六节空间直线及其方程.ppt

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1、第六节 空间直线及其方程 在空间直角坐标系中： 一个三元一次方程表示一个平面； 空间直线 一个三元二次方程表示一个曲面； 两个曲面的交线表示一空间曲线； 两个平面的交线表示（ ）。 阉 昨 腕 陌 婆 抽 包 梁 窑 岸 釉 啄 顽 税 陌 声 仔 媳 擅 耳 酪 惰 善 胺 豹 省 臃 匣 仑 俘 妨 汕 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 第 八节 空间直线及其方程 直线的点向式方程 直线的一般方程 直线的参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 例题、练习与思考 铜 衔 饭 尚 咬 心 慷 涂 吞 慈 幂 茬 托 踏 凡 桅 予 把 扔 彪 炉

2、 殿 廊 缘 疡 恒 付 元 常 歪 刨 洁 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 一.空间直线的一般方程 实际上空间直线可以看作两个平面的交线： 直线上任一点的坐标同时满足两个平面方程,直 线外的点不可能同时在两个平面上。 L A B C L 昏 泌 付 坛 览 掷 亩 嚼 认 肪 咋 演 吟 临 忻 柜 烟 泡 约 摆 鼎 惑 鹤 丘 似 偿 愧 投 择 谓 蝎 喀 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 空间直线一般方程表示式 L 例如: 唱 膜 题 谰 米 扼 嘻 亢 甲 云 淮 马 探 抬 陪 肖 史

3、习 舱 谍 族 祁 羊 蔓 孟 状 服 昔 舍 狡 至 详 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 空间直线一般方程表示式 通过空间直线L的平面有无数多 个，从中任两个方程联立，均表示 空间直线L。 L L 犀 敢 洞 疯 六 佬 绍 逐 谚 扦 妥 艳 脉 呐 圭 稗 祖 变 渗 虾 坏 细 呛 耿 涛 拼 玩 渤 恢 补 隧 裴 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 二.空间直线的对称式方程与参数方程 直线的对称式方程 （点向式方程） s M(x,y,z) x z y O 砧 尿 欠 个 挚 托 县 渤 市

4、淑 冯 愿 甜 哩 乙 俏 霜 斤 蚊 廖 晦 谷 籽 泪 尿 遣 堕 沫 液 垫 犀 笔 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 1.对称式方程(点向式) 方向向量: 如果一个非零向量s平行于一 条已知直线，这个向量s就叫 做该直线的方向向量。 直线上任一向 量都与s平行. L s 对称式方程的建立 依据： 过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直 线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向 量s，则直线位置完全可以确定下来。 s M(x,y,z) 秃 锈 憾 两 脖 掠 仆 罕 凌 恰 掌 谨 浅 滋 糕 税 入 隋 豌 阑 兰 袋 键 颇 包 护

5、钮 睦 蒸 厂 果 趁 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 对称式方程 对称式方程的建立 已知直线L上一点 与一个方向向量s=m,n,p，M(x,y,z)是 直线上任一点,则 （1）向量 与方 向向量 s=m,n,p平行； （2）两个向量坐标对应成比例；即有 称之为直线对称式方程. 镁 臻 弦 伶 浇 擒 宦 熔 荣 赂 垒 日 涣 橡 攘 彼 告 摸 膘 俏 旁 谭 麦 藏 煌 萝 妙 竹 嗣 檬 拓 叠 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 方向数与方向余弦 方向数：直线的任一方向向量的坐标，即 设直线的

6、方向向量 s=m,n,p,则m,n,p为该直 线的一组方向数。 向量s的方向余弦叫作该直线的方向余弦。即 含 涝 亿 琼 褒 舔 漳 雌 怀 飘 悠 峙 羡 监 籍 硒 冷 拙 滦 踢 虞 刃 穿 钥 憨 队 饼 打 钉 胃 荐 皿 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 三.直线的参数方程 由直线的对称式方程可以导出直线的参 数方程。只须设 则有 这就是直线L的 参数方程. 这里t为参数. 闺 恋 胯 贞 闽 悍 纤 烩 听 蓝 状 允 全 肚 吞 近 剁 痪 赦 韵 得 铂 恬 炽 桅 爬 煤 英 印 然 且 雹 六 节 空 间 直 线 及 其 方

7、程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 例1 求过点M0 (4,-1,3)且平行于直线L1的直线方程. 解 设已知直线L1的方向向量s1=2,1,-5 所求直线L方向向量为s， 因为s平行s1可取s =2,1,-5; 又因为直线L过点M0 (4,-1,3)， 故，所求直线方程L为： s1 L1 s M0 苹 常 饵 并 谗 驰 蛾 惕 疤 梳 寓 敏 夜 淋 齿 咱 饯 剖 围 烹 耙 恢 饭 要 获 含 衣 秤 洗 饿 湃 匀 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 例2 求以下直线的对称式方程 解 （1）求s, 已知相交于 直线的两个平面法向量分

8、别 为n1=3,2,4,n2=2,1,-3, 则有 即 s=-10, 17, -1. (2)求点M0 , 令方程组中 z=0,则由 点的确定方法不唯一. 也可以令y=1等等 得M0 =(-9, 19, 0).故所 求直线方程L为： 八 滑 负 柞 镇 逝 枉 速 览 蕉 娟 忘 眨 烧 攒 贺 锐 奇 揍 英 揖 贰 蒜 畜 恼 贸 翅 狈 叹 烦 扇 苯 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 四.两直线的夹角 两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的 夹角（锐角）叫作两直线的夹角. s1=m1,n1,p1 s2=m2,n2,p2 L1 L2 权 象 菌

9、 柔 驴 睛 晴 几 搁 绷 单 镊 芯 边 培 渴 乎 抠 曾 恼 侦 丸 箭 墅 傍 嘴 俱 吨 乞 播 扎 店 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 设直线 L1的方向向量s1=m1,n1,p1, 设直线 L2的方向向量s2=m2,n2,p2, 则直线 L1与直线L2的夹角的余弦公式为： 两直线的夹角的余弦公式 征 厢 俱 郊 合 揽 肩 秋 失 授 逃 舱 皖 饱 姨 升 墅 哑 伏 冉 轻 囚 拣 喉 憾 狂 佳 撑 曳 钟 思 领 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 两个结论： 1.若直线 L1与

10、直线 L2平行，则有 两直线平行图示 胰 事 猿 梳 铝 阿 詹 贵 拼 诬 碴 睡 邮 霹 唉 删 弘 濒 孵 莹 氢 窥 魔 拎 拽 痔 碾 通 托 峦 抒 饲 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 两直线垂直图示 2.若直线 L1与直线 L2 垂直，则有 图示 蹄 委 堵 诉 尖 材 垮 身 膀 著 嘲 咸 产 夺 燎 莉 褒 闺 蓟 能 拷 殿 吐 恕 疫 秒 午 颊 越 吵 浮 滚 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 例题 已知直线 解 由所给方程知 s1=1，-4，1,s2=2，-2，-1， 代入

11、夹角公式可得 求两直线的夹角. 翰 狡 鸟 匿 娇 抨 包 豌 函 谚 哲 椿 蔬 印 房 聊 卜 圃 盎 宁 惰 辽 吩 霹 婆 咋 吠 周 厂 惋 淄 泞 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 四.直线与平面的夹角 定义直线与平面的夹角 设直线 L的方向向量 s=m,n,p 设平面的法线向量 n =A,B,C 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平 面的夹角.记作. 影 剃 啦 厅 娠 缺 粪 超 跌 领 磕 肛 瑚 馒 培 拜 股 扭 谚 呐 塌 懒 译 疗 棕 胎 蹭 纫 脂 男 涕 咙 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直

12、 线 及 其 方 程 Ax+By+Cz+D=0 n=A,B,C s=m,n,p L 直线与平面的夹角（图示） 这是平面与 直线L的交角 这是直线L与其在平 面上投影的交角 悬 甄 单 幻 昆 凳 竹 臀 搂 狰 贮 茄 孝 层 海 述 派 捧 砚 胡 嚼 散 潜 篇 浚 鞭 研 梆 可 斋 自 磁 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 四.直线与平面的夹角 夹角公式： 已知直线L的方向向量为（m, n, p） 平面的法向量为（A，B，C），则有 n=A,B,C s=m,n,p 康 杂 斤 砷 玄 芹 秸 攒 蔓 挤 住 常 类 那 萎 骤 构 赡 孩

13、握 抗 绎 耘 念 慕 盛 候 磕 掉 崔 蕉 稗 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 两个结论： 1.若直线 L与平面平行，则ns，于是 n=A,B,C s=m,n,p L / 图示 L： s=m,n,p Ax+By+Cz+D=0 帮 咖 沼 舅 风 义 陡 矗 多 铀 铭 妹 曳 姑 荧 巩 钩 效 兹 狱 沾 蜒 斑 刽 烯 霓 街 锭 剑 糕 弧 僻 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 2.若直线 L与平面 垂直，则则ns，于是 n=A,B,C s=m,n,p L： ：Ax+By+Cz+D=0 你

14、名 沥 便 削 募 袋 讲 奥 庆 茸 羞 辨 望 钩 锁 设 准 逗 骆 搽 胰 豺 置 耍 所 犁 馒 语 这 绩 仑 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 平行 练习 思考 讨论 确定下面直线与平面的位置关系： （1）.4x-2y-2z=3,与 （2）. 3x-2y+7z=8,与 （3）.x+y+z=3,与 直线在平面上 垂直 关 陕 驻 扮 责 晚 膛 劝 下 淮 逆 孽 沪 览 借 咙 蓟 短 官 枯 傍 敝 拜 感 硅 扎 泄 残 叉 谗 舍 喇 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 求直线与平面交

15、点 n=A,B,C ：Ax+By+Cz+D=0 L：s=m,n,p M(x,y,z) 图示 怎样才能求 出交点M？ 篱 蒙 巩 詹 周 肛 铁 愚 氧 醋 淹 乏 皋 课 磐 翱 捏 抖 惦 花 彦 装 参 鞋 亚 冲 骑 践 鞘 怪 嗡 饰 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 例题 已知平面 2x+y+z-6=0及直线 L 解 令直线方程 求其交点. 得 x=2+t y=3+t z=4+2t （1） 代入平面方程， 得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)-6=0 整理得5t=-5,即t=-1 将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2.

16、 即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点 解法2，将直线方程化为一般式与已 知平面联立解得. 若 愁 线 磨 龋 同 谩 板 夜 涩 考 袜 堑 摄 沏 寄 残 票 傈 奖 樱 丛 巢 仑 列 滔 幸 晨 灯 棺 膘 闽 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 L 五.综合例题 解 （方法一） (1)过点P作平面垂直于直线L，则 平面法向量 n平行于直线方向向量s ，即 n P Q s n=2,0,-1,P(0,-1,1), 得平面方程 2x-z+1=0. (2) 求直线与平面的交点，解方程组 y+2=0 x+2z-7=0 2x-z+1=0 即得 Q

17、（1，-2，3） (3) 即为所求. x=1, y=-2, z=3. 图示 1. 求点P(0,-1,1)到直线 y+2=0 x+2z-7=0的距离. 堂 秉 令 剪 仗 姑 反 瞧 韦 害 邦 圃 婪 薄 顽 旦 懦 彦 滴 第 奉 屏 间 跌 叙 玄 派 贼 闲 拼 峡 侗 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 L 五.例题 解 （方法二） 以 |PQ|为高作一个平行四边形 如图。则d=|PQ|= 平行四边形 的高。 P Q s (1)在L上求出一点M0，不妨令已 知方程组 z=0 可得 M0(7,-2,0). (2)由上面知 s=2,0.-1,另作

18、向量 于是有 M0 1. 求点P(0,-1,1)到直线 L的距离. 图示辑 瑶 抉 夯 愚 颖 旱 光 唱 敷 债 弄 机 哲 赠 旭 逝 卑 赢 汽 怯 呆 奇 芍 厚 粹 祷 共 清 倘 攒 钧 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 续上 (3) 即为所求. d 即为所求平行四边形的高PQ. L P Q s M0 1. 求点P(0,-1,1)到直线 y+2=0 x+2z-7=0 的距离. 图示 由向量积的几何意义知： 平行四边形面积 趴 道 活 亥 圈 篮 衷 鸣 炳 买 就 研 磨 臣 硅 系 版 莱 柳 损 继 茂 许 沧 淮 舟 魄 乍 幂

19、迅 忘 叙 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 五.综合例题 （直线方程形式互化） 1.将直线化为参数方程 和对称式方程. 解 （1） 求参数方程， 令 ？ ？ ？ 此即所要求的参数方程. 癣 尿 阀 喧 哦 黄 鞭 旁 济 晶 勋 膛 娥 瓢 怜 柄 樊 灿 归 静 悲 饿 嘴 爹 钒 吃 杭 靛 极 塘 霓 哪 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 2.将直线对称式方程L化 为一般方程. 解 （2） 求一般方程， 由 ？ ？ ？ 即为所要求的一般方程. 防 隔 取 颊 装 斑 枕 拷 誊 坠 蚕 缩 翱

20、宫 玻 似 呻 踢 筛 奖 以 农 惶 衔 唐 沈 史 解 删 踊 媳 命 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 3.将直线的一般方程L化 为标准方程 （即对称式方程）. 解 先求点Mo，不妨令y=0, 则有 x=1,z=-2，即 Mo(1,0,-2); 带回标准方程，得结果如左 . 再求 s, 由 泌 爱 虫 适 豁 佬 重 仍 喷 擂 卷 颓 拢 翱 喀 苦 敝 冗 淋 魁 痛 邱 许 庭 丝 停 勿 冗 于 帅 搪 捕 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 练习.思考.讨论 1.求过点A（3，-2，1）且

21、垂直于直线 的平面方程. 2.用参数方程与对称式方程表示直线： 梨 履 做 歹 旧 毡 跪 禽 畸 丧 济 源 著 巷 挚 耗 盗 哩 韭 叉 葛 死 陨 痢 挨 翔 廷 豫 懈 捆 泛 眨 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 3.验证两条直线 L1,L2是 否共面.其中 答：共面.可以由前三个 平面方程联立解得： x=4, y=5, z=-7, 代入第四个平面方程检 验，满足该方程。 提示 任取三个平面方 程联立，解出交 点后代入并满足 第四个平面方程 ，则两直线共面 吩 濒 列 击 贼 形 俗 挥 拈 绪 畔 色 疗 邯 帧 汽 虞 睹 坑 切

22、万 绎 飞 靖 烛 魄 粒 冕 憎 粒 翰 瞩 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 4.证明两条直线 L1,L2 相互垂直.其中 证明：由已知 先求出两条 直线的方向向量 ，再由两个方向 向量的数量积为 零证得.提示 津 扦 励 蝶 肪 愤 身 寓 雹 胆 庐 捏 锻 峦 吃 涸 欲 美 芽 绚 特 腑 杨 暴 吧 锥 掺 敛 俱 御 锣 臆 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 小结空间直线方程：（用三元一次方程表示） 向量式 一般式 点向式 参数式 曹 芜 钾 躲 藩 掘 阅 笨 撩 逻 脾 谩 慕 汁 馏 皮 特 炒 材 吻 夯 柄 淖 狐 手 莫 复 长 佃 耽 趣 唤 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程