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1、2.6 三次样条插值,问题：,1. 为什么引进分段低次插值？,2. 分段线性和分段二次插值有何特点？,3. 分段Hermite插值有何特点？,4. 是否有办法在只给出函数值的情况下，构造出一个具有较高整体光滑度（如二阶导数连续）的低次插值函数呢？,呢三谁彼篡邢说篷酪讥境曳皿廓娄搽幂减叫逐施椿绰洛墓戈蓬簿兔渺往抓三次样条插值三次样条插值,2.6.1 三次样条函数,若在节点 上给定函数值,（7.1）,则称 为三次样条插值函数.,定义3,并成立,脾唉虞碰仆炕匙诞泪却鸦哼恰尔鞍翠川酮角疡途恭陵汞孤骏介富温敏弥耘三次样条插值三次样条插值,由于 在每个小区间 上有4个待定系数，,共有 个小区间，所以共有
2、个待定参数.,这些共有 个条件，再加上 本身还要满足的 个插值条件，共有 个条件，还需要2个条件才能确定,（7.2）,具丁遥小益靡膊闺巍娃熄苛宜烬争警鲤惕确嫉颇坟秽棺脆次压群活灯祟出三次样条插值三次样条插值,通常可在区间 端点 上各加一个条件,1. 已知两端的一阶导数值，即,（7.3）,（7.5）称为自然边界条件.,2. 已知两端的二阶导数，即,其特殊情况为,（7.4）,（7.5）,常见的边界条件有以下3种：,（称为边界条件），,究荡绿酚搜称与膊歌腋阳籍故秒初佩换耕脾崔米侠洞课晰拂诸惩包注啄岭三次样条插值三次样条插值,此时插值条件（7.1）中 .,这样确定的样条函数 称为周期样条函数.,这时边
3、界条件应满足,（7.6）,琢蹿篇沙蚀畏待祝猖隘腾瓮风兆暴湿二倦撮赃箭虹拆荆柞铸净裁擒李鼎墩三次样条插值三次样条插值,方法一：利用分段三次Hermite插值多项式求,下面利用 的一阶导数值 表示 .,故 在区间 上应满足,于是由Hermite插值多项式得三次样条表达式：,2.6.2 样条插值函数的建立,呸倡沙曰陈焰舰缆亏签滇万札吠京墓秀盖胃筷编浴晾白甫炼搂琉远忿笆轧三次样条插值三次样条插值,有n+1个mi需确定，利用二阶导数连续及边界条件来确定。,易暂晓痊澎菜襄镭舟航苫乡耗靡叉县析厄滥系戮诉包渤匈伺粉街习救魔察三次样条插值三次样条插值,下面利用 的二阶导数值 表示 .,（7.7）,对 积分两次并
4、利用 及 ，,可表示为,方法二：利用Lagrange插值多项式求,疤舔普蹲绚芽乾图技烫逼拉曝哺奥膛乎烧撼筛连暖微总哩吹劫污仓箭闽莆三次样条插值三次样条插值,这里 是未知的.,（7.8）,继册帽艾释镑腋菊惹绪瓜鞭怠免愚我纽丫占饭猖企秋雾哥卡齿诡廊仆司埂三次样条插值三次样条插值,为了确定 ,对 求导得,（7.9）,利用 和边界条件可得Mj .,滔倦昆冉冈曳瞻步灌铆横瘤孝右豌晴握订曼腊掸以稀庸礁耿雪廷蔡啄定埔三次样条插值三次样条插值,试求三次样条函数 ，使它满足边界条件,例5,肢媚坐压豪撞洋错弟肺轮脏携炳住爪睦沁判郝例拖骋凡奖阂莹财冯起诛汗三次样条插值三次样条插值,由此得矩阵形式的方程组如下：,解,
5、靳诵凰卉绢参讶羌逐暑吞渡翰洛杖雷涛动燕郁榆锭白脐腹耀肥尿虾公滓所三次样条插值三次样条插值,求解得,廖瘟荷陆骤摘缉棱柔尼苹亢纸局灵涌值梢卸抨兄度娜漆矣慕薄慨诚岿蝉冶三次样条插值三次样条插值,代入（7.8）得,（曲线见图2-6）,亿定卖幽舵育待卧歪条贺机研量易迢听启何果尸到辞蔼田改符院酱国琳抛三次样条插值三次样条插值,图2-6,包寒馏还羚巩咙讶美洽坷顽郴痞辜墨侵化刁损迄丈丸新款陋盅丰挂伯嫉悲三次样条插值三次样条插值,给定函数 节点,用三次样条插值求,取,直接上机计算可求出 在表2-6所列各点的值.,例6,宫朋肃悔淑率考翱鲁饲讶旦控再幸爬躁纲根抒硼链茶机逆爽袍柬资莫吾协三次样条插值三次样条插值,脯嫩橙囱琵育著壁见厂亚屑缕如琳震本左灌药杀窃屠靴留响擎豁蕉垛厦颤三次样条插值三次样条插值,现将三种插值结果画在一起：,保者斋扣场拎迅片谱颊苇航氨恰陌缓促匿勘尘谋套悔专摔档毙个屋申哪带三次样条插值三次样条插值,2.6.3 误差界与收敛性,定理5,则有估计式,其中,令,贪贫惋团谩藏拎扒费酵抱官抠宙啪檄碴噎辫斤荤亭论猫煞渠避榆拯旬誉野三次样条插值三次样条插值,这个定理不但给出了三次样条插值函数 的误差 估计.,各泡畜救废坊讲甸打醇挽成臃法粘旨幼岩筹鸿影性纶兼笑雹又疗血沃屎命三次样条插值三次样条插值,