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1、第十一章 马氏链模型 11.1 健康与疾病 11.2 钢琴销售的存贮策略 11.3 基因遗传 11.4 等级结构 宽 蝎 卿 落 绒 杭 微 咎 埔 岳 蔫 聂 妙 述 统 讣 期 悟 丧 蛀 庐 纲 愈 挟 统 讫 灿 塑 击 乳 痹 智 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 马氏链模型 系统在每个时期所处的状态是随机的 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性） 描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型 马氏链 (Markov Chain) 时间、状态均为离散的随机转移过程 晓 证 喻
2、 桔 敲 芝 撰 研 宛 花 粘 恕 檀 劣 湛 筋 卢 撩 缮 拷 周 束 脓 销 狐 箍 血 促 见 结 渺 烁 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 耳 将 学 缎 赶 耶 动 境 挝 非 李 晒 瑚 悍 彩 诀 通 胜 名 蜕 盆 希 癣 瑶 愚 铲 半 纠 绩 吟 绪 凌 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质 例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特 定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率 为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7， 11
3、.1 健康与疾病 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制 订保险金和理赔金的数额 若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率 希 陀 墩 羽 示 鹤 典 甲 号 汀 曙 怜 发 喂 萧 盂 安 斥 象 碑 堵 凋 泡 妮 牢 蕉 些 柄 秦 桨 雄 查 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, 无关 状态与状态转移 状态转移具 有无后效性 12 0.80.20.3 0.7 存 娜 憨 荐 涯 那 涉 供 急 厢 律 噶 贮 诺 荧 朴 荡 毒 裸 竹 瞧
4、燃 舍 韩 摧 福 韵 酷 寞 录 浓 板 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 n 0 a2(n) 0 a1(n) 1 设投保 时健康 给定a(0), 预测 a(n), n=1,2 设投保 时疾病a2(n) 1 a1(n) 0 n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关 3 0.778 0.222 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 0.3 0.33 0.333 7/9 2/9 状态与状态转移 12 0.80.20.3 0.7 1 0.8 0.2 2 0.78 0.22 咙 童 刮 行 弃 衣 器 霸 耙 吩 啥 福 原 清 敛 曾 冯 饿 高
5、愿 骏 垃 死 趁 驭 窝 旧 蔚 毋 公 萤 才 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 12 3 0.10.02 1 0.80.250.18 0.65 例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1 健康, Xn=2 疾病 p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡为第3种状态，记Xn=3 健康与疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 赁 曲 荣 夏 截 呀 俗 捎 毛 揖 呸 婿 弹 创 捏 接 济 硫 舱 彪 帖 掖 规 哈 朱 殊 捂 归 堰 刑 弥 彝 第 十 一 章 马 氏 链
6、模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 n 0 1 2 3 a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2 不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ； 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 则对于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态3不会转移到其它状态。 状态与状态转移 0 0 1 50 0.1293 0.0326 0.8381 航 袄 佃 鸣 肠 茸 馅 是 垣 逛 篙 握 颠 逼 握
7、 辑 辞 柱 亡 掖 藉 茹 缔 椎 芭 颇 籍 黑 攀 吠 通 芬 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 马氏链的基本方程 基本方程 翁 履 输 她 氦 肯 抱 牢 遂 棵 佐 宣 读 阑 棠 酶 农 锗 汾 腔 套 椿 舞 峭 变 哮 祟 蓬 尚 咕 计 呼 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 马氏链的两个重要类型 1. 正则链 从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态（如例1）。 w 稳态概率 骗 争 存 姬 公 嗜 杏 概 硒 骸 窃 其 片 编 抗 志 级 疼 休 净 厘 讨 东 矮 火 排 岛 肌
8、贫 魁 誊 他 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 马氏链的两个重要类型 2. 吸收链 存在吸收状态（一旦到达就不会离 开的状态i, pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有 限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。 有r个吸收状态的吸收链 的转移概率阵标准形式 R有非 零元素 yi 从第 i 个非吸收状态出发，被某个 吸收状态吸收前的平均转移次数。 独 簇 凶 片 泣 丘 摇 潘 钓 居 讨 罚 糟 藏 好 脐 辨 里 着 间 喝 邪 怂 对 锁 异 函 棺 定 湿 凝 掖 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 11.2
9、 钢琴销售的存贮策略 钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金 一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架 存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时， 才订购3架供下周销售；否则，不订购。 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大， 以及每周的平均销售量是多少。 背景与问题 旋 簧 器 哨 各 揣 痒 碳 躺 捶 釉 容 型 暇 恨 枷 框 幂 李 挪 摆 小 拷 邑 涟 篇 珠 押 拒 泉 淳 秸 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 问题分析 顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其 参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率 存贮
10、策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存 量可能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3。 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。 动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超 过库存）的概率不同。 可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会 的概率和每周的平均销售量。 琴 他 哩 郁 峪 够 挖 貉 瘸 营 车 炮 钡 洪 故 层 悍 狸 弱 读 会 袱 耪 盆 咯 螟 栏 媚 波 斩 歇 仕 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 模型假设 钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周1架 存贮策略：当周末库存量为零时，订购3架，周
11、初 到货；否则，不订购。 以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有 无后效性。 在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概 率，和每周的平均销售量。 已 靶 竿 愉 庇 星 跋 餐 搜 凯 汁 虎 危 逃 著 挪 拌 叮 牛 碰 疯 芋 璃 咀 八 沤 桃 缅 埂 筒 蚊 瞳 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 模型建立 Dn第n周需求量，均值为1的波松分布 Sn第n周初库存量(状态变量 ) 状态转 移规律 Dn 0 1 2 3 3 P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019 状态转移阵 败 抗 饯 者 治 粘 浩 氢 虱 囊 糠 梦
12、菏 弦 宦 额 拌 异 双 过 捏 降 羌 蔑 隶 袍 讯 涕 鄂 尊 谷 扣 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 模型建立 状态概率 马氏链的基本方程 正则链 稳态概率分布 w 满足 wP=w 已知初始状态，可预测第 n周初库存量Sn=i 的概率 n, 状态概率 浆 肺 砰 霸 佑 把 怨 渣 蛀 撤 岩 诅 豹 申 绰 桐 勉 犹 待 嫁 秉 徒 复 阴 注 蘸 辑 享 灯 辽 捣 烈 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第n周失去销售机会的概率 n充分大时 模型求解 从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。 1.
13、 估计在这种策略下失去销售机会的可能性 D 0 1 2 3 3 P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019 爱 球 送 医 漫 醇 喷 萝 牢 稽 尝 桌 帮 侧 瘁 邪 秩 云 明 魂 殆 茵 组 仓 冕 湖 你 二 捣 绎 啦 逢 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 模型求解 第n周平 均售量 从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架) n充分大时 需求不超过存量,销售需求需求超过存量,销售存量 思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架) ? 2. 估计这种策略下每周的平均销售量 削 俺 渴 尹 噬 葛 相 秋 圭 溪 镣
14、温 鸳 解 朋 烹 糯 幕 愤 脑 碟 若 争 八 汹 放 吕 晨 哆 痪 幢 岭 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 敏感性分析 当平均需求在每周1 (架) 附近波动 时，最终结果有多大变化。 设Dn服从均值为 的波松分布 状态转移阵 0.80.91.01.11.2 P0.0730.0890.1050.1220.139 第n周(n充分大)失去销售机会的概率 当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售 机会的概率将增长（或减少）约12% 。 郧 钾 督 手 苟 治 殷 咙 豺 峪 水 酱 闯 匆 砍 聋 念 孜 缮 谎 周 抖 沮 禄 菇 悍 恍 撮 勃 命
15、 董 筏 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 11.3 基因遗传 背景 生物的外部表征由内部相应的基因决定。 基因分优势基因d 和劣势基因r 两种。 每种外部表征由两个基因决定，每个基因可以是 d, r 中的任一个。形成3种基因类型：dd 优种D, dr 混种H, rr 劣种R。 基因类型为优种和混种, 外部表征呈优势；基因 类型为劣种, 外部表征呈劣势。 生物繁殖时后代随机地（等概率地）继承父、母的 各一个基因，形成它的两个基因。父母的基因类型 决定后代基因类型的概率 完全 优势 基因 遗传 谅 委 哟 频 慑 纹 魁 嫁 痰 赦 哎 房 扭 呕 耕 诀
16、割 尼 移 否 轧 坑 竣 模 脐 茎 哈 镀 妒 绅 屎 纵 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 父母基因类型决定后代各种基因类型的概率 父母基因类型组合 后代各种 基因类型 的概率 DDRRDHDRHHHR D R H 1 0 0 0 0 1 1 / 2 1 / 2 0 0 1 0 1 / 4 1 / 2 1 / 4 0 1 / 2 1 / 2 3种基因类型：dd优种D, dr混种H, rr劣种R 完全优势基因遗传 P(DDH)=P(dddd,dr)=P(ddd)P(ddr ) P(RHH)=P(rrdr,dr)=P(rdr)P(rdr ) =11/2=
17、1/2 =1/21/2=1/4 抉 氛 萝 芯 瓣 希 奢 招 男 褪 染 顺 诗 那 瘟 奋 奏 兑 喧 器 抓 八 腑 我 矛 桨 耪 肠 二 用 磁 培 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 随机繁殖 设群体中雄性、雌性的比例相等，基因类 型的分布相同（记作D:H:R） 每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体交配， 其后代随机地继承它们的各一个基因 设初始一代基因类型比例D:H:R =a:2b:c （ a+2b+c=1), 记p=a+b, q=b+c, 则群体中优势基因和劣 势基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。 假设 建模状态Xn=1,2,3
18、 第n代的一个体属于D, H, R 状态概率 ai(n) 第n代的一个体属于状态 i(=1,2,3)的概率。 讨论基因类型的演变情况 钳 兵 萌 苏 枕 抡 欢 紫 峻 暂 阿 成 瑟 撅 渤 胸 昧 谣 搭 抱 灵 稿 匆 嚣 琢 矮 脉 首 藏 幻 柴 溺 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 基因比例 d:r=p:q 转移概率矩阵 状态转移概率随机繁殖 膀 铲 菌 烙 振 阜 忻 将 饺 厌 封 地 嘶 紫 培 柏 和 谭 嘛 匹 滞 囤 倘 吴 罕 鞭 绊 凭 屯 憨 瞩 昂 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 马氏
19、链模型 自然界中通常p=q=1/2稳态分布D:H:R=1/4:1/2:1/4 基因类型为D和H, 优势表征绿色， 基因类型为R, 劣势表征黄色。 解释“豆科植物的茎，绿色:黄色=3:1” (D+H):R=3:1 随机繁殖 皿 榔 握 圈 寅 脏 哮 瓦 偿 傈 跟 译 扑 蚊 狸 距 嚷 祸 盗 垢 掸 临 责 旧 凯 袁 敏 言 摆 锌 瞎 施 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 近亲 繁殖 在一对父母的大量后代中, 雄雌随机配对繁殖 ，讨论一系列后代的基因类型的演变过程。 状态定义为配对的基因类型组合 Xn=1,2,3,4,5,6配对基因组合为DD,RR
20、,DH,DR,HH,HR 状态转移概率 马氏链模型 亿 掷 扫 氏 译 豌 叛 庸 幕 郝 闪 扑 郧 宁 峭 拨 卖 为 率 辈 恼 械 仇 味 渠 轻 赊 尚 毖 婪 沁 阅 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 I0 R Q 状态1(DD), 2(RR)是吸收态， 马氏链是吸收链不论初始 如何，经若干代近亲繁殖，将 全变为优种或劣种. 计算从任一非吸收态出 发，平均经过几代被吸 收态吸收。 纯种(优种和劣种)的某 些品质不如混种，近 亲繁殖下大约56代就 需重新选种. 近亲繁殖 欠 踩 暑 逆 挟 旬 暮 渝 沉 趾 腋 蜂 沛 右 啮 麦 懒 斑 嚣
21、险 缺 剂 册 辩 酞 故 慌 沽 猜 遇 正 铬 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 11.4 等级结构 社会系统中的等级结构，适当、稳定结构的意义 描述等级结构的演变过程，预测未来的结构； 确定为达到某个理想结构应采取的策略。 引起等级结构变化的因素： 系统内部等级间的转移：提升和降级； 系统内外的交流：调入和退出(退休、调离等). 用马氏链模型描述确定性转移问题 转移比例视为概率 塌 捅 憾 之 魄 梳 诊 署 坍 腥 剩 牵 催 热 豺 邵 智 诗 竹 孟 旦 芋 陀 赖 衰 鸽 缝 皋 锯 操 纫 斥 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一
22、 章 马 氏 链 模 型 基本模型 a(t)等级结构 等级 i=1,2,k（如助教、讲师、教授） 数量分布 n(t)=(n1(t), n2(t), nk(t) ni(t) t 年属于等级i 的人数， t =0,1, 比例分布 a(t)=(a1(t), a2(t), ak(t) 转移矩阵 Q=pijkk, pij 是每年从i 转至j 的比例 锑 馆 完 效 恭 穴 怕 睛 苫 控 优 李 构 缠 绊 闰 扇 那 痊 庙 费 轮 颜 轴 睹 冉 壕 美 喝 课 腆 采 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 基本模型 蔓 连 邀 卵 县 烂 诊 邹 寄 限 附 壤
23、毡 挡 威 臣 拢 瘩 碉 殉 冤 绵 蝇 可 零 妨 雌 赴 京 愤 泻 享 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 基本模型 基本模型 矛 遇 铜 铺 抛 瞳 续 领 箱 微 戌 阀 轩 盲 砂 枯 坚 烽 瓜 思 朵 幸 湿 臼 膳 萤 拈 版 疹 酬 裳 衙 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 基本模型 等级结构a(t) 状态概率P转移概率矩阵 藩 蝎 袜 羌 巴 舀 者 楞 铅 扛 患 涤 松 哑 况 瘦 邮 荚 环 它 匈 菠 憎 瞎 琅 缸 粗 出 趾 辆 驯 荧 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一
24、章 马 氏 链 模 型 用调入比例进行稳定控制 问题：给定Q, 哪些等级结构可 以用合适的调入比例保持不变 a为稳定结构 械 沸 襟 懒 救 拎 釜 设 勺 座 抬 目 角 牵 心 弟 帖 糕 图 杂 醉 搞 登 蓑 蛇 烁 孵 犁 蓑 儿 慌 毗 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 用调入比例进行稳定控制 求稳定结构 a=(a1,a2,a3) (a1+a2+a3=1) (0.5,0.5,0) a2=a1 a3=1.5a2 (0,0.4,0.6) a* 稳定域BB (0,0,1) (0,1,0) (1,0,0) A 可行域A 例 大学教师(助教、讲师、教授)
25、 等级 i=1,2,3，已知每年转移比例 喉 止 峪 绷 侍 梆 翼 幅 啼 慨 缩 领 仆 最 迭 官 降 量 潦 走 衫 清 诱 芋 识 缸 澳 幻 景 糖 瞻 糕 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 用调入比例进行稳定控制 研究稳定域B的结构寻求a aQ 的另一种形式 溉 妮 矿 幕 袜 拿 间 铡 乾 扶 无 曲 鸳 趾 椭 瓮 呆 奶 狈 渺 贴 芽 银 鞭 光 许 志 照 阎 途 远 虐 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 用调入比例进行稳定控制 稳定域是k维空间中以 si 为顶点的凸多面体 研究稳定域B的结构
26、 乞 入 柏 犁 叁 伞 铆 民 畔 佃 歪 盎 蔡 垮 崎 吁 魔 移 欺 书 咕 不 阐 档 蒸 际 睡 臭 依 驮 封 佛 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 用调入比例进行稳定控制 例 (0,1,0) (1,0,0) (0,0,1) 0.286 0.286S1 S2 S3 B 稳定域B是以si为顶点的三角形 预 股 柑 致 扰 讽 泄 除 敖 堡 旺 渺 助 商 牟 酉 类 李 粟 灵 屯 纷 惮 驼 苗 慧 沸 利 攀 霉 研 咽 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 用调入比例进行动态调节 问题：给定Q和初始结构
27、 a(0), 求一系列的调入 比例 r, 使尽快达到或接近理想结构 逐步法：对于Q和 a(0), 求 r使 a(1)尽量接近 a*, 再将 a(1)作为新的a(0), 继续下去。 模型 尼 拉 压 磺 夜 己 西 祟 辅 卒 庸 减 禾 桓 挡 斩 如 呈 腾 潭 卖 硒 府 港 芜 茶 末 欧 啃 优 证 贿 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 例 (0,1,0) (1,0,0) (0,0,1) a(0) 0.286 0.286 a* a(1) 用调入比例进行动态调节 求r 使a(1)尽量接近a* 摈 烽 为 搅 萨 敦 歇 阶 驳 忻 榔 歧 冰 缎 岭
28、 炯 祝 崇 督 琼 腿 陨 喊 擂 具 侧 烩 周 旧 皖 疹 灶 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 742356 0.639 0.361 0 0.165 0.165 0.670 0.747 0.253 0 0.207 0.207 0.586 0.827 0.173 0 0.235 0.235 0.531 0.883 0.117 0 0.253 0.253 0.495 0.922 0.078 0 0.264 0.264 0.472 0.949 0.051 0 0.272 0.272 0.457 r(t), a(t) 的计算结果 a(7)已接近a*观察r(t)的特点 用调入比例进行动态调节 1 0.5 0.5 0 0.1 0.1 0.8 r(t) a(t) t 涧 省 讯 簇 剧 弧 媚 双 哼 锰 当 桃 革 驳 涂 喝 泉 黔 贸 嫌 铺 块 显 廷 需 淳 祈 暖 粳 稀 遏 窑 第 十 一 章 马 氏 链 模 型 第 十 一 章 马 氏 链 模 型