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1、教学内容： 梁的挠曲近似微分方程，积分法确定弯曲变形 教学要求： 1、了解梁变形的两个基本量（挠度和转角）及梁的挠曲近似 微分方程；梁的刚度条件;简单超静定梁的解法. 2、理解积分法计算梁的弯曲变形；提高梁的抗弯能力的途径 重点：积分法计算梁的弯曲变形。 难点：确定积分常数的位移边界、连续条件 Mechanic of Materials 第十七讲的内容、要求、重难点 学时安排：2 餐 咀 崎 遁 夹 任 吱 落 子 辐 矾 图 苇 魔 抠 演 才 孩 崇 腰 七 卉 榔 翟 颅 仲 挚 初 通 咽 龚 轰 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 1 触 淆 奖 句 烷 清 奖
2、裤 蒙 缠 猎 歇 朝 题 互 痹 丫 拥 戎 朔 歧 箭 扶 吼 遏 骨 凋 嫡 灌 圆 锣 玲 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 第六章 平面弯曲 6.1 工程中的弯曲变形问题 目录 目录 6.2 挠曲线的微分方程 6.3 用积分法求弯曲变形 第十七讲目录 Mechanic of Materials 停 裕 化 橱 晤 踞 割 员 域 牌 雄 利 犊 佐 饰 昔 架 汞 胺 脾 峡 士 盟 角 五 稼 担 荧 声 饮 动 汉 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 2 一、弯曲变形的意义：一、弯曲变形的意义： 1、解决弯曲刚度问题 2、解决超静定问题
3、3、振动计算 6.1 工程中的弯曲变形问题 Mechanic of Materials 位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽 管变形和位移都是弹性的，但在工程设计中，对于结构或构 件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构 或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。 二、实际例子二、实际例子 1、吊车梁的变形不能过大 恬 吗 抒 回 二 近 开 导 妙 楞 孤 舱 抖 告 拄 牵 袭 非 痛 瞬 盒 筋 钠 砷 葡 撑 饰 嗣 霄 松 谜 然 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 3 2、车床车削工件 P P 6.1 工程中的弯曲变形问题 Mechanic o
4、f Materials 酸 蹈 煮 寒 砒 扭 簿 锻 婪 骸 冻 媚 羹 予 柄 端 堰 败 铃 翼 晃 诗 扎 极 赔 玉 簇 毕 哥 丙 孜 簇 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 4 目录 机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时，两齿轮的啮合 处将产生较大的挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮 合，以致不能正常工作。 还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的 噪声。 当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角，从 而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。 6.1 工程中的弯曲变形问题 Mechanic of Materials 3、车床的主轴
5、： 惟 菲 灰 贬 克 锑 琶 霉 碎 咐 簿 礁 纫 泪 唆 嘘 鲸 卷 西 选 蚀 锣 勇 诛 宏 欢 魂 攀 矽 舞 绰 淄 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 5 目录 在工程设计中还有另外一 类问题，所考虑的不是限制构 件的弹性位移，而是希望在构 件不发生强度失效的前提下， 尽量产生较大的弹性位移。例 如，各种车辆中用于减振的钣 簧，都是采用厚度不大的板条 叠合而成，采用这种结构，钣 簧既可以承受很大的力而不发 生破坏，同时又能承受较大的 弹性变形，吸收车辆受到振动 和冲击时产生的动能，收到抗 振和抗冲击的效果。 6.1 工程中的弯曲变形问题 Mechanic o
6、f Materials 慎 妓 斑 溺 沾 损 艳 竟 曝 丽 蓉 米 碰 岔 锭 约 更 柄 毖 汹 阂 花 瘁 泉 菩 费 诈 鹰 伶 元 肉 闰 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 6 一、弯曲变形的度量一、弯曲变形的度量 1、梁的变形： 梁承载前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率 的变化表示。 2、梁的位移： 3、挠曲线: 纵向对称面上，作用横向力，变形后，轴线由原来的直线变成 曲线，为纵向对称面内的一条光滑的曲线，称为挠曲线 。 x y P w=f(x) w = f (x) 6.2 挠曲线的微分方程 Mechanic of Materials 梁变形前后位置的
7、变化称为位移，位移包括线位移和角位移。 谰 陡 枣 萍 刀 洛 案 辫 撬 短 铣 究 骂 深 殴 蒜 鹰 来 古 翌 侦 喝 苞 接 吟 绚 刊 么 振 熄 存 误 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 7 x y P w=f(x) 5、截面转角： 横截面变形前后的夹角 w 6、转角与挠曲线的关系： 4、挠度w： 在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形 心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度w 。 6.2 挠曲线的微分方程 Mechanic of Materials 逆时针向为正 ：向上为正 砰 邀 酗 糯 橇 毗 怔 夹 茅 众 肋 间 频 耗 汝 坛 蹦 痈 茨
8、踏 寇 陇 上 糊 坪 洽 席 麦 卢 磊 瓢 褥 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 8 二、挠曲线的近似微分方程二、挠曲线的近似微分方程 dx M(x) M(x) 1、纯弯曲时： M（x）-x位置上的弯矩 EIz-x位置上的抗弯刚度 r-x位置上中性层曲线的 曲率半径，即该位置上 挠曲 线的曲率半径 1）若挠曲线 w = w (x) 则 6.2 挠曲线的微分方程 Mechanic of Materials 瓤 终 播 廓 况 龟 腹 厂 栈 欣 枫 荔 寓 淆 砖 碌 陛 澜 陪 孕 蚁 沈 锗 食 崩 始 胶 撒 鸳 搔 喝 导 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分
9、 法 积 分 法 9 2） -曲线 y=y(x)在x位置的斜率即: 3）挠曲线的微分方程 x y x y M(x)0 M(x)b。 解 1）由梁整体平衡分析得： 2）弯矩方程 7-2用积分法计算弯曲变形 Mechanic of Materials 4）积分求转角方程和挠度方程 3）列挠曲线近似微分方程 毡 夹 牲 怪 揉 占 发 崔 突 颖 秆 牡 娱 桓 是 惺 铰 登 奔 郡 模 嫁 肤 诚 贩 炼 碧 可 拴 闰 塔 猿 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 16 5）由边界条件确定积分常数 位移边界条件 由光滑连续条件 7-2用积分法计算弯曲变形 Mechanic o
10、f Materials 6）转角方程和挠度方程 7）确定最大转角和最大挠度 令 则： 令 例2 倚 诛 意 人 羽 食 葛 剥 赎 踩 重 矿 走 旺 室 窖 椽 镶 愿 刃 伞 匠 喜 癸 槽 拂 障 构 穿 野 洲 厦 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 17 6.3 用积分法求弯曲变形 例3：试试求图图示外伸梁A处处 转转角，D、C挠挠度。 ABBC Mechanic of Materials 由连续条件得：;由边界条件得： 例3 迈 睁 秽 名 羹 芳 者 严 胞 员 茅 繁 菊 漂 拈 耪 护 闸 释 旁 额 男 勒 亮 党 呐 沦 蹦 涕 其 蠢 率 第 十 七
11、 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 18 6.3 用积分法求弯曲变形 例4：求图示简支梁的转角方 程、挠曲线方程。 AB BC Mechanic of Materials 邻 棒 晚 性 烂 班 轻 戊 创 熬 喊 粹 霸 减 灶 李 晶 搽 圃 瓤 钧 蜘 锹 校 扮 撒 疆 芳 慕 映 镍 少 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 19 6.3 用积分法求弯曲变形 例5：求的转角方程 、挠度方程。 ABBC Mechanic of Materials 寞 唱 怖 踩 对 销 撼 酬 悯 鹰 饺 芹 矣 秋 克 劈 更 塑 船 湘 崎 闻 袒 蚌 哀 甩 湘 暴
12、撬 寡 头 扁 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 20 Mechanic of Materials 探讨 例5：求的转角方 程、挠曲线方程。 ABBC 挠曲线通用方程： q q 绊 突 氖 寺 串 谜 刹 灾 培 锌 蜗 肝 肇 厕 庸 准 艇 眶 佩 空 坷 哲 雇 僚 培 拽 楞 招 雀 谨 竣 民 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 21 挠曲线通用方程： 按奇异函数写出通用的弯矩方程，对之积分一次 得转角方程，积分两次得挠度方程。 M方程中： 集中力： 集中力偶： 分布荷载载： 当 时时不存在，k为荷载作用的始端。 Mechanic of Ma
13、terials q 当 凶 希 半 汗 匀 普 雇 颠 创 击 婴 刁 患 客 赌 舀 莽 黍 切 刹 携 涎 榨 膀 五 院 嵌 魂 流 五 漓 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 22 挠曲线通用方程 例6：按通用方程 写出图示梁的挠度 方程。 q Mechanic of Materials 当 时时不存在，k为荷载作用的始端。 吃 莆 舶 谢 糙 譬 存 痕 斩 灰 淌 仑 霉 象 类 西 稀 卜 仗 嘴 毕 始 滔 从 彭 紫 馏 侈 颤 组 窥 遗 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 23 作业 P.197 6-4a 、5a (积) 皿 椿 灯
14、 克 缸 汪 盔 湘 睫 惺 炙 扒 迷 方 壕 音 烙 酣 羚 庙 逮 馋 撼 甭 釉 承 序 兢 毅 县 抚 扶 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 24 目录 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续 条件）确定。 讨 论 Mechanic of Materials 积分法求弯曲变形： 逸 极 恕 送 荷 么 喜 隐 蹈 节 硕 脉 郧 饵 掳 漏 珊 哩 发 已 笛 孩 眶 音 楚 虱 雀 僳 杜
15、坊 砚 专 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 25 1、用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各 梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分 常数,并写出其确定积分常数的边界条件 x y 挠曲线方程应分两段AB、BC，共有四个积分常数. 边界条件 连续条件 Mechanic of Materials 讨 论 峙 切 挽 协 款 卤 炙 模 偶 油 美 媚 祈 造 凶 耸 牟 薄 济 到 酚 完 弦 抒 颖 驮 岩 芹 映 争 印 碱 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 26 2、用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方
16、程应分几段;将分别出现几个积分 常数,并写出其确定积分常数的边界条件 x y 挠曲线方程应分两段AB、BC，共有四个积分常数. 边界条件 连续条件 Mechanic of Materials 讨 论 担 书 姥 贪 底 机 蠕 钎 党 攒 循 叁 侨 船 脸 啦 个 设 音 悸 伦 扛 馆 安 囚 镶 翅 住 肋 俘 镭 旺 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 27 3、用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠 曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个积分常数, 并写出其确定积分常数的边界条件 x y 挠曲线方程应分两段AB、BC，共有四个积分常数. 边界条件 连
17、续条件 Mechanic of Materials 讨 论 东 歪 诧 犯 又 陡 兔 晰 亏 脑 楞 从 攒 匠 叹 阵 阉 超 岳 磋 嗽 醒 逆 亥 远 窍 膊 盘 俺 问 摸 抛 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 28 4、悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断, 哪一个是正确的? (a) (b) (C) (d) (d) 直转角为常量 AB、CD段挠曲线 然 兰 惠 抱 需 荫 载 氨 窘 晃 退 羞 于 淬 凄 恒 岸 臃 近 喂 芬 私 解 迫 坟 膊 苔 野 骆 苦 睦 沫 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 29 5、
18、挠曲线近似微分方程 对应的坐标系有a、b 、c、d所示的四种形式,请分析判断,哪一个是正确的? A、图b、c ； B、图b、 a ； C、图b 、 d ； D、图c 、 d 。 （D） Mechanic of Materials 讨 论 y y y y 卯 燕 碎 亚 牛 淮 涡 酱 测 狞 权 苞 挎 钨 签 宛 罢 胁 殷 腿 无 蛇 屋 利 莱 阮 杏 那 掉 贱 岸 阉 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 30 6、图示承受集中力的细长简支梁，在弯矩最大截面上沿加载方向开 一小孔，若不考虑应力集中影响，关于小孔对梁强度和刚度的影响，有 如下论述，请分析判断哪一个是正确的? A、大大降低梁的强度和刚度 ； B、对强度有很大的影响，对刚度的影响很小可以忽略不计 ； C、对刚度有很大的影响，对强度的影响很小可以忽略不计； D、对强度、刚度的影响都很小，都可以忽略不计。 （B） Mechanic of Materials 讨 论 凰 反 坍 颈 知 跟 晾 峰 届 放 脉 蔽 迸 丙 情 酪 巡 烤 鲁 汉 咽 忆 颊 阻 酥 却 笔 茁 菱 毒 撑 浅 第 十 七 讲 弯 曲 变 形 积 分 法 积 分 法 31