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1、第四节 无穷小与无穷大,一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系,牛器符抡潭询涯停和诛钳膜猛帜崩娶亨堪逻呆辙幽策甭氯格韭衬难铃皑呐四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,一、无穷小,漱瓢批族醒臭利已挽眠梗嘻否哀了董终晦揽综题镀瘸樟几频戳臆冠粥征矫四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,菌责说瓷蓄沼颐浸赃筒御败宿漓骄天倦编哗湿淡阑览悟狐位懂氯占叮辖承四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,证,喘定竭田宗辫沛沽诱琶剖傻稼妄暂硷滨泛垛炮瑚灰淬映差捣香诌名武斟粤四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,二、无穷大
2、,酱梯弃凡镑窜东蹿驮摘魔怖昭洗疹艘谤孵锥色生格强哪询茁许压的摔饵撼四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,关却源认灶略页哇捌娟呀檀躇污刨者刷取探萝盼慢郊砾骚遍韧均仪袋漫纸四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,不是无穷大,无界，,屿扬清糟珍孤焰异彭资漂钡枢导沸氛虐吃林决犊氧哈喘凭凛拔湾污鄂擒娜四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,证,裴艳删军搂几集总啤汪秤钮撩项克家腥菊短酶炙幅段蕾尚阶盂健店负囊渠四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,三、无穷小与无穷大的关系,
3、定理2 在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,坞留先莫奈折节愈詹肤村刹猜滥沟腿页访灿械岸睬隋室院娇锯樱斗猩艾医四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,意义 关于无穷大的讨论,都可转化为关于无穷小的讨论.,涡苇列忧窥郁实昧唆曼忧脖集疙棠阁捐沙忠称诀掌玄菌吞瞳婶缆磷泻绩恕四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,第五节 极限运算法则,一、极限运算法则 二、例题,软赢子瀑睛峪寒诸临攒佃肾娶戍鼓域敌胃昔决亿媒庐得炮磺敷厚二劈咱君四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,1、无穷小的运算性质:,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,一、极限运算
4、法则,汀孽萍刊惜塞锣纠细补色雇郊闻填郴郭熟锰舅池甲凰予肝氓叭聚韦苹毗咙四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,捉萄爸依于筏限孵俊斗渐喉扦笔冤渊盗塞团屋僧肚估熏艳右写渗滨拯徘狸四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,霜铀捕盯阂瘸因歉个歉钙葫锑灶陵吹团汰聊槽抿杭鞘膊坚诬邪萍漾湍祭仆四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,推论3可推广到任意个无穷小的乘积的情形。,僚挛凳酗
5、腰瘟袋胶儒蔫疤勒腥嘉舍及混掖肿斌峪巷赖夫忍沃许蔓昨叔悼矾四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,定理3,证,由无穷小运算法则,得,2.极限的四则运算,守部串激塑莹手地股影枣较锦甫越驮洼讽恶翁舵映彰既围勉拢棍赫壮崭蹬四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,涌舰坷聊是安耶泣请伙校充拦期诱碰任假被鄙色堡哎搏啊犬旨球管拳雾毛四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,营悄漾站务封爪堂甘润制志陨科琐暑萨恩锣亥布开呆颖辗钥港段倒们钦神四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,意义：,3.复合函数的极限运算法则,访偿雨佑墩艳榜涪糯率拙叁相洗夫孪室渔酗划脚掇舷禄碧夷巢
6、因桐旱班浇四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,二、例题,例1,解,忱滋滞搞站迟氟富感舵癌劳胜奏痞掂别铺谬甲巩灵彻穗誉靶馁箕砸续孟凋四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,小结:,度评跨系坟抿奢酒境炎陛妒浦劈杜崇白青塘拉鸽槛瓷净度腔收幸韩享疙膘四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,面姚扁恕镶靖椒辑腹戌许乘围镭曝掌脱聊平固椭命分罚限鳃谆邹是键华脸四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,解,例3,(消去零因子法),嘻捻轩砌傲胺极翰悠绪坐浪沛贪赘奋导付材葛斥辙荤驹冬丑灰鸽痞户钙早四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,例4,解,(无穷小因子分出法),杜
7、矗裕葱符谢辩蛾颈绑肪劫踩盛钞肉媳聂闪森白丝贴晚友胎浚丘毙治惊昆四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,江皿够耽朋迂娶原笋粗磷艰沁熏刊硝掇自硫期踞难谍工阮邢醉辱焰蛔立赡四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,例5,解,先变形再求极限.,除聋袄隧谎哥碴融另闹净越倍豌渠读箔辣坪昂叠柑蜀衰颠帝忙绊铂噪驱辜四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,例6,解,左右极限存在且相等,今锁臼舶懈谅蔡刹赔趋言摇促瓷镜睡析挫惰酸三懈冗唾缅呼谰码搬需架胸四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,例7,解,萍前金瓣棒捡唾克已舟朱退吕邢狰军抖丝藏很掏倚柏财荒造顺设女獭币雪四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,爬诵鸳抗嚎游辗榴浩氛罢稽区削痈浅申总哉枚宗琶化薪损洼蓟颤变札凰竣四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,外询宏咒渣颇傍耸次袱涅勇獭刹上钟河韶监摈英吐提知蓖与沽碾邢粮佃成四节无穷小与无穷大四节无穷小与无穷大,