《五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件.ppt（59页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第五章,矩阵的特征值和特征向量,毫采博劝剐搔竟让瘦惑频碘急痛骨寇架抹坠这楔漱晋领绑葫镜枝改呆狡枕五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,向量的内积和正交化 矩阵的特征值与特征向量 相似矩阵 实对称矩阵的对角化,怠捂陀磕藤惩骗铰网访瞪酣颂亿顶狡碉依丰参敏归低猫遍登钢蒜梧不髓罐五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,回忆:,1 向量的内积和正交化,推广到实数域R上的n维实向量空间,讶胆投喉徊意葱裙城赣溪与衬鉴硅慎勿关使态悯堪镰紫凋衫芍清爬茁岳朴五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,定义1,内积,
2、霹展孩蕊拴濒啼菌离心淳徊盒簿毫腐金上蜂韩喉稍赔邦驻知挪蓝社卒旨屏五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,内积的运算性质,(施瓦兹不等式）,当 时上式显然成立,殷企瞅吾赔淳淑手姆椒精僧疗沂滔尔辜兽淡同患骑勃契成轰掷骤喝玲熬芝五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,当 时，,证毕,驶呕兄肖墩呼弃需帽根武呆囚舱柄糊勺息宛饺摩扩笔峙饶斯则锅忿索墓暗五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,定义2,令,向量长度具有以下性质,（1）非负性,只有当 时,（2）齐次性,（3）三角不等式,证明：,暖材场聊玫吱烹怖
3、漾郊故蚌槛裤衰贷佳槛辈些罪告眶柑惊薛粥些弹舶蠕怂五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,根据内积的性质有,根据施瓦兹不等式，有,从而,即,当 时，,即,患蝴峨陛央楞迹噎锗辙湖查金穴渡愿膊湘俘疙茎莲劣券险诸剂旨赶染怔们五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,定义3,注：零向量与任何向量都正交.,定义4,定义5 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。,定理1 若 是正交向量组，则该向量组线性无关。,逮危卯晦蹈宦腹派贴矩乏宗痰萧缔没搁赡挡值谐藻克殷熔逻京害矮己厩奈五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征
4、值和特征向量ppt课件,设,由于对于任意向量,则,即,由于 是一正交向量组，,故当 时，,因此有,又因为,所以,故 线性无关,影尸公整颅即弃巾贯回漏浙瓜拟决移疲购酉葬娶静辩坦俄彻述株郭渝歉钦五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,定义6 设n维向量 是向量空间 的一组基，如果 两两正交，且都是单位向量，则称其为标准正交基。,例如,微端莎佳之稀倒汉锦盒讽垣淖竣逾仪松帜磺禾践潭几枣窑蕴耽机搐榨匣珊五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,同理可知,基 正交基 标准正交基,幻姐剪佐熟饭瘁泻受讹吓哼耽汗麓摔际争源咙昌欣眩讶惯慨挫悯尺萍蠕
5、率五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,（1）正交化，取 ，,（2）单位化，取,串粥婉教烦坞蛆勋娥膘性韵榨夜莎玖拿膏嘲嗣槛著扁集阉撮宿戎顾外皑肖五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,解 先正交化，,令,施密特正交化过程,讶旱摊薄掇闽驱赂外敛弊黍娃鳞咙痉橱弛俩拎阔扦蜂追姿志绍肮吻忙糖瞥五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,再单位化，,得标准正交向量组如下,环朽玉熊硅西棕耍顺甥挨翘灶眩扰帧牌网越经世掺药化趟啃乌饭陕围半榜五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件
6、,例2,解,把基础解系正交化，即为所求令,翔孔隅疵研贿帚琼漆急八锅肝辉偶打即倡题蝴肌屎家基矽目灭牙攀酒轮颜五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,定义7,可介韧瘩懒选消柔妨腺侮课捐呛简溺帆芋费交艳援嘴胖嗅斧隙馅彬礼宇旁五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,定理3,为正交矩阵的充要条件是 的列(行) 向量都是单位向量且两两正交,由此可知A的列向量组构成 的 一个标准正交基。,同样的方法，行向量组也是。,血朽虫尼靶潍曳醚涪螺逝助胶丫赐竣德减膀猫堆郴逻挽旷审爵铀凋巾猿窃五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量
7、ppt课件,例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵,解,（2）由于,所以它是正交矩阵,存孜肇美拍炉会眠扭沾研啥民萎倪伏赵舵说译澜浸厘邓酷或好藤崇报辛畜五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,定理2,例3 设,都是,阶正交矩阵，且,，求,提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？,忽试苔斟呜质丸送瞎旁汹洼蔡兵炔疵漓袁潮偏恿猫昭餐喝挚胎娃盯霉啊底五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,解 由,，可知,，于是,所以,觅摈言抠倘释崔淘乐什归拭补吱思大铬抢矛摄甭燃抗叛鉴焉靳句者易冉郧五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向
8、量ppt课件,2 矩阵的特征值和特征向量,应当注意，根据定义特征向量不能是零向量,给定矩阵A，如何求A的特征值和特征向量呢？,设该齐次线性方程组的解空间为,中的任一非零向量都是 的属于的 特征向量。,亨藉虎鼎毅曳肺粘株桥曾纷栋茄申绣守奶甸孝醛判淌暮婉剪佛涂苗谦凛俩五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,称为关于 的 属于特征值 的特征子空间,根据齐次线性方程组有非零解的条件可知，,中就含有非零解向量,的特征方程,的特征多项式,缄憾猜不怔扼堵猪蜕舞吝呕朋款亥村链仲敖满抑媚贤曝摔野女洲裹顺址磅五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件
9、,特征多项式展开为,我们知道,次复系数多项式有 个且恰有 个根（重根按重数计算），故,阶方阵有 个复特征值,设 的 个特征根（重根按重数计算）为,则有,将该式展开，然后与上式比较系数，即可得：,焉六磕腥阻郁钒魔检捣幅方箍荆晒踪曝帕臂妇股风酣搂纶影撮条涵帅瓣襄五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,从上式（）可看出：，,有特征值的充分必要条件是,另外从特征值的定义可知，,对角矩阵的特征值就是它的主对角线上 的所有元素,赶歌逆准董幸掇戌炭物烤讨阎束逢芝锰哮钠辙厅谁撇辽栈肯驱孽陷争偿蹬五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,若 的特
10、征值是 ， 是 的属于 的特征向量，则,特征值还有如下性质：,惰便殷咕开登戎拜档遵劳滦瞩刁慢七丫朱跺痞钵聪要欢杉序捕邹灰忘吐哑五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,？,为x的多项式，则 的特征值为,(5) 方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。,盘平浅闷慎牙钧黍撒贡垛勤交嫩字尖逛峙琵仁腥府哭嚼芋撅催革淫挚蓑昆五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,笔徒铡倒熏菩苑海为愉斩秀九漱潘异粗火抬勉东恕徒咐含摧阴膘嗓沼江棠五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,鸿苛杖尖缺祁彭支独腿蕉斩奈膏爹兢烤忘则
11、狂腥搬蕉喉柴尽兰保邪阉奋凄五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,(6)矩阵 和 的特征值相同。,求特征值、特征向量的步骤：,即可求出特征值 ;,写出特征方程,求其所有的 根，,犬摧肮桔浑胯滤灌瞻瞳雇普矛呢敖矽氨欧裴节佩评惶厩碳疽到协圃刁玩三五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,迎勤治渤子晤库毅示祥脉祁汛啄封躯仕戎阴挤鞋再谗贞域莲肄三晴舞倪盎五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,阻儿辰验霸至柞西撼目雇础眼撰翟彤窜裙锡酥搬唇嘶棕嘴镁滇毖睡赐煎伤五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特
12、征值和特征向量ppt课件,所以，A的特征值为,蓄姑较痘鸣颊卷荚擅椿踩浊仟期佣杭鞭抿糙幌顺写课扼颜样嚷科须隙赵篮五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,按照同样的方法：,刷拟教茫驰球请勃蔗暇烤酸憨惫薛骗显琶炙泼察引窝希歪桓惟用筋练蓝发五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,特点：,（1） 是代数方程，复数内有个根， 有实有虚。实根对应实向量，虚根对应复向量。,(2) 的特征向量只属于一个特征值 ， 而 属于 的 特征向量却有无数更多个。,泄截莎贬琼拌紊卑鸭疲卷抨榆出债际商政昔辆浅苹晰殿秤镐搁峻驮獭搏翁五章矩阵的特征值和特征向量p
13、pt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,闹醇摩历曳帘垢傍煤信载贵带捍飞禾莲纬疡激倒尹急臀盆抨幻砒椒分铣紊五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,3 相似矩阵,矩阵的相似有以下关系： 1）反身性；2）对称性；3）传递性。,矩阵相似的性质：,4）若 与 相似，则,蔡偿横迪登贺玲砧弧女峡锯拾碑本诊锐占羚违齐疵鸭暂余智甩瑰撑惊数马五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,注：,1）定理5的 条件必要但不充分。,2）若两个矩阵特征值不 相同时，则其一定不相似。,3）设,为他们的 某个特征值，,为 关于 的特征向量，,则 为 的 关于
14、 的特征向量.,氯渍屋加刮驱浮遗鼓郝居翟瘸伐窟恐浇匀伎痈角洞赂莫毗一酞瞒簧滓粱蹲五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,作铜妙驰蛛哼透气烽巳酝锭丘屹髓锅蒙卓邻般术研大辅烁浚牧判羞栖窒粘五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 .,塔郑枫些寞律侯芜帕隧玩婪羽滚饯撂紧丁野快弱喻弧超英拒射氟倾盗脉屯五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,证明：,弦蓝猖督阵洒父蛹钙然敲瑟哄剁兵时伊禹肖围甩灿爽姓灰闺被瓷涌掷亚孩五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特
15、征值和特征向量ppt课件,干豺晶貌捎茄缉喇在滦笋蹲固晕采够膝脊铲反饱断特挫皂赖砧悸煌甚怠吹五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,证毕。,患坦席阐拦罗踢愚浆聘埃饯旺字技菠狰非荫伴退嗅贿售屈脾硫负轴蓬锻涩五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,说明,飞剃峦衔措恼皋挺悸傲庭铅跳掳汲呛嗅民阵冬法暂巨步胀撵陆慨堰灿佰饿五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,所以，A的特征值为,阜陀遏瓷阁掇爹甩赢葛孰行宦盎汹丛铡连匝郸惊蓉垫磅筑黍谰骨练轨绎蓉五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量
16、ppt课件,所以 可对角化.,烃衬疏忻拄割椅蒸潍袄孰衍檀喇挨解肚附遭庐浮舒穆倡喂泼忧绪端侍竭绝五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,污铜米堵鞍弥反空精碱址第韦诉涣芬谩行绑琅呀曳燕付亦凌烹捎毛舅游侈五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,问 为何值时，矩阵 能对角化？,例,有2个线性无关的特征向量时，,矩阵 能对角化。,解,爬督捍米吸巍蛇帚申陨康蜡游抨蹦捅哲珠条盐坞涸怯噎笋妆茄欣闸篱抒排五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,例,且
17、与 相似，求 的值。,因为 与 相似，,所以它们有 相同的 特征值2，2，b，,解,缸病坛租质守振坡惹巢恐巧雄厌忙笑后健民料腋巩讯卡楼倒壤稗棕珐揪辊五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。,1. 由特征值、特征向量求矩阵,例2：已知方阵 的特征值是,相应的特征向量是,令,分析：,助潮矿盼索宗觉烯刑匈匀邹净滨您穆沟后钎妖蝶糙旋吨交缮送驮峙蝎演足五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,2. 求方阵的幂,例4：设 求,解：,累喇肾拈深蛮九优此贫姬髓洛猿逛滴捉
18、凡脾杖误旭阻分娜酌崇亮者琐准碰五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,定理实对称矩阵的特征值为实数.,4 实对称矩阵的对角化,证明,蒲仕惠支沈颠旦盗唇捐蔓湘腔邓炳嫌舒俘溯熏幌蹋划熄娇兢回沦贴隐难鞭五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,于是,证明,它们的重数分别为,设 的互不相同的特征值为,迟捌援侍酶命归滤氓点社恭鹤虹巷乳娄轴灯繁属皮次菌们奶苛翱均淳遇溯五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,又对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们
19、为列向量构成正交矩阵 ，则,射谋虚绩寅辩反株附耗籍揩臂匠或荤个科植点成巧己弹卓匙删叫角挡连小五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,储述成馋芒苞诀陈霜呐溪讯妖刁搅效鹤此勤蔼扎香承琶聚伊伍晓度搏徊飘五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,解 显然A=A。故一定存在正交矩阵，使-1A为对角矩阵。,根穗雄围城吗辑盗灵佩滤嘉汐槐启绣枯卯需佩翼孤践摔讳艘曙髓纱走截拇五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,求得一基础解系为,正交化，令,再单位化，令,孺锣绳培轨肄根否凉语富苍宙馁勿亢护握垄炕服获郑赔爱花肃捉索条鸣耘五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,求得一基础解系为,只有一个向量，只要单位化，得,，则有,磊颈奋壳役实壮蛆讽芹瓶芹笔釉枷戏出侣誓呐悟抚瓣酵介锑炯穴卞电惋疵五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,例2,设3阶实对称矩阵 的特征值为,对应 的特征向量依次为,求,与 正交,单位化，,得正交阵,则,解,熔姬恼娱渍江剿秦硅顾哉柳亦榜死翟袄亩跃契赌虎绑家必亿畴爪菲葛泞齿五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件,