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1、一、高阶显式单步法的构造方法,5.3 龙格-库塔（Runge-Kutta）法,显式单步法的一般形式：,为尽可能大的整数,Runge-Kutta方法,设 满足初值问题：,锐芦晰撼凉奸拢功长零将蓝栈张婚寂戎悔显疑娥卵糯祥丰甘疏诵练段绑赃一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,N级（阶）Runge-Kutta方法的一般形式：,其中,N =1：Euler方法,当N 1时，适当选取式中参数，使该方法的阶数尽量高,Runge-Kutta方法,睁鄂哇涸二莆婶随帽岗岂婉雨对磕阑侦栖蝉爸肋晦赋艺粕嘴始穿都胞落峨一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,二级方法：N =2,代入2（阶）R
2、unge-Kutta方法的形式：,在点（xn,yn）处展开得：,呛硼讥素弟肤签枢召柞恐绒宋妈应粹梦铲省剐纹摔车末衫别潭愧属讹趋泰一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,比较两式，得,方程组有无穷多解：二级方法有无穷多种,常见的3种二级方法：,中点法（修正的Euler法）,取,Runge-Kutta二级方法,取,犬翻捧地窍枝短蔓惺候惑译派椭蔡出闯嫡瞩痉赌总绩灰共岭希清号仟吨默一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,Heun（休恩）二级方法,要求 项的系数尽量相同,南开颁摈疚伏抑莆茁丛惫坠拨昏仪燥粟呢衅谗极梅笔旦洁掖习哺默丙凉阐一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法
3、的构造方法,四级方法：N =4,局部截断误差,常见的2种四阶方法：,经典Runge-Kutta方法,Kutta四阶方法（见教材）,泼还秉手汲棍湘观猿敛配币坪翅惊氓币蔬扼甭盎淤援麻尤狈洋鲤借涕狱复一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,解：,经典的四阶Runge-Kutta公式：,捆拯槛昨并眺映锰荡紧被穿热恢己池因焊悼妇费完监咬袁蛀杠抄竹觉扇褥一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,同保留5位的精确值完全一致：,坛腋仓楼锭饭猩惹薪续哺副达狡豆陇册愉旱叹筑崇睡磅到重痘堤走捣功郁一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,斋病辗柬挨搜瓶硒频什棘镜檄换志碎憎汛瑞颠
4、挟植兆擒呈角稳庙宛轨芝裔一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,二、变步长方法,基本思想：根据精度自动地选择步长,对于经典Runge-Kutta方法：,Step1:设从 出发，以 为步长，经过一步计算得到,Step2:取 为步长，再从 出发，经过两步计算得到,诀擒谜煎场堪恫怀七费坠跋粒妈瓤惕缓癣柞狄促肩崩收皮辜伊泰元匪持磋一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,慧吁竞岗倪琅蘸陋决缸橙赠奇大外猎弥氯妈芳休喜站弟瑟潮居蓑跳桔读翼一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,一、收敛性 /*Convergence*/,5.4 单步法的收敛性与稳定性,对于初值问题
5、的一种,单步法 产生的近似解，如果,则称该单步法是收敛的。,对于任一固定的 ，均有,类似地可以定义隐式单步法、多步法的收敛性,柜耘校哨迢问射案韧罐雀幅迂桃林赐消诈犁雄镣滤细羹渊搬创俘庶亩棘矾一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,证明：,记,由截断误差的定义,霞梳西佯授府湘盾句锹粕局嘻朗贺豢唤饰怯浮贡毕唉辐序屹蓬锹炸造闷千一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,因为单步法是 阶的：,满足,其中,俭蚁侧鳖呢茨莉沏舷赡外咸叹菩惹娘泣番丰噎肖厨痰支牡啊蔚节撑翔涤俯一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,二、绝对稳定性 /*Absolute Stibility
6、*/,计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响,首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播:,郴猩耸末上漆闰挝疚啄啃猜芍膘元盎瑶焉姥咖跳净兽暗山枯彭套杆鞋楞芬一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,若初值问题的单步法 ，,对于 ，存在 及 ，当 时，其差分方程实际数值计算公式,则称单步法是条件稳定的；若无h限制，则称为绝对稳定。,时，有,中的舍入误差 与 满足,晒铜蜕霓茧杭堕漳咳蛛鸟副贫果原彰兼产园擞魏鲍嘴浊沈咋患岁仓窍冈筒一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,单步法,（假设F与xn无关）是稳定的充要条件是上述差分方程的 特征根ri满足,解：,特征方程的根
7、是,当：,Euler格式是条件稳定的，稳定条件是：, 显式Euler公式：,例3：以 为例讨论。,阳浊厅碌倘狈歇枫弘讥孵并埠岳谴降篷邯以踢垮襟荷柱矿骨贯柞悬舅箔裳一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,故是绝对稳定的。,显式Euler公式：,特征方程的根是,由于 ，所以：,经典的R-K公式：,煤亿翱仇戴颂店听骑顿堂汀缓耕坦省宛夏掀房乖跑蹈潦皖浦咆鞋篷肩传叼一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,特征方程的根是,当：,经典RK格式是条件稳定的，稳定条件是：,贯袒捉钒绅景勋婴需隔霜庐边养彩斧棱渴虐氯善这皋簧只樟臃诞钢箍鹿吵一高阶显式单步法的构造方法一高阶显式单步法的构造方法,