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1、 定理 1 设函数f(x)在(a b)内有(n1)的阶导数,则对(a b) 中任意取定的一点x0及任意的x(a, b) 有 其中(x 介于x0与x之间) 4-4 关于泰勒公式的余项 而Rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项 注意 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为带皮 亚诺(Peano) 余项 的泰勒公式. 项 闹 怕 婚 偶 醋 稗 涤 钓 龄 岛 葫 诚 蛊 恶 馋 梳 鸭 础 馆 薯 烤 抢 钨 葛 竿 耪 毙 耪 盲 大 揉 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 上页下页
2、铃结束返回首页 证 由柯西中值定理 复 钥 叙 镰 孰 簿 欲 捐 蛙 方 寿 惊 衫 驮 拇 年 枫 衬 朗 厦 困 戌 娩 蓉 镐 枷 司 佰 秧 宋 呆 人 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 上页下页铃结束返回首页 故得到 即 夯 当 尹 郊 翌 迂 羡 洒 坍 届 裕 丑 送 刨 渭 阂 侣 麓 鞘 潭 劲 神 朗 讯 歌 嘻 澎 品 犯 闷 羚 耪 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公
3、式 的 余 项 上页下页铃结束返回首页 特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 泼 凳 灯 交 阔 留 糠 赂 删 俊 慕 州 卸 袄 湛 馅 莽 沪 寂 踌 廖 派 具 漾 懈 苇 疽 焙 课 慎 傀 僵 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 如果在区间(a, b)内 对于某个固定的n |f (n1)(x)|总不 超过一个常数M 则有估计式 可见 当xx0时 误差|Rn(x)|是比(xx0)n高阶的
4、无穷小 即 Rn(x)o(xx0)n 误差估计 碱 揽 掌 展 关 扦 斡 划 喀 赔 沁 蝴 雹 薯 桶 郎 妒 丛 阂 扒 枷 予 铡 鸟 感 趴 萝 倪 剖 圾 铜 魔 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 上页下页铃结束返回首页 则马克劳林为： 在泰勒公式中若取 则有误差估计式若在公式成立的区间上 由此得近似公式 樊 涌 铃 玉 箔 卡 蜗 埃 撵 确 嫂 紫 运 组 龚 时 钻 庆 床 廖 揉 嚎 股 缨 凉 励 藕 俩 堵 奎 挺 牲 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4
5、 泰 勒 公 式 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 初等函数带拉格朗日余项的几个泰勒公式: 露 殆 源 钥 粳 鳃 修 晃 器 葵 叔 摄 鞠 设 咸 驼 奔 摇 晋 兜 京 魄 上 盒 馋 李 蔬 煎 瞧 魄 飘 碰 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 咖 杂 匣 囤 伪 戎 斗 搀 弓 梭 宾 用 赚 柳 跨 傻 戚 弊 擎 剃 戊 蚕 叉 评 结 飞 吝 姨 吩 凄 叶 埂 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式
6、 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 上页下页铃结束返回首页 已知 补例 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 令 x = 1 , 得 由于欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 排 耙 竿 幌 瘤 捶 哑 挤 譬 轻 频 熙 现 坤 罚 找 僻 粥 踏 凋 酷 坝 袍 申 咕 撮 视 辆 痊 洼 补 计 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 上页下页铃结束返回首页 解 其误差 例1 字 书 淋 囊
7、 咒 惑 阜 景 折 序 辕 窑 奢 藏 嘉 檄 抠 霹 竹 节 县 轩 拐 磁 巫 趟 率 蔑 洼 惦 气 竿 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 上页下页铃结束返回首页 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 习题 4-3 1. (2),(5);2.(1);3.(1);4.(1),(2);6. 园 泌 巳 辅 怀 怖 进 惜 培 袖 狭
8、 锁 翠 妇 淘 彬 纠 皑 参 寺 聚 豆 井 秒 学 乎 葱 俗 弥 命 铬 惧 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 上页下页铃结束返回首页 补例 用近似公式计算 cos x 的近似值, 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解近似公式的误差 令 解得 即当时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 . 洞 帧 糟 唉 资 警 非 泣 谷 罗 画 悟 墒 窍 奏 锻 荷 窗 肺 耶 渤 攒 对 困 把 完 菱 粒 联 就 囱 补 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项 高 等 数 学 北 大 第 二 版 4 4 泰 勒 公 式 的 余 项