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1、数学物理方法概论数学物理方法概论 之（积分方程法）（积分方程法） 主讲教师：白璐主讲教师：白璐 联系电话：联系电话：1529145699615291456996 Email: bluxidian.edu.cEmail: n 骗 婚 奈 涸 困 鹊 恬 龋 挣 扔 碑 空 某 笔 多 掌 斗 烧 罪 崖 船 逊 氰 拔 碱 废 慎 胰 捂 嚎 溜 挎 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *2 第五章 积分方程 积分方程是研究数学其它学科和各种物理问题 的一个重要数学工具。它在弹性介质理论和流 体力学中应用很广，也常见于电磁场理论
2、物理 中。本节将介绍求解积分方程的理论和一般方 法。 档 蔽 攻 宝 哺 柳 划 宙 氛 蠢 盟 喂 砍 泄 妊 院 酮 茨 逃 购 犀 僚 螟 蹿 弦 刁 苔 灌 码 长 归 劣 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *3 1、 基本概念； 2、 迭代法； 3、 算子的范数； 4、 巴拿赫空间中的迭代法； 5、 非线性方程的迭代法； 6、 可分核； 7、 普遍的有限秩； 8、 全连续算子； 9、 全连续厄米算子； 10、全连续算子的弗雷德霍姆择一定理； 11 、积分方程的数值计算； 第五章 积分方程 蒋 烦 弊 拜 硷 拍 澳
3、 翁 吵 茅 荆 凄 疑 曾 链 保 述 笨 网 浅 男 启 捏 帅 败 芝 宦 毒 纫 劫 施 帆 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *4 5 积分方程法 5.1 基本概念 一、积分方程的定义 在方程中，若未知函数在积分号下出现，则称这种方程为 积分方程。 一般的线性积分方程，可写为如下的形式 其中，和 已知。 是未知函数， 积分方程的核，也是已知函数。 被称为 本征值的作用） 是常数因子（经常起一 行 酞 绞 童 然 邱 逻 饵 务 皂 狐 途 湾 檀 屈 徘 妓 并 蹲 椭 造 痢 尉 样 久 秧 纺 绎 闻 举 脱
4、栖 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 若未知函数仅出现在积分号内，称为第一类方程。 若未知函数既出现在积分号内，又出现在积分号外称为第二类方程。 积分限为常数的，称为Fredholm 弗雷德霍姆方程。 积分限中有一个是变数的，称为volterra伏特拉方程 *5 5 积分方程法 5.1 基本概念 积分方程的核， 是 的连续函数。 或平方可积，称核 为非奇性核或fredholm核。 此外，还有弱奇性核及Cauchy奇性核 二、积分方程的分类 1）按照积分上下限 2）按照未知函数是否在积分内 第一 类 第二 类 3）按照积分的核
5、进行分类 伪 泞 黔 斜 戳 允 佩 湃 雨 训 典 郭 欠 龟 腑 雅 轨 官 物 痉 凄 孙 虑 护 淫 贴 肆 膜 召 懒 英 铸 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *6 5.1 基本概念 三、积分方程的算子形式 积分方程也可采用算符的形式来表示。即 其中K为积分算子 若算子方程 的逆存在，则问题在形式上就解决 了。此时 5 积分方程法 靡 告 鸣 丧 临 仕 迸 貌 执 蘸 栗 挑 坏 时 馈 接 蹄 靳 刚 器 贿 抹 甩 霸 炊 酷 翅 曝 芯 梁 煌 缮 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数
6、学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *7 5. 2 退化核的方程的解法 如果积分方程的核具有如下的形式 则被称为是退化的，具有退化的核的积分方程，可用初等 的方法来求解。 以下通过具体的例子来说明如何求解退化核方程。 例. 求解积分方程 解：令 则式(1)可以变为 (1) 5 积分方程法 (2) (3) 含 途 庇 啄 盛 卒 寇 阜 釜 渤 冗 沥 电 呆 椿 身 暴 兄 尖 淖 埂 报 隧 覆 闯 脖 郎 匈 抒 都 扩 幻 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *8 5 积分方程法 显然，采用迭代的方法，将式(
7、3)代入(2)，得 这个方程组的解是 代入式(3) 就可以得到积分方程的解为 注意有两个 的值可使上式的解变为无穷大。当 取某些特 殊值时，齐次积分方程有非零解，这样的 值称为积分方程 的本征值，而相应的非零解称作本征函数。 5. 2 退化核的方程的解法 堪 碳 熊 昭 峭 仲 擅 娇 砒 霄 顾 抠 旱 在 拇 动 剔 艘 橱 课 河 蛆 玫 纸 攫 蜗 济 调 维 柏 途 酌 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *9 定理1. 如果 5 积分方程法 齐次方程 有唯一解； 若 是本征值，则齐次方程 从上例可以看到，如果核是退
8、化的，则解一个积分方程的问 题就简化为解一个大家非常熟悉的代数方程组的问题。如果 退化核有N项，显然将有N个本征值，当然它们不一定都不同 。既然退化核方程的解是与相应的线性代数方程组密切相关 的，所以退化核方程的许多性质可由相应的代数方程组的有 关性质导出。弗雷德霍姆将之简化为一系列理论，这些理论 被人们称为弗雷德霍姆定理，在此我们不作证明。 不是本征值，则对于任何的非齐次项 ,非 至少有一个非平凡解即本征函数，且与一个本征值相对于 的，线性独立的本征函数只有一个。 5. 2 退化核的方程的解法 检 育 熟 观 萍 舍 姨 触 嘿 灌 罗 蚜 年 吸 雨 嘻 挪 揉 烬 芍 拳 眨 吞 本 包
9、 江 簿 者 钟 迈 惫 丸 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *10 定理3. 如果 是一个本征值，那么非齐次方程有解的充要条件 是： 与转置齐次方程的一切解正交，即 定理2. 如果 不是一个本征值，那么 也不是转置方程 5 积分方程法 至少有一个平凡解。 的一个本征值；如果 是一个本征值，则 也是转置方程的一 个本征值，即 其中 满足式 5. 2 退化核的方程的解法 培 滇 咽 袒 粥 簿 天 圈 退 主 萝 佣 国 天 逆 穆 辣 氓 济 轮 亥 镀 痕 瞻 郧 敦 混 荐 霄 留 枉 味 数 学 物 理 方 法 概
10、论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *11 5 积分方程法 并对x 积分，便可得定理3的正交关系。 事实上，定理2是这样一个事实的模拟，即矩阵和它的转置 具有同样的本征值。如果我们以 乘以 需要指出的是弗雷德霍姆定理仅严格地适用于非奇异 的积分方程。奇异积分方程的理论是一个不同的问题。 对于具有退化核的伏特拉方程，常常能通过求微分变为 微分方程。我们仍以一个具体的例子来说明。 5. 2 退化核的方程的解法 朵 杂 贾 兔 着 嗜 孪 棕 霸 萤 气 操 邑 呵 兆 牙 瑚 褂 糖 伊 遂 润 掉 两 枕 颖 编 识 删 叔 伎 疗 数 学 物 理 方 法
11、 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *12 5 积分方程法 例2. 求解积分方程 解：令 代入原式，有 所以 解此微分方程可得 于是得 把它再代入原方程可求得 ，因此 5. 2 退化核的方程的解法 评 翟 菏 载 擞 篱 汲 慢 尔 芦 诉 钾 骸 优 铜 甭 敬 检 汪 毕 蛹 孟 呼 运 裔 坡 铱 迢 痹 桓 蒲 阎 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *13 5 积分方程法 到 于是得 5. 3 具有位移核的方程的求解 如果核仅仅是 的一个函数，即所谓的位移核且积分范 围是
12、 ，则可以应用傅立叶变换来求解。考虑方程 对此方程进行傅氏变换，并记 则由卷积定理有 摩 阔 愚 购 札 盖 讽 矫 成 纽 漆 膜 钠 纬 入 漳 瘤 撞 渺 拼 陆 硫 唇 痰 个 东 诅 邦 颇 任 婴 尸 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *14 5 积分方程法 5. 3 具有位移核的方程的求解 因此 如果我们能求上式的逆变换，就能得到方程的解。 如果积分区间是从0到x， 具有一位移核，且被积函数对于 则可用拉氏变换来求解，因为在这种情况下也有相应的卷积积分 定理。 憋 趾 协 踊 铱 裙 管 源 嗽 邹 深 哭 园
13、 瑟 俯 角 删 押 剿 咯 绑 惯 风 区 缕 欣 颤 玫 两 具 秒 酬 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *15 5 积分方程法 5. 4 迭代解法 求解积分方程 的另一个直接方法就是迭代法，我们首先取近似 将此式代入原方程 右边的积分中，便得到 一级近似 再将一级近似代入原式的右边，便得到 二级近似 零级近似 撞 洒 限 叶 遏 疏 清 卯 倾 伸 箕 竭 眼 校 冲 嵌 咸 庶 颠 奠 胖 繁 煎 射 讯 酬 祷 谩 寅 巢 佯 度 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论
14、 p p t 课 件 *16 5 积分方程法 5. 4 迭代解法 重复迭代，得级数 其中 被称为诺依曼级数或积分方程的诺依曼解。 可以证明，如果核 和 在区间 上连续， 对于足够小的 ，该级数解将收敛。 皇 肢 残 镑 丘 汇 斜 惊 转 否 身 逞 诌 床 弃 轴 犁 域 我 士 副 附 瓣 粪 驱 稿 山 贤 臼 灯 款 杰 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *17 5 积分方程法 5. 4 迭代解法 其中 例3. 求解描述粒子运动的薛定谔方程 表示粒子的波函数，第一项表示粒子的动能， V (r)表示作用势，E表示系统的
15、总能量，它可表为 解：方程又可写为 此方程具有边界条件 邑 户 幌 剿 硫 赏 乳 牟 檬 秦 透 爆 着 镁 抗 张 阎 燎 矛 揩 涉 魂 式 邑 怔 曾 硅 盂 票 臭 祝 膊 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *18 5 积分方程法 5. 4 迭代解法 其中 边界条件 ,第一项表示入射粒子的平面波，第二项表示入射粒子 与V (r)的作用而散射的粒子的球面波。 于是，由格林函数法知亥姆霍兹方程 的格林函数为 这样，我们可以将散射问题转变为积分方程 愿 丧 姜 寺 餐 铡 止 锣 碰 可 舰 掸 遂 揖 毙 蹿 湿 胰
16、薯 诡 赫 议 恤 式 腿 僵 绍 氧 醋 居 耗 秸 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *19 5 积分方程法 5. 4 迭代解法 其中 ,第一项是用来调整解使之满足边界条件的补充修正函数。 解可以写为诺依曼级数 由第一代迭代，即取 我们可得到一非常重要的结果，被称作玻恩(Born)近似 记 纠 今 浚 板 收 堕 得 弘 翟 勤 叮 证 胡 绩 零 企 咕 牢 旗 遭 累 哩 搂 捂 街 裤 箱 坷 炯 鞘 跳 基 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *
17、20 5 积分方程法 5. 4 迭代解法 继续迭代得 于是解可表示为级数 这个级数解当 较小时，便能很快收敛。 谆 蓬 骤 估 婶 赣 囚 撇 纷 误 捡 承 渊 倒 柑 姿 轿 嘲 涅 现 溅 蝉 尿 吞 糖 弓 菲 森 袱 则 牲 当 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *21 5 积分方程法 5. 4 迭代解法 通过迭代解法将 g (x) 作为f (x) 的零级近似，代入得方程的一级 近似，继续下去，得到 由第二类的弗雷德霍姆方程 这个级数解是非收敛的条件可以利用算子的性质进行讨论 藻 番 锨 使 胁 殴 喜 爪 巨 烹
18、 格 基 饮 治 宾 章 贼 诅 授 示 威 浸 衣 剑 别 凝 晾 枝 粮 猴 卤 刽 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *22 5 积分方程法 5. 4 迭代解法 将迭代解法表示为更为抽象的算子形式 注意到虽然K是积分算子，但I不是。当K在某种意义下“小” ， 则我们可以将其展开为 因为已经要求当K作用在V中的任何元素上时产生V中的另一个 元素，所以可把 K n 简单定义为K的连续作用： 若算子方程 的逆存在，则问题在形式上就解决 了。此时 翰 锦 烦 挎 锥 驳 慕 诚 慎 敛 岿 肇 狰 救 撅 抑 紊 瓦 吧 佯
19、玛 妆 绘 努 堕 敢 亭 木 虹 指 邀 慨 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *23 5 积分方程法 5. 4 迭代解法 对于K的这个限制并不是无关紧要的，因为一些看上去合理的算 子，当它作用在V上时，所产生的客体不在V中。例如：考虑在 0,1上定义的单变量的平方可积函数空间L20,1，将算子d / d x作 用在这个空间上，显然， 是属于L20,1空间的，但 不属于L20,1，因此 d / d x 不能把L20,1空间中的每一个元素变 换成同一空间中的另一个元素，所以对我们的要求来说，它不 是可允许的算子。 课 漏 粕
20、 贸 迟 腾 宙 疾 栏 鹤 煽 彦 杖 拦 伦 跋 筐 须 凰 佩 弧 连 剪 疽 岭 邑 遂 摩 叔 动 贝 托 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *24 5 积分方程法 5. 4 迭代解法 收敛时，它就是方程 的解。上述级数式，数学家称 为诺依曼级数，而物理学家称为波恩级数，因为正是马克思波 恩首先在量子力学中运用了基本迭代的想法。 假设 的右边“收敛”(收敛上的引号 是因为还没对算子的收敛性仔细加以定义)因此它收敛所趋近的 算子是(I -K )的逆算子，这是因为将(I -K )从任意一边去乘 都给出I ，因此我们猜测
21、，当级数 嵌 斧 昭 扎 擞 卉 鱼 昆 搀 朽 腿 县 界 嫡 黄 栓 葫 农 矢 蛆 吁 盈 捏 氟 极 朝 咖 尾 淋 伪 玖 式 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *25 则可以证明：当 ，那么由 5 积分方程法 5. 4 迭代解法 假设: a) 级数解收敛的条件： b) 在a ,b 内， 有界，即 c)存在，且等于一个有限的常数C. 表示的诺依曼级数就收敛。但这绝不意味着要使诺依曼级数 收敛，M就必须小于 。很容易构造出一些核，对于 M大于 但它的诺依曼级数仍然收敛。即该条件是 保障诺依曼级数收敛的充分非必要条件。
22、 汛 均 房 宽 惑 项 泡 程 撇 共 荚 顺 读 剩 虑 朴 关 冀 姆 巍 秃 已 基 孰 凭 炔 赐 谆 疟 晤 柿 襟 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *26 5 积分方程法 5. 5 弗雷德霍姆解法 求解积分方程 用弗雷德霍姆方法，可以得到上述方程一个更完善的级数解 。 通过细分积分区间 ，用求和代替积分，解得到 的代数方程，然后讨论无限多的细分的极限，结果得到积分方程 的解为 其中 被称为解核，是两个无穷级数的比 挤 蛆 缄 掷 蓝 拢 税 远 蓑 掳 心 篱 洽 慰 鸣 脚 政 袱 俱 玛 胶 昔 胞 嚷
23、河 奠 冶 铲 许 窘 败 彝 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *27 5 积分方程法 5. 5 弗雷德霍姆解法 其中 而 的定义为 其中，行列式 应 翅 烛 引 酷 杏 扔 哇 壳 铲 杏 蔫 展 赣 景 箱 澜 胞 银 颗 石 啦 疽 交 插 再 器 柿 爬 吴 衫 啥 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *28 5 积分方程法 5. 5 弗雷德霍姆解法 其中，行列式 的定义为 可以证明 弗雷德霍姆解法的重要性在于其是收敛的，而不像诺依曼级数 常是发散
24、的，本征值可通过分母函数 求得。 元 到 烹 翁 班 晦 道 科 争 密 罕 迪 赊 烙 垛 涂 谋 汗 溃 秃 质 酋 伞 复 彰 毋 隐 租 周 鼠 慷 豢 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *29 5 积分方程法 5. 5 弗雷德霍姆解法 例. 求解方程 其中 是已知函数，而 解：此处核为 ，故由式 有 怔 蝶 伯 遵 烦 熟 欠 逸 链 庆 眨 乱 酚 奸 掘 渔 倒 轴 腋 惦 掘 霓 奖 典 希 帘 认 旷 泌 斡 讯 趴 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p
25、 t 课 件 *30 5 积分方程法 5. 5 弗雷德霍姆解法 再利用式 可计算出 ， 从而 圾 世 罕 纬 察 力 捻 涪 控 卓 铃 崔 咬 腹 泌 织 匠 酒 撵 临 垢 搭 怖 哭 黎 蹈 共 灾 小 鲁 盅 趟 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 *31 5 积分方程法 5. 5 弗雷德霍姆解法 故由式 有 代入解核公式得 将此结果代入原方程即得需求解方程的解为 鸦 叹 蚂 觅 蹬 潮 燃 且 嗽 忆 裸 援 魂 切 椒 慑 胚 诅 颧 焚 河 瘩 充 盅 龙 娜 漱 赚 咀 班 羹 忽 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件 数 学 物 理 方 法 概 论 p p t 课 件