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1、第页1 目录目录 【题型 1】球的性质的应用.3 【题型 2】 “双直角”型.5 【题型 3】 “墙角”型. 6 【题型 4】 “四面全等”型.8 【题型 5】 “固化”型. 9 【题型 6】 “大小圆垂直”型.11 【题型 7】 “直棱柱”型.13 【题型 8】 “正棱锥”型.14 【题型 9】 “两面”型.15 【题型 10】 “最值”问题.17 第页2 前言前言 “三视图问题” 、 “球的问题” 、 “立体几何证明题”是数学高考立体几何门派的“三大剑客” ，曾秒 杀无数考生，特别是“球的问题”始终是高考的热点问题，题型为选择或填空。题目难度跨度大，其 中有简单题，中等题有时也会有难题。它
2、直接或间接的以球为载体综合考查空间几何体的体积、表面 积计算， 解题过程中又蕴含几何体线面关系的识别与论证。所以很少有哪个知识点能像球那样微观上 把“数”与“形”数学中两大基本元素完美契合，宏观上实现代数与几何平滑过渡.可是这类问题缺 乏几何直观，具有高度抽象性，区分度高，得分率低，属于学生畏惧，老师头疼的难点问题。不过这 类问题有很强的规律性，若在平时解题中探索反思，注意总结，能找到通法，是我们学生潜在的得分 点；同时研究它为处理空间几何体的证明问题锻炼能力，为解决三视图问题开拓思路。 知识准备知识准备 （1）等边三角形相关：面积、外接圆半径，内切圆半径； （2）直角三角形、等腰三角形、矩形
3、圆心位置； （3）球的性质： 【性质性质 1 1】球的任意一个截面都是圆球的任意一个截面都是圆. .其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆. . 已知球O的半径为R. （1）若截面经过球心O. 如图 1，设A是截面与球面的任意一个交点，连接OA.由球的定义可知，OAR， 所以点A的轨迹是以O为圆心，R为半径的圆，即该截面是圆. （2）若截面不经过球心O. 如图 1，设球心O在截面上的射影为 1 O，B是截面与球面的任意一个交点，连接 1 OO，OB和 1 O B，则OBR为 定值，且 1 OO也为定值，所以 22 11 O
4、BROO为定值，因此，点B的轨迹是以 1 O为圆心， 1 O B为半径的圆，即 该截面也是圆. 【性质【性质 2 2】球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. .反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆 的圆心的圆心. . 如图 2 所示，若圆 1 O是球O的小圆，则 11 OOO圆面. 证明：如图，设AB，CD分别是圆 1 O的两条直径，连接OA，OB，OC，OD， 1 OO. 依题意可得OAOB，所以 1 OOAB. 第页3 同理可得 1 OOCD，又因为 1 ABCDO，所以 11 OOO圆
5、面. 【性质【性质 3 3】如图如图 2 2，设球，设球O的半径为的半径为R，球，球O的小圆的圆心为的小圆的圆心为 1 O，半径为，半径为r，球心，球心O到小圆到小圆 1 O的距离的距离 1 OOd， 则由性质则由性质 2 2 得得 22 dRr，或，或 22 rRd. . 【性质【性质 4 4】球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心. . 如图 3，设球O的两个平行截面的圆心分别为 1 O， 2 O，连接 1 OO， 2 OO，由性质 3 可知， 11 OOO圆面，又因 为 12 / /OO圆面圆面， 所以 12 OO
6、O圆面.同理可得， 21 OOO圆面，且 22 OOO圆面， 所以O， 1 O， 2 O三点共线，因此， 12 OO垂直于 1 O圆面和 2 O圆面，且 12 OOO. 【性质【性质 5 5】球的直径等于球的内接长方体的对角线长球的直径等于球的内接长方体的对角线长. . 【性质【性质 6 6】若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心则该球的球心O是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的 中点中点. . 【例【例 1 1】已知球O的半径为 2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面积分别为2和， 则|M
7、N （） A1B3C2D5 【变式 1.1】已知三棱锥ABCS 的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，SC为球O的 直径，且2SC，则此棱锥的体积为（） A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 【变式 1.2】已知三棱锥ABCS 的各顶点都在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC， rAC2，则球的体积与三棱锥体积的比值是. 【变式 1.3】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6AB ，2 3BC ，则棱锥OABCD 的体积为. 【变式 1.4】已知A，B是球O的球面上两点，90AOB，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的 最大
8、值为36，则球O的表面积为() A.36B.64B.144D.256 第页4 【变式 1.5】设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C，若圆 C 的 面积等于 4 7 ，则球 O 的表面积等于_ 【例【例 2 2】 已知球的直径 SC=4， A、 B 是该球球面上的两点， AB=3， ASC=BSC=30， 则棱锥 S-ABC 的体积为 （） A.33B.32C.3D.1 【变式 2.1】高为 2 4 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点 S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同一个球面 上，则底面 ABC
9、D 的中心与顶点 S 之间的距离为（） A. 4 2 B. 2 2 C.1D.2 第页5 【例【例 1 1】三棱锥 P-ABC，若 PB=2AB=2BC=4，AC=3，PA=PC=32，则该三棱锥外接球表面积为； 【变式 1.1】图为某多面体的三视图，则该多面体体的外接球表面积为； 第页6 【例【例 1 1】已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球 O 的表面 积为为（） A.153B.160C.169D.360 【变式 1.1】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（） A. 2 17 B.34C
10、. 3 3417 D.3417 【变式 1.2】如右图，四面体 ABCD 的正视图和左视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形，记四面体 ABCD 的体积为 V1， 其外接球的体积为 V2，则 1 2 V V . 【例【例 2 2】在三棱锥 P-ABC 中，ABBC，AB=BC=2，PA=PC=2，AC 中点为 M，COSPMB= 3 3 ，则此三棱锥的外接球 的表面积为（） A. 2 3 B.2C.6D.6 【变式 2.1】在正三棱锥 SABC 中，M、N 分别是 SC、BC 的中点，且 MNAM，若侧棱 SA=32，则正三棱 SABC 外接球的表面积为（） A.12B.32C.36D.48 【
11、变式 2.2】在正三棱锥 S-ABC 中，M 是 SC 的中点，且 AMSB，底面边长 AB=22，则正三棱锥 S-ABC 的外接球 的表面积为（） A.6B.12C.32D.36 第页7 A BC D E F E F D A 【例【例 3 3】 （墙角模型的应用）（墙角模型的应用）已知在三棱锥PABC中，PA 面ABC，PCAB，若三棱锥PABC的外接 球的半径是 3， ABCABPACP SSSS ，则S的最大值是（） A.36B.28C.26D.18 【变式 3.1】已知正三棱锥 PABC，点 P，A，B，C 都在半径为3的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球 心到截面 AB
12、C 的距离为. 【变式 3.2】已知三棱锥 P-ABC 的顶点都在同一个球面上（球 O） ，且 PA=2，PB=PC=6，当三棱锥 P-ABC 的三个侧 面面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O的体积的比值是（） A. 16 3 B. 8 3 C. 16 1 D. 8 1 【变式 3.3】如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点AED，EBF，FCD 分别沿 DE， EF，FD 折起，使 A，B，C 三点重合于点 A,若四面体 AEFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（） A.2B. 5 2 C. 11 2 D. 6 2 【变式 3.4】三棱锥
13、 A-BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，ABC、ACD、ADB 的面积分别为 2 2 、 2 3 、 2 6 ， 则该三棱锥的外接球的表面积为（） A.2B.6C.64D.24 第页8 【例【例 1 1】在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且aCDAB，bDABC，cBDCA， 则 222 cba等于（） A16B8C4D2 【变式 1.1】四面体ABCD中，5 CDAB，34 DABC，41 BDCA，则四面体ABCD的外接球 体积为。 【变式 1.2】四面体ABCD中，29 CDAB，34 DABC，37 BDCA，则四面体ABCD的外 接球的表面积为。 【变式 1
14、.3】四面体ABCD中，10 CDAB，5 DABC，13 BDCA，则四面体ABCD的外接 球的表面积为。 【例【例 2 2】如图，长方体 1111 DCBAABCD 的三个面的对角线 1 AD，BA1，AC的长分别是 1，2，3，则该长方体 的外接球的表面积为； 【例【例 3 3】四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，3DACDBCAB，32 BDAC，则该球的表面 积为。 【例【例 4 4】某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （） A. 3 4 B. 2 3 C.D.3 【变式 4.1】一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图
15、、侧视图、俯视图都是下图图中圆内有一个以 圆心为中心边长为 1 的正方形则这个四面体的外接球的表面积是（） A.2B.3C.4D.5 第页9 【例【例 1 1】已知正四面体的边长为a，则其外接球的半径为； 【变式 1.1】已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若该球球心与正四面体的一边的一个截面如图所示，且 图中三角形（正四面体的截面）的面积为2，则该球的体积为； 【例【例 2 2】设正三棱锥PABC的底面边长为a，侧棱长为b的所有顶点都在一个球面上，证明：该球的半径 3 2 2 2 2 a b b R . 【变式 2.1】半径为 1 的三个球A，B，C平放在平面上，且两两相切，其上放置一半
16、径为 2 的球D，由四个 球心A，B，C，D构成一个新四面体，则该四面体外接球O的表面积为（） A. 243 23 B. 243 92 C.9D. 18 69 23 【例【例 3 3】已知正四棱锥的每条棱均为a，则其外接球的半径为； 【变式 3.1】正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点SABCD、 、 、 、都在同一球面上，则此球 的体积为. 【例【例 4 4】设底面边长为a，侧棱长为b的正四棱锥的顶点都在一个球面上，证明：该球的半径 2 2 2 2 2 a b b R . 【变式 4.1】在四棱锥PABCD中，PB 底面ABCD，底面ABCD是边长为 2 的正方形.若直线PC与平
17、面 PDB所成的角为 30，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为； 【例【例 5 5】已知正三棱柱的的每条棱均为a，则其外接球的半径为； 【变式 5.1】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A. 2 aB. 2 7 3 aC. 2 11 3 aD. 2 5 a 【变式 5.2】一直三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（） A. 21 2 B.6C.7D.3 【例【例 6 6】设正三棱柱 111 CBAABC 的高为h，底面边长为a，证明：其外接球半径 22 ) 3 3 () 2 (a h R； 第页10 【例【例
18、7 7】已知正方体的边长为a，则其外接球的半径为； 【例【例 8 8】设长方体的长宽高分别为a，b，c，则其外接球的半径为； 【变式 8.1】某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（） A.13 B.16 C.25 D.27 第页11 如图，若面 DAG 过小圆O1的圆心，且与小圆所在的截面垂直则过 A，D，G 三点的圆是球的大圆，在大圆上由于 DAG=90所以它所对的弦 DG 为直径，弦中点 O 为球心. 【例【例 1 1】在平行四边形ABCD中，BDAB ，124 22 BDAB，将此平行四边形沿BD折成直二面角，则三棱 锥BCDA外接球的表面积为（） A. 2 B.C
19、.2D.4 【变式 1.1】已知三棱锥ABCS 的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，2AB，2SCSBSA，则三 棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是（） A. 3 3 B.1C.3D. 3 3 2 【变式 1.2】如图所示，在直三棱柱CC 中，CC ，C2 ，C4，点是线段 的中点，则三棱锥C的外接球的体积是（） A.36B. 20 5 3 C.6D. 4 3 【变式 1.3】 已知三棱锥ABCP， 在底面ABC中，1AB， 0 60A，3BC，PA平面ABC，32PA， 则此三棱锥的外接球的表面积为（） A. 16 3 B.4 3C. 32 3 D.16 【变式 1.4】如图，在直角梯
20、形ABCD中，222ADDCAB， 0 90ADCDAB，将DBC沿BD向 上折起，使面ABD面BDC，则三棱DABC 的外接球的表面积为； 第页12 【变式 1.5】点 A、B、C、D 在同一个球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体 ABCD 体积的最大值是 3 2 ，则这个球的 表面积为 （） A. 6 125 B.8C. 4 25 D. 16 25 【例【例 2 2】在矩形ABCD中，4AB，3BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体 ABCD的外接球的体积为（） A. 125 12 B. 125 9 C. 125 6 D. 125 3 第页13 【例【例 1 1
21、】直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在同一球面上. 若 1 2ABACAA，120BAC，则此球的表 面积等于； 【变式 1.1】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六 棱柱的体积为 8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为； 【变式 1.2】一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为 120的等腰三角形，则该直三棱柱外接球 的表面积为（） A.20B. 20 5 3 C.25D.25 5 【变式 1.3】三棱锥 A-BCD 中，AD平面 ABC ，BAC=120 0，AB=AD=AC=2，则三棱锥 A-BCD 的外接球面积 为.
22、【变式 1.4】三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，且 PA=2 ，三角形 ABC 是边长为3的正三角形，则该三棱锥的外接 球表面积为. 第页14 【例【例 1 1】如图， 1111 ABCDABC D是边长为 1 的正方体，SABCD是高为 1 的正四棱锥，若点S， 1111 ,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为（） A. 9 16 B. 25 16 C. 49 16 D. 81 16 【变式 1.1】三棱锥 ABCD 内接于球 O，AB=AD=AC=BD=3，BCD=60 0，则球 O 的表面积为（ ） A. 2 3 B.2C.3D. 2 9 第页15 【例【例 1 1
23、】 （直角二面角直角二面角）如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何 体外接球的表面积为（） A 20 3 B8C9D 19 3 【变式 1.1】球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为2的正三角 形，面SAB面ABC，则棱锥ABCS 的体积的最大值为（） A 3 3 B3C2 3D4 【变式 1.2】已知四棱锥 P-ABCD 的顶点都在球 O 的球面上，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD底面 ABCD，PAD 为正 三角形，AB=2AD=4，则球 O 的表面积为； 【变式 1.3】在三棱锥 PABC 中，ABC 与
24、PBC 都是等边三角形，侧面 PBC底面 ABC，AB=2 3，则该三棱锥的 外接球的表面积为 【变式 1.4】一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球表面积为 4 41 ，则该几何体的体积为（） A. 3 4 B. 3 8 C. 3 22 D. 3 24 第页16 【例【例 2 2】 （钝角二面角）（钝角二面角）如图, 在菱形ABCD中,60 ,2 3,BADABE 为对角线BD的中点, 将ABD沿 BD折起到PBD的位置，若120PEC ，则三棱锥PBCD的外接球的表面积为（） A28B32C16D12 【例【例 3 3】（锐角二面角锐角二面角） 四面体 ABCD 的四个顶点在同一球
25、面上，3DACDBCAB，32AC，6BD， 则该球的表面积为（） A14B.15C.16D.18 第页17 【例【例 1 1】已知底面为正方形的四棱锥 P-ABCD 内接于半径为 1 的球，顶点 P 在底面 ABCD 上的射影是 ABCD 的中心，当 四棱锥 PABCD 的体积最大时，四棱锥的高为（）C A. 4 3 B.1C. 3 4 D. 3 5 【变式 1.1】已知正三棱柱 ABCA1B1C1的所有顶点都在半径为 1 的球面上，当正三棱柱的体积最大时，该正三棱柱 的高为； 【例【例 2】已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（） A. 2 3 3 B. 4 3 3 C.2 3D. 8 3 3 如图，设球心为O，连接OA，OB，OC，OD， 则四面体ABCD可分为四个三棱锥ACOD，BCOD，CAOB和DAOB. 依题意得2OAOBOCODABCD， 而使得三棱锥ACOD和BCOD的体积之和最大，只需ABCOD 平面即可. 同理，当CDAOB 平面时，三棱锥CAOB和DAOB体积之和最大， 因此，四面体ABCD的体积的最大值为 2 134 3 222 343 V ，故选(B).