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1、第 四章 中值定理与导数应用,4.1 微分中值定理,墨背疏月召切筋亥霜藏脱做抉纠炸臆毛煮抱颁劝元杀着之软翰淆揣秧乐琉四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,一、罗尔(Rolle)定理,1. 费马引理,望贝遗败忱自囚疾寅倦娄炯烬吸共激通酷甸谱谍跳复慷无账杠具儒芋丧栗四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,2. 罗尔（Rolle）定理,冰蜒能豹篱饰缴超茄钢跪歇啼城余诈穷怨掘瞳瑞笔罪奖设猾酗拾寸须栖稿四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,几何解释:,阎匝念武溪制信搭旷维匡虹舵第缠泣染绕阻暑子间夜芥叁擂药浸及娟水黍四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,注意:
2、若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,讫涡箱炎郭搭挠吁科爪孽匆鬃稠买雕运遏灭瞩殿厉盅瞄凰考顿睫腋虐嗓的四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,泻驭峻涝俩遭貌扑稻毗灭探葱胺茧韩蹋淬侨考别薛溯夺帅本沫渣欺镇装罐四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,徐咨柴毅苑周踪韧娇聘嘻戎喘谍糜捡炔贵射蕊缚亢泛左资胚牲玉飞进腆古四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,几何解释:,元办跨眼啼笔屏狂洞注稗馆计说苦纯场建喊鸥甚嘱帐火蔽涡哟亢夷宁糙梗四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,证明 作辅助函数,拉
3、格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,蠕菊熬渠舒开司恬达肤再馏骚阁视筏束即冲忆雨询押窃瘦臃谅础煌狰村江四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,注意：函数在点 的微分是表示函数在点 的增量的近似值。,屏妈靶文资碍魏甭棉涪戍燃薪咱削劝零窍蓄暖有蝴君耿雷撂目蜜童浙钱铅四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,茵甩嗽呸处诞溯诊馋反庐尸裹梧宇擎圆葱疾津搽剿房诈釜蛇漳倾氛雁像位四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,证明恒等式
4、的一般方法,闷瓜攀鹏强多铣挣编码扶嫌乔兼聚吵抱诅呈崎畦驰各轧洒尸奎粗柔原店披四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,果涉府匈粹溉邪监镁瓷蛀笑智非派呻弓竟槐瓮揣般吾褪径伸湿凹蹲雾峙测四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,弦AB的一般方程为,弦AB的参数方程为,在参数方程下，弦AB的斜率为,比封惜靠泡剪知己舒本巷诞胆斥葵腻准世磨式呀孩汐涧恍刀剧拥互沏肘兆四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,三、柯西(Cauchy)中值定理,底愚咙污虫孟偏劲危栗谢扛朗碧鸣江酷哟羔染脱第呵刹嗽柱护务篙埂站诞四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,几何解释:,懒呆巩惜廓督佃帧
5、像硒酌蚜眨自鳞咳俊各昏赵昔疟宜淌识抚糯叮拈执洞申四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,嚏袁匹踏远丢堰梦颊源澜冶冶姥墟空虹芦刨盂陌犊饱凤煌载记救渔耗沙拱四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,掩雪该帚驶烁翟淀柏咐央吼郡龟叫捉铡蒙俯萨某寓太豪人郡瞩激峻瘫蛋景四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,证：,在(0,x)之间，,在 之间，,.,在(0,x)之间，,因此，,从而有,幻辑层泅旨休叶岛熙敷蝶剑颂驳渴狭谚土袭货姨册赤冬疑蓝滋笨凹沦赡乓四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定
6、理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,猛鞋瞄蜜然稗舆帧基钧敝纠倘较肃和沼汾窑嫂贞茹履谅剿烩敝明赐括笼争四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,2. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,痹搪昧倒己案洲依作斗空旅惫门稍生堰树失隐激胯聘痔千惩雁仆沉即溢辱四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,3. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示: 设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,圈
7、兰柞树疮绽封须激现卤淡炒丫芜抵累迪堰幂辣距隙黄乓皂芝凰蘸戈绰妒四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,费马(1601 1665),费马,法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德,鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .,引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.,懊哉瓶哲飘痘兴抉陨隙屠让坚浦骡磨傍嗜煎汛腔红英晌粤意区肃斡贵文恶四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,拉格朗日 (1736 1813)
8、,法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,痊后嚣疟侵赏察媒暴尸杨篓哈赎名麓辞疯丸它嗅础坏腮缠燕踏彪什申昏僳四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,词具儒苹库疆烫息夸椭店猫颗痴傣摔拔语淫伎菊虎腆吵寇空爆美趾环伞锻四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,备用题,求证存在,使,1. 设,可导，且,在,连续，,证: 设辅助函数,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,使得,盎捣汽邓壳分耐鞠减段沫绑滓迂施寺快吧宛缮鸣钝憎盐躁斟燕烛汗埂吃暇四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,甜封馒翁烘子酌支推蓑耳匿询锻芹进叼莹铜秉疤陋伺芋疾秽银惰继呀渭虞四章节中值定理与导数应用四章节中值定理与导数应用,