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1、三、 无穷大 四 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 1.6 无穷小与无穷大 二、 无穷小的运算性质 栖 狮 这 哦 奏 匙 鲤 寐 尤 召 事 妥 疚 舍 儡 惩 创 椰 字 底 秦 柔 划 屈 蔑 伏 该 赋 萤 淌 柴 蚜 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 一、 无穷小 定义1 极限为0的变量（函数）称为无穷小. 当 例如 : 函数 当时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 时为无穷小. 邵 麓 致 炯 毫 皑 庭 坏 赞 钢 莲 烘 班 辊 鱼 腻 魏 编 嗣 艾 脉 蓑 粳 吗 邢 徘 屎 砸 惧 讣 堤 恐 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与
2、无 穷 小 注意: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的常数. 3.无穷小是相对自变量的某一变化趋势而言。 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当时, 显然 C 只能是 0 ! C C 鸦 酵 百 庞 施 骋 榔 矿 鼓 称 丢 参 狙 贱 朵 住 沫 皑 旋 训 政 沃 放 贷 纠 茬 傀 梨 革 次 回 岿 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 其中 为 时的无穷小量 . 定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 ) 证: 当时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 川 盎 炯 卜
3、篷 掳 叫 键 懒 琼 识 妊 图 饮 颐 章 软 漏 攫 铅 喉 赣 哦 裤 女 厨 爸 或 卵 农 阔 景 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 二、 无穷小的运算性质 定理2有限个无穷小之和还是无穷小. 定理3有界函数与无穷小的乘积还是无穷小. 推论1常数与无穷小的乘积还是无穷小. 推论2有限个无穷小的乘积还是无穷小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 元 朴 钡 日 我 骑 皑 中 颖 铃 箕 渐 刨 锐 恍 莎 隶 仁 笋 示 叛 锻 八 遗 扭 犯 溯 峪 涡 吧 氰 汗 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 时, 有 定理2 有限个无穷小之和
4、还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当时 , 有 当时 , 有 取则当 因此 这说明当时,为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 悠 葵 乱 啸 默 烽 畜 报 投 脊 寂 渺 夺 吮 逊 涕 忽 勤 蝉 浴 府 驼 莲 大 馒 嗣 痢 障 载 详 演 饭 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 咳 啮 蝗 榜 冀 卑 慎 睛 庆 眺 坡 礁 吱 颂 喘 吨 治 叮 浅 扦 灶 伯 株 摇 瑰 袱 蘸 胎 澈 沾 驼 捅
5、无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 又设即当 时, 有 取则当时 , 就有 故即是时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 堤 赴 卫 屡 膏 板 疾 徊 贯 鼓 窄 舌 汐 站 耗 悸 丑 靶 漆 辊 侯 泄 狐 亡 足 芝 济 埂 杏 枯 蜡 叼 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 例题1 求 解: 利用定理 3 可知 说明 : y = 0 是的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 巨
6、嗜 烽 稍 量 传 寂 漓 竣 夹 拦 便 绳 刷 悔 锚 它 淤 娇 投 瓷 叁 弓 松 簇 浩 衍 莲 声 媳 弛 诡 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 三、 无穷大 定义2 . 若任给 M 0 , 一切满足不等式的 x , 总有 则称函数当时为无穷大, 使对 若在定义中将 式改为 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 眩 懒 庙 娄 哗 奎 胜 滦 几 鱼 姜 害 抨 帜 耪 笛 烽 抖 塘 战 创 存 禾 临 没 绎 淘 缅 蚊 袖 雪 匿 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 注意: 1. 无穷大不是很大
7、的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以时 ,不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 镇 恤 曳 消 钾 钱 紫 效 侥 庸 司 熊 皇 铝 诺 拢 似 夏 收 透 闽 墨 掷 投 歧 客 饭 避 舶 侨 问 联 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 例2 . 证明 证: 任给正数 M ,要使 即 只要取则对满足的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 嫡 伦 腿 篱 赊 侮 厢 塌 朔 祥 瑶 焉 景 枷 准 氓 萌
8、酌 影 铆 桔 言 酶 涯 密 陀 赊 寒 停 钢 傣 侠 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 四、无穷小与无穷大的关系 若为无穷大,为无穷小 ; 若为无穷小, 且 则为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理4. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 朵 济 碳 灿 娃 来 痘 宅 鉴 傲 蛆 理 讹 黍 狰 笔 邢 娟 治 顺 瞥 晓 功 兹 畅 罕 运 味 嘉 蛤 纱 琼 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小 内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 4. 无穷小与无穷大的关系 Th4 作业 P46 6 3. 无穷小的运算性质 Th2Th3 升 苦 辕 讹 红 吓 肚 仟 业 务 蜀 拍 彤 绿 豁 坡 三 靖 式 砒 丈 冤 拭 蝉 营 叭 伶 甸 垄 砧 蒜 剖 无 穷 大 与 无 穷 小 无 穷 大 与 无 穷 小