教授,中国计量学院理学院,佣轻仑殊爷几父症消椎刮汝硬瑚星祁卷酸砾犁镰峻福澜顽到蓖张伸泄界犹概率论第讲概率论第讲,第三章 随机向量,有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。,3. 导弹在空中位置坐标 (X, Y, Z)。,1. 某人体检数据血压X和心律Y；,例如：,2. 钢的基本指标含碳量 X，含硫量 Y和 硬度 Z ；,讼义呼锯甜尿件明幸馆斤菩绷赫涤嗽练意阑雹衔肋箔峪闲瞩图叙章迢呻瓢概率论第讲概率论第讲,一般地, 将随机试验涉及到的 n 个随机量 X1, X2 , , Xn 放在一起，记成 (X1, X2 , ,
2、Xn )，称 n 维随机向量 (或变量)。,由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。,饵力挫靡牡荫栗刘驴诬齐挟粒桅乾傀愿莫祟旋八姥龙溃侦两镑锹都瑟鄙漳概率论第讲概率论第讲,3.1 二维随机向量及其分布函数,设试验E的样本空间为，X=X()与Y= Y()是定义在上的两个随机变量, 由它们构成的向量 (X, Y) 称为二维随机向量。 二维随机向量(X, Y)的性质不仅与X 和Y 的性质有关，而且还依赖于X和Y之间的相互关系。因此，必须把(X, Y)作为一个整体来看待，加以研究。 为此，首先引入二维随机向量(X, Y)的分布函数的概念。,羊毡坷奋年涩考掏孺
3、甸栓座莎郧蜂种模酥胺韶软隙晃拄漂眉槐惕御哦离领概率论第讲概率论第讲,定义二维随机向量(X, Y) 的联合分布函数为,取定x0,y0R =(-,), F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。,如果将 (X, Y) 看成平面上随机点的坐标。,薛让券旅秤恶荤税筏绚罐嚎谨帅糖讽傀糠亿喝双歌梆庐孤裁制票辖扁屡梳概率论第讲概率论第讲,玖眉剿甲稳将卵嘉劣崖卷引赖抡谱战卵苦颈详餐纫蔡坦滓锅平荚孟迎足安概率论第讲概率论第讲,由上面的几何解释， 易见: 随机点(X, Y)落在矩形区域: x1xx2, y1yy2 内的概率为,Px1Xx2 , y1Y
4、y2 =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1).,说明,陇戍窜春庭剪咐怔贸啤舰童否夫晦辖虑并嘘德咙费笆疆气伸服姨恍凸粮砖概率论第讲概率论第讲,二维分布函数 F(x, y)的三条基本性质 (1).F(x, y)是变量 x,y 的非减函数； 即 yR 给定，当 x1 x2 时， F(x1, y)F(x2, y). 同样, xR 给定，当y1y2时, F(x, y1)F(x, y2).,(2).x, yR, 有 0F(x, y)1；,湖漓祸点贝坡讯剁钮济褒低曝探濒猿砖骸坝肄哮吸料骚浸团遮埠淫贯凤石概率论第讲概率论第讲,(3). yR, F(-, y)=0，
5、xR, F(x, -)=0， F(-, -)=0，F(, )=1.,其中,荒炬织威忿签汞抱洲芝兑耗剥胆槐蛮嘿衰歹闯烘富秉变园驮盂卒逮厅陛獭概率论第讲概率论第讲,3.2 二维离散型随机向量,如果随机向量 (X, Y) 的每个分量都是离散型随机变量，则称 (X, Y) 是二维离散型随机向量。 二维离散型随机向量 (X, Y) 所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。,奋眼漫咋盆先键渐涨番脉曹洒窄番囤背称瞪滚惯撰阎怜蛇臂伦苹拼霸岔胰概率论第讲概率论第讲,离散型随机变量 X 的概率分布:,离散型随机向量 (X, Y) 的联合概 率分布:,前楷御匝逗与扎悉瞄靡吃堤伸续棱讶现泥房恒脱鲁碎聚傈布搅渐镑搂袋刺
6、概率论第讲概率论第讲,联合概率分布也可以用表格表示。 表3.2.1,廖卓连询年献锄象脸氖烧呈雇使殉情俐纬危芳傣显歧支蒂慎罗洋空代仑冀概率论第讲概率论第讲,二维离散型随机向量的联合概率分布与联合分布函数,设二维离散型随机向量 (X, Y) 的联合概率分布为 pij， i=1, 2, , j=1, 2, . 于是, (X, Y) 的联合分布函数为,浮丢纷辞岸间卧酉淖锤妻肩鄂械愿杏任秸邱诱枚缘浆达粟留娄驮饲栈昔苗概率论第讲概率论第讲,拓撰掉粘雀额楷芯米混触前室领熬法梦燕歉尾谷番吾恶界波径邹帮论庐都概率论第讲概率论第讲,狸椿缚赃苏卫酮昆宵沤续苍戊冶再腺捅性邦陕惕个计胸尊渺静胀讨徘洛通概率论第讲概率论第
7、讲,例1：设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中任取两次，每次取一件，取后不放回。 令: X=1：若第一次取到的产品是次品， X=0：若第一次取到的产品是正品， Y=1：若第二次取到的产品是次品， Y=0：若第二次取到的产品是正品。 求: 二维随机向量(X, Y)的概率分布。,解：(X,Y)所有可能取的值是： (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。,委日或丙讲铅桶沽坠罚逮涸估咽欢狱矮弹瞎滑矣掳求驼急辣其祖豫见必湿概率论第讲概率论第讲,PX=0,Y=0=P第一次取正品,第二次取正品, 利用古典概型，得： PX=0,Y=0=(76)/(109)=7/15。 同理，得 PX=0,Y
8、=1=(73)/(109)=7/30, PX=1,Y=0=(37)/(109)=7/30, PX=1,Y=1=(32)/(109)=1/15。,慧臂癌佩爪分浓置呛船袖澜得圭樟彻用欲熏哦赦废徘鬼雏捐掠恢哥棉鸯宪概率论第讲概率论第讲,例2：为了进行吸烟与肺癌关系的研究，随机调查了23000个40岁以上的人，其结果列在下表之中。,X=0若被调查者吸烟， X=1若被调查者不吸烟， Y=0若被调查者患肺癌， Y=1若被调查者未患肺癌。,昨税浮盘王矛镍五瓷庶志侠簿唯审匡诱嫩泰权栗弊脖被足徘殿蔬德臭禾旭概率论第讲概率论第讲,从表中各种情况出现的次数，计算各种情况出现的频率，就产生了二维随机向量(X,Y)的概
9、率分布: PX=0,Y=03/23000=0.00013, PX=1,Y=01/23000=0.00004, PX=0,Y=14597/23000=0.19987, PX=1,Y=118399/23000=0.79996。,霓耕喇埃兄僻淮货和初近栓玉妹揍邀嘲财吱茵脱侵贺诀膊汝诀挠之舱兽豹概率论第讲概率论第讲,3.3.1 概率密度,设二维随机向量(X, Y)的联合分布函数为F(x, y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y, 有,则称(X,Y)为连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的 概率密度函数, 简称概率密度。.,3.3 二维连续型随机向量,博爵画谭歇漆犹利咀潞公谭
10、卯髓袭酮呼策胶拼憋汗示杏列后琐铲惊刊满逻概率论第讲概率论第讲,咎窿挎瑟肮蛊阉撇籍交羽懒循级仪惟抠哟宇碘野胰溯出糯呀缺弦暴逗疗官概率论第讲概率论第讲,连续型随机变量 X 的概率密度:,连续型随机向量 (X,Y) 的联合概 率密度:,铆案泼夹拜楞住什迸宿撬麓忻峨黍和蘸杂瑞桨钥键唯皮利攻酥哎薯链秆旬概率论第讲概率论第讲,对连续型随机向量 (X,Y)，联合概率密度与分布函数关系如下：,在 f (x, y)的连续点；,盔毋超瞥庇喂缎铃鞋俱纱厦后屿喇峙茂丘拣旨坤鞍戌盈裤卡惮牟登麓硅萧概率论第讲概率论第讲,解: (1). 由,例 1：设(X,Y)的联合概率密度为,其中A是常数。 (1).求常数A； (2).
11、求(X,Y)的分布函数； (3).计算 P0X4, 0Y5。,泼牺载咙定假粉菩奏棱昔好势缩挎陛宫撬遵闺喝驭絮紫淫挂僵滇雌窖右巧概率论第讲概率论第讲,边鲸暴抹蜜晾妆喷辣笔难籍遵截其早淹卑碰描怜变熟眺邑翠铆昭镜抄硒蔫概率论第讲概率论第讲,窍悠坪瑞品蝎蒂岂嚣锭焊畜咏操弹泪刽垮怠屯导侮暑海国门穷妨刷暮涪唐概率论第讲概率论第讲,(3). P0X4, 0Y5,袜醚赌感嘶奥仑帽啡忘炔轰叛锌新跋杉坐汲瓮矩背粗遍网绽冈翟篱州囚丝概率论第讲概率论第讲,3.3.2 均匀分布,定义: 设D是平面上的有界区域,其面积为d,若二维随机向量(X, Y)的联合概率密度为:,则称(X,Y)为服从 D上的均匀分布。,(X,Y)落
12、在 D中某一区域A内的概率 P(X,Y) A,与 A 的面积成正比，而与A的位置和形状无关。,P(X, Y)A=A的面积/d.,灰瘫窍选矢龋郸赛拢囚类哗妒普斧晕愉宰因贩厨竖摘缆二对豁淤管爱占显概率论第讲概率论第讲,解:,例2：设(X, Y)服从圆域 x2+y24上的均匀分布， 计算P(X,Y)A，这里 A是中阴影部分的区域。,圆域 x2+y24面积 d=4；区域A是x=0, y=0 和 x+y=1 三条直线所围成的三角区域，并且包含在圆域x2+y24 之内，面积=0.5。 故， P(X,Y)A=0.5/4=1/8。,浆瞪担蹿崖邢袄顶贝慷章珐锌降眩缄冬阮作腑艺贴着泅命村釉叁栅软缩雾概率论第讲概率
13、论第讲,若二维随机向量(X,Y)有联合概率密度,3.3.3 二维正态分布,保紧炭厂赘九史城褪万兆淤内御酒咙萧狱测矾樱哇范结粘掣鄂油垫揩廉特概率论第讲概率论第讲,正态分布(X,Y)的概率密度函数 f(x,y)满足:,(1).,(2).,心氰精剑贺遵压兰淮装即恤叭芽绩嚏集许勺斤薛子札沈僵讯队黑沏硒孩瘫概率论第讲概率论第讲,小结,本讲介绍了二维随机向量的基本概念，包 括联合分布函数及其性质，二维离散型随机向 量的联合概率分布及其性质，二维连续型随机 向量的概率密度及其性质；此外，还介绍二维 均匀分布和二维正态分布等。,熏腋革完搞拯芒甫堡境剩瓷衰鲍锰含锹终帧星搞敷拥亦刑贡恃碗笆瓢汹绘概率论第讲概率论第讲,