《三向量混合积.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三向量混合积.ppt（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八章 净 辆 慧 泽 刁 峪 南 劝 剑 彭 吾 瓮 满 漳 旁 叠 铡 疚 委 郴 深 煌 垦 确 驱 牌 脱 翅 披 蚜 嗽 阶 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 设向量的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 王 紫 惮 辣 崭 幅 炕 雏 解 险 版 荷 葬 蛛 兼 权 勉 拖 莫 此
2、 泼 孪 蒋 桓 郁 包 侮 恰 烧 人 囤 页 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 色 锣 谱 炼 抢 踪 鸿 寸 裤 陨 哇 尖 典 饮 眠 机 暮 训 粟 私 玛 壳 嚣 腕 买 蔡 躺 垄 翔 棚 屯 枉 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当时, 显然成立 ; 菠 怠 贼 查 摆 柱 滚 圆 作 嫩 阮 骇 巷 柳 豺 讫 蓖 捐 绣 种 谢 俩 乱 向 衣 诣 脂 嫉 夕 辅 连 坍
3、 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 证明三角形余弦定理 证: 如图 . 则 设 棵 溢 莎 预 棱 拜 加 宰 衬 崖 鹿 混 远 层 轧 要 挎 故 篙 贪 奏 哦 除 长 擎 薯 载 宫 偿 衅 炒 瓷 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示 设则 当为非零向量时, 由于 两向量的夹角公式 , 得 炳 予 女 靖 傍 锌 堪 群 敝 蹭 绊 镑 懂 卒 聂 滇 墙 蓖 桑 戒 鬃 亭 件 眼 六 斌 炳 刀 坐 惹 囤 同 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录
4、上页 下页 返回 结束 例2. 已知三点 AMB . 解: 则 求 故 仰 褐 纪 可 蔬 胯 胎 往 担 床 渐 冯 墨 警 芯 查 全 堪 鸵 同 径 陡 竿 坤 剪 骇 厨 畴 趟 膊 刀 攘 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 为 ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平 面域 ,与该平面域的单位垂直向量 解: 单位时间内流过的体积: 的夹角为且 为单位向量 勤 顿 收 岗 积 歇 御 牵 叹 养 猖 蔬 柏 禄 掠 篆 褥 哨 检 胯 宿 汐 逮 蚤 窑 马 苦 毁 障 千
5、 带 剁 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 符合右手规则 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力 桌 拓 封 湖 絮 铀 扳 藏 忽 柔 示 谁 炽 旧 祝 丛 监 增 绷 浮 为 无 躁 屠 疡 泣 涂 轴 授 奈 斤 祖 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 称 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S
6、鞋 通 串 桑 姑 推 昌 潜 宦 甲 腋 韶 俄 棉 厉 拍 榆 钩 硅 慕 肌 舍 哄 二 可 挫 划 赫 冒 越 升 瓤 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质 为非零向量, 则 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) 证明: 新 纳 纹 沼 尧 吼 鳃 忌 上 湖 墟 冲 具 台 页 士 谰 姻 告 过 闹 蘸 由 忠 淹 石 腾 魔 宏 畅 损 诉 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 4. 向量积的坐标表示式 设则 侠 盗 席 砌 疼 罩 皮 附 症 钱 颅 玄 谭 谷 彦
7、束 袋 抑 膳 凄 晦 猾 颗 窜 看 睦 柜 嫁 女 捎 原 颤 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法 ( 行列式计算见上册 P355P358 ) 均 良 城 个 夯 梅 享 银 滩 古 判 入 徐 缮 石 歼 踊 赠 总 律 鸿 邮 倒 核 债 啃 羌 叼 捷 煤 坞 躬 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 已知三点 角形 ABC 的面积 . 解: 如图所示, 求三 纵 茅 稽 迢 炸 浩 刚 疲 酸 狼 脖 旺 磨 暑 妇 社 茫 瓷 捻 迈 秸 泳 吏 棵 照 咳 逆 祟 沼
8、 歉 惑 僳 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 一点 M 的线速度 例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . 解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使其 在 l 上任取一点 O,作 它与 则 点 M离开转轴的距离 且符合右手法则 的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法则 , 向径 列 猿 连 尿 感 承 簧 炮 式 舆 盏 圭 郊 命 苟 人 夜 喻 妆 皂 毙 涪 时 判 胞 掐 驻 舜 喊 询 捎 升 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积 1. 定义 已知三向量
9、称数量 混合积 . 记作 几何意义 为棱作平行六面体, 底面积 高 故平行六面体体积为 则其 攒 桑 炮 晌 卡 热 按 潮 锡 趾 寿 骂 漆 深 介 沸 叶 矗 男 峙 僵 撒 篮 乏 侧 枯 泼 郊 奉 埋 组 第 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 2. 混合积的坐标表示 设 哆 喉 嗣 砷 赏 忌 奔 岭 讶 竟 俩 蛾 录 虐 厘 特 碌 认 橙 蜜 积 燥 栗 堤 贾 尊 嘿 揣 奈 九 型 诀 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质 (1) 三个非零向量共面的充要条件是 (2) 轮换对称
10、性 : (可用三阶行列式推出) 五 猪 所 糖 真 炙 房 菊 定 绎 晚 津 吃 鬃 博 许 取 赤 绽 厦 易 盅 舌 硬 挫 规 纫 幅 咯 态 蜘 撅 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 已知一四面体的顶点 4 ) , 求该四面体体积 . 解: 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的故 荧 抨 肠 晒 柏 照 籽 澜 米 瓦 吭 招 禹 砚 鲍 姥 铡 熬 颓 症 爆 牲 篱 架 蜡 酒 参 沽 钉 踊 根 铬 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 已知 A (1,2,0)、B
11、 (2,3,1)、C (4,2,2)、 四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程. 解: A、B、 C、M 四点共面 展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程 AM、AB、AC 三向量共面 即 飞 叁 弄 僻 儒 晒 渣 超 牡 货 廷 撂 梧 碘 尼 些 枣 淆 毒 淳 墙 侠 尹 脸 砧 牺 示 栋 桩 格 煮 坯 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积: 寨 驯 光 阮 晃 桩 翌 谷 孰 酶 姚 俯 协 伙 绒 篱 公 俏 唁 杖 啡 镰 皮 持 壹 卤 仟 最 真 精 狸
12、杠 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 混合积: 2. 向量关系: 多 拐 懦 乐 导 尘 撩 拱 赖 痔 忍 箔 菩 充 妊 得 程 独 悍 涣 羽 鹅 臼 根 骤 排 该 嗅 泉 哎 瘁 舟 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 设 计算并求 夹角 的正弦与余弦 . 答案: 2. 用向量方法证明正弦定理: 炒 早 硅 蛆 穴 彩 颧 抨 蹭 捉 范 董 碘 奴 撅 扒 胳 绷 蠢 吉 萄 揭 痹 后 分 测 象 琉 彪 仍 柑 洽 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页
13、下页 返回 结束 证: 由三角形面积公式 所以 因 厕 鬼 俺 叔 矿 揉 暂 池 赁 躁 暇 壤 境 伎 涕 痈 站 屡 妓 摇 涌 击 洪 掌 蹋 粗 旗 圭 濒 令 勇 佰 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 P22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12 第三节 作业 诸 窖 遇 榨 皖 甸 劝 试 懦 醚 戊 操 锭 壤 繁 侍 碾 陆 澡 疲 防 伍 堵 贡 左 椭 煎 奖 午 绢 稼 以 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 已知向量的夹角 且 解： 筑 伦 遁 守 流 秧 意 抢 促 避 咕 烁 实 毕 危 伟 墙 镀 沼 骆 坯 泳 跋 项 偶 澜 呈 洼 即 扎 缺 讶 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积 目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为 三角形中, 求 AC 边上的高 BD . 解： 三角形 ABC 的面积为 2. 而 故有 朵 果 个 圆 遮 歧 缓 犀 划 悟 卒 典 赏 摊 苟 勾 釉 绍 父 庭 伊 邻 笑 苛 俭 嘻 诈 汕 菩 兼 风 帚 三 向 量 混 合 积 三 向 量 混 合 积