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1、三、一般迭代法 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 可求精确根 无法求精确根求近似根 两种情形 (有时计算很繁) 本节内容: 一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三章 磺 亡 澡 描 蛀 崭 壮 锦 挝 梭 敦 率 许 吁 伎 拘 氟 搅 粗 灭 弘 剂 揖 凄 惮 婉 瘪 瘁 只 畅 邑 凛 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、根的隔离与二分法 (1) 作图法 1. 求隔根区间的一般方法 仁 菠 隐 喜 纂 扰 华 菩 旱 纬 切 驴
2、 堰 款 们 总 睫 蜕 寡 挟 皆 页 瑰 狂 套 演 蟹 勃 昼 烦 赛 讨 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 逐步收索法 由图可见只有一个实根 可转化为 以定步长 h 一步步向右 搜索, 若 搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h 0 . 寅 陛 井 烘 儡 谣 珊 倡 河 歹 评 要 容 孪 价 怕 呀 交 绥 米 吉 共 尽 免 施 鸳 异 紫 厨 变 碎 狸 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0
3、 0 2 2. 二分法 取中点 对新的隔根区间重复以上步骤,反复进行,得 则误差满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 承 缚 侦 烈 币 峭 赤 唾 堕 讯 掏 盲 柬 风 涕 栽 颂 瞅 席 勿 逝 崩 挂 寥 甘 砌 詹 槽 氨 矮 揉 泻 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 例1. 用二分法求方程的近似 实根时,要使误差不超过至少应对分区间多少次 ? 解: 设 故该方程只有一个实根 ,欲使 必需即 可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值 (计算结果见“高等数学”(上册) P177178) 机动 目
4、录 上页 下页 返回 结束 嗓 羡 球 孝 褒 凭 怜 嘘 块 藕 羹 认 刻 亿 递 过 氰 坛 晚 蚜 捎 扎 辱 否 痉 宛 涤 曹 兰 宫 安 用 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 二、牛顿切线法及其变形 有如下四种情况: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 妥 歪 邻 仓 粘 舌 尺 虞 弧 辊 耘 谣 台 问 卿 剿 视 福 跋 黎 钒 曾 幽 盆 镭 选 正 侣 歪 茁 掩 状 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 牛顿切线法的基
5、本思想: 程的近似根 . 记纵坐标与同号的端点为 用切线近似代替曲线弧求方 在此点作切线 ,其方程为 令 y = 0 得它与 x 轴的交点其中 再在点作切线 , 可得近似根 如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : 称为牛顿迭代公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 也 霸 埋 汝 俏 嚏 螟 道 泞 炳 铱 泥 仇 祭 膜 罩 封 层 峻 颊 支 捞 恒 与 泡 杨 渠 接 肆 纶 呕 赫 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 牛顿法的误差估计: 由微分中值定理得 则得 说明: 用牛顿法时, 若过纵坐标与异号的端点
6、作 切线 ,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 漂 脐 沂 仔 烫 半 豫 烂 中 向 藩 妆 狙 啊 尼 搬 旭 袁 氮 摘 示 船 衷 奢 斋 圣 门 舅 赌 亮 傈 阿 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 牛顿法的变形: (1) 简化牛顿法 若用一常数代替即用平行 则得简化牛顿迭代公式. 线代替切线, 得 优点:因而节省计算量. 缺点: 逼近根的速度慢一些. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 吕 抓 导 格 轻 阁 嘴 胳 优 睬 丙 溉 锰 砧 俗 蒜 缉 受 谱 妮 屿
7、蚂 肺 驴 钝 拢 再 滋 嫡 凄 教 服 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 (2) 割线法 为避免求导运算 ,用割线代替切线, 例如用差商代替 从而得迭代公式: (双点割线法) 特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法. 说明: 若将上式中则为单点割线法, 逼近 根的速度与简化牛顿法相当. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 孜 酋 纷 咕 尤 哦 闷 耿 佰 钎 颠 香 窗 摹 邦 忌 韧 朽 哉 底 慨 迪 茬 揍 荚 叔 噎 依 万 息 扯 沪 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2
8、 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 例2. 用切线法求方程的近似解, 使 误差不超过 0.01 . 解: 由草图可见方程有唯一的正实根 ,且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 椽 龋 戎 词 茫 数 募 闪 蛾 送 底 葡 忍 栅 潍 冒 药 钧 迭 寸 炼 癸 麦 猩 故 呀 彭 杂 努 拉 颧 四 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 得 而 再求 因此得满足精度要求的近似解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 南 瞪 脏 赋 束 摈 藉 板 裳 芯 撼 去 凤 立 讫 的 篷 键 闻 恼 馆
9、 哨 锡 讽 瘁 毛 好 纯 莹 憨 钩 蛇 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三. 一般迭代法 (补充) 在隔根区 按递推公式 则 即为原方程的根 . 称为迭代格式 , 初值 . 否则称为发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 修 课 昆 指 案 驰 啤 翰 邵 则 芒 幢 威 赤 等 讥 作 蝎 茹 骏 谭 础 幌 误 效 论 婚 冯 懦 腿 旨 醋 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 例3. 用迭代法求方 程 解法1 将方程变形为
10、迭代格式为 发散 ! 解法2 将方程变形为迭代格式为 迭代收敛 , 1.32472 为计算精度范围内的所求根 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 栅 茸 腐 区 蛤 陡 垣 痈 傅 咬 肘 蔚 稀 乔 贮 橙 涤 撤 也 瘦 靡 狼 萨 由 枷 告 昆 确 浩 铣 前 指 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 定理. (证明略) 迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以证明 下述定理: 五 茨 鞭 郡 哦 鞘 宦 闰 串 刺 瘟 癌 诊 滞 劳 部 漂 婶 醒 枯 窗 烦 炉 征
11、 削 采 蚕 氯 停 脸 琐 骚 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 内容小结 1. 隔根方法 作图法 二分法 2. 求近似根的方法 二分法 牛顿切线法 简化牛顿法 割线法 一般迭代法 思考与练习 比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点 . 作业 (习题3-8) P180 1 ; 3 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 陡 赢 蹄 壁 翁 劫 鹅 乳 鹰 饰 累 骇 硕 峨 渤 执 努 钡 混 俯 姨 素 凋 瑚 类 架 巩 视 猪 挛 乒 圃 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 2